שאלות מודרכות 2

1. לפניך גרף מקום-זמן, של גוף הנע לאורך ציר x, שכיוונו ימינה.

א. מהו מיקומו ההתחלתי של הגוף? מה היה מיקום הגוף בזמן t = 12 s?

ב. מצא את מהירות הגוף בכל קטע תנועה.

ג. רשום משוואת מקום-זמן עבור כל קטע תנועה.

ד. מהו העתק התנועה במשך 4 שניות ראשונות?

ה. מהו העתק התנועה במשך 24 שניות?

ו. מהי המהירות הווקטורית הממוצעת של הגוף במשך התנועה כולה?

ז. מהי המהירות הסקלרית הממוצעת של הגוף במשך התנועה כולה?

ח. שרטט גרף של מהירות הגוף כפונקציה של הזמן.

פתרון: בבעיות של גרפי תנועה (x(t), v(t)) מומלץ לשרטט את מהלך התנועה על ציר תנועה (x):

שים לב להבדל בין שני הצירים בשרטוטים למעלה: בשרטוט של x(t), ציר x הוא ציר בגרף, כמו ציר x או ציר y במתימטיקה. לעומת זאת בשרטוט האחרון, ציר x אינו ציר בגרף. ציר זה, ציר תנועה, הוא כמו סרט מדידה המונח על הדרך. כך השרטוט האחרון יכול להראות לנו שהגוף נע מנקודה אחת לאחרת ואחר כך לעוד נקודה. השרטוט האחרון לא יכול לתת אינפורמציה על זמנים, מהירויות וכדומה.

א. כאשר נתון גרף של פונקציה, צריך לדעת "לקרוא" אותו. במקרה זה x (מיקום, קואורדינטה) כפונקציה של הזמן. הגרף מאפשר לנו לדעת את מיקום הגוף בכל זמן. צריך רק "לקרוא" מהגרף:

בזמן t = 0 הגוף היה בנקודה x = 10 m ובזמן t = 12 s הגוף היה בנקודה x = 20 m.

ב. מהירות רגעית של גוף, לפי גרף נתון, היא שיפוע המשיק (נגזרת) של הגרף באותה נקודה. בגרף זה כל הגרף בנוי מקטעים ישרים. כיוון ששיפוע משיק בכל נקודה על קטע ישר שווה לשיפוע הישר – למעשה לאורך כל הקטע מהירות הגוף קבועה ושווה לשיפוע הישר. לכן נקבל את המהירויות כמספרים מכוונים:

v = +5, 0, -10, +10 m/s בהתאם.

במילים: 5 m/s עם כיוון הציר – כלומר ימינה, 0, 10 m/s שמאלה ו- 10 m/s ימינה.

ג. רישום משוואות מקום-זמן צריך להיעשות בזהירות!

קטע ראשון: t = 0 -> 6s :

t_o = 0, x_o = +10 m, v = +5 m/s

ולכן: x = 10 + 5t

קטע שני : t = 6 -> 10 s :

t_o = 6 s, x_o = 40 m, v = 0

ולכן: x = 40 + 0(t – 6) = 40 m

קטע שלישי : t = 10 -> 18 s:

t_o = 10 s, x_o = 40 m, v = -10 m/s

ולכן: x = 40 -10(t-10) = 140 – 10t

קטע רביעי : t = 18 -> 20 s :

t_o = 18 s, x_o = -40 m, v = 10 m/s

ולכן x = -40 + 10(t – 18)

ד. במשך 4 השניות הראשונות הגוף נע מנקודה x = 10 m לנקודה x = 40 m. לכן ההעתק (מספר מכוון של ההעתק) יהיה:

Dx = 40 – 10 = + 30 m.

לכן: ההעתק יהיה 30 m לכיוון הציר – ימינה.

ה. הגוף נע מנקודה x = 10 m לנקודה x = -20 m. לכן ההעתק (מספר מכוון של ההעתק) יהיה:

Dx = -20 – 10 = - 30 m.

לכן: ההעתק יהיה 30 m לכיוון הפוך מהציר – שמאלה.

ו. מהירות וקטורית ממוצעת מחושבת לפי העתק כולל לחלק לזמן כולל:

v = Dx / Dt = -30 / 20 = -1.5 m/s.

כלומר: 1.5 m/s לכיוון שמאל.

ז. מהירות סקלרית ממוצעת מחושבת לפי הדרך הכוללת לחלק לזמן הכולל:

הדרך הכוללת היא: DS = 30 + 80 + 20 = 130 m. לכן:

v = DS / Dt = 130 / 20 = 6.5 m/s.

ח. בהתאם למהירויות הגוף בכל קטע נקבל:

שים לב שמהירות היא רציפה. המעברים בין מהירויות שונות אמורות להיות בקו מלא, כאשר החיבורים מעוגלים. זה היה מתקבל אם פונקציית מקום-זמן הייתה ללא פינות.

2. לפניך תיק משטרתי מס' 1234/56 בו מואשם החתול פריץ, המכונה "פריץ חד-אוזן", בכך שניגש למיצי (שם בדוי , השם האמיתי שמור במערכת) – ומשך לה בשפם! חלק מהנתונים בתיק אבדו. מה שנותר היא העובדה שבזמן t = 0 פריץ היה במקום מרבצו הרגיל – כלומר : x = 0 , העובדה שלאחר מעשה חזר פריץ למקום מרבצו וגרף מהירות לעומת זמן המתאר את האירוע (נעשה קירוב ליניארי בקטעים של הגרף). פריץ טען להגנתו, כי מיצי התחילה, היא ירקה עליו ועשתה לו "חחחחח....".

עליך מוטל להשלים פרטים בתיק על פי הסעיפים הבאים:

א. תאר במילים את תנועתו של פריץ.

ב. יש למצוא את גודל וכוון מהירותו של פריץ בזמנים : t = 3, 5, 9, 12 s .

ג. יש למצוא את גודל וכוון תאוצתו של פריץ בקטעים השונים.

ד. מה היה המרחק בין מיצי לפריץ לפני שהחל לנוע לקראתה ?

ה. באיזה זמן הגיע פריץ למקום מרבצו ?

ו. יש לשרטט גרף העתק X כפונקציה של הזמן. (להקפיד על דיוק לגבי נקודות מיוחדות. להדגיש פונקציה קמורה / קעורה) .

פתרון:

א. נבחר ציר ימינה. נראה לפי הגרף שפריץ מתחיל את תנועתו במהירות חיובית. מזה ניתן להבין שפריץ מתחיל לנוע לכיוון הציר, כלומר: ימינה. עד t = 3 s פריץ מגדיל את מהירותו ימינה בתאוצה קבועה (קצב שינוי המהירות קבוע – קו ישר) עד שמגיע למהירות של 5 m/s ימינה. מ- t = 3 s עד t = 8 s פריץ עדיין נע ימינה (המהירות עדיין חיובית), אבל בתאוטה (בפיסיקה במקרה זה: בתאוצה שלילית). בזמן t = 8 s פריץ נעצר (מהירותו 0). מזמן t = 8 s עד t = 11 s פריץ נמצא באותו מקום (מהירותו אפס – לא זז). מזמן t = 11 s עד זמן t = 12 s פריץ מאיץ לכיוון שמאל (בפיסיקה: תאוצה שלילית). למעשה, מזמן t = 11 s ואילך – מהירות פריץ שלילית, כלומר – הוא נע שמאלה! מזמן t = 12 s ואילך – פריץ נע במהירות קבועה שמאלה.

ב. בהתאמה: v = +5, +3, 0, -5 m/s

(חיובי – עם כיוון הציר. שלילי – הפוך מכיוון הציר).

ג. בהתאמה: a = +5/3, -5/5, 0, -5/1, 0 m/s².

(חיובי – עם כיוון הציר. שלילי – הפוך מכיוון הציר).

ד. פריץ פגש את מיצי בזמן t = 8 s. המרחק שעבר פריץ מנקודת היציאה עד למפגש הוא השטח של המשולש עם צלעות a ו- b וציר t.

כלומר: Dx = S_D = 5 × 8 / 2 = 20 m.

המרחק בין מיצי לפריץ היה תחילה 20 m.

ה. בזמן t = 12 s פריץ היה במקום: x = 20 – 2.5 = 17.5 m. כיוון שפריץ נע במהירות v = -5 m/s הוא יגיע לנקודה x = 0 תוך 3.5 שניות, כלומר בזמן t = 15.5 s.

פריץ יגיע למקום מרבצו בזמן t = 15.5 s.

ו. כדי לשרטט גרף של x כפונקציה של הזמן, יש תחילה לחשב את מיקום פריץ בזמנים שהם קצות הקטעים.

לפי נתוני השאלה:

x_o = 0

את x₃ – x בזמן t = 3 s נחשב לפי:

x₃ = x_o + S_0-3 כלומר:

x₃ = 0 + 5 ´ 3 / 2 = 7.5 m

x₈ = 7.5 + 5 ´ 5 / 2 = 20 m

x₁₁ = x₈ = 20 m

x₁₂ = x₁₁ + (-5 ´ 1 / 2) = 17.5 m

וקיבלנו למעלה:

x₁₅ = 0

בשלב הבא מסמנים על מערכת צירים את כל הנקודות האלו:

הנקודה האחרונה צריכה להיות ב- t = 15.5 s!

בשלב הבא מחברים את הנקודות בקווים או בפרבולות (אנחנו לא עוסקים בפולינומים גבוהים יותר) (הסבר בהמשך):

הנקודה האחרונה צריכה להיות ב- t = 15.5 s!

שים לב: כאשר בגרף v(t) קיים קו אופקי על ציר t, בגרף x(t) יהיה קו אופקי.

שים לב: כאשר בגרף v(t) קיים קו אופקי לא על ציר t, בגרף x(t) יהיה קו משופע.

שים לב: כאשר בגרף v(t) קיים קו משופע עולה (תאוצה חיובית), בגרף x(t) תהיה פרבולה חיובית.

שים לב: כאשר בגרף v(t) קיים קו משופע יורד (תאוצה שלילית), בגרף x(t) תהיה פרבולה שלילית.