מעגלי מתח ישר

דויד זינגר, חשמל:

פרק ה' – הזרם החשמלי

תיאוריה: עמ' 101 – 119 , 121

שאלות: עמ' 126 – 129

14 , 15 , 19 , 21 – 23

פרק ו' – מעגלים חשמליים

תיאוריה: עמ' 130 – 141

שאלות: עמ' 157 – 160

1 – 9 , 13 , 15

מעגל ראשון : הגדרות בסיסיות ורכיבים אידיאליים בסיסיים בלבד.

פוטנציאל (חשמלי) בנקודה: אנרגיה חשמלית ליחידת מטען (לקולון מטען חיובי), אם ימצא באותה נקודה. יחידות הפוטנציאל הם וולט. סימון פוטנציאל בנקודה הוא בצורה : V_A = 1.5 v. משמעות הדבר היא שבמידה ובאותה נקודה ימצא מטען חיובי של 1 קולון – האנרגיה החשמלית שלו תהיה U_E = 1.5 J. במידה וימצא בנקודה A, שם הפוטנציאל החשמלי הוא V_A, מטען חשמלי q כלשהו – האנרגיה של המטען q תחושב לפי: U_E = V_A ´ q.

הערה: פוטנציאל חשמלי (ואנרגיה חשמלית) יכול להיות גם שלילי והוא תלוי בהגדרת מקום שם הפוטנציאל הוא אפס (בדומה ל "מישור יחוס").

מתח (חשמלי), הפרש פוטנציאלים מושגים אלו מתייחסים להבדל פוטנציאלים בין שתי נקודות: בכל מקרה מדובר בגודל הפרש הפוטנציאלים בין שתי נקודות: |V_A-V_B|.

הפרש פוטנציאלים (כמו כל הפרש במדעים) מוגדר לפי: DV = V_B - V_A.

לעומת זאת מגדירים מתח חשמלי (כך בעולם המדע): V_AB = V_A - V_B.

הערה: ברוב השאלות ההתייחסות היא לגודל ההפרש בלבד (חיובי תמיד). בבחינות בגרות משתדלים לפרט לאיזה הפרש מתכוונים. יחד עם זאת יש מקורות שם יש בלבול בין ההגדרות (למשל מגדירים V_AB = V_B – V_A או מתיחסים אל V_AB כמו ל - DV.)

כאשר מטען חשמלי q עובר מנקודה A אל נקודה B, הכוחות החשמליים (בניסוח אחר: השדות החשמליים) מבצעים עליו עבודה בשיעור: W_AB = V_A ´ q - V_B ´ q = V_AB ´ q

(אנרגיה פוטנציאלית התחלתית פחות אנרגיה פוטנציאלית סופית). משמעות הפרש פוטנציאלים, כאשר מטען חשמלי עובר במקור או בנגד – בהמשך.

זרם (חשמלי) העובר בחתך: (בדרך כלל נאמר "זרם בנקודה") מוגדר ככמות מטען העוברת בחתך במשך שניה אחת (ניתן להשוות לזרם מים בצינור, שניתן להגדיר כנפח המים בליטרים העוברים בחתך מסוים במשך שניה אחת).

בדרך כלל מסמנים זרם חשמלי באות I או i. יחידות הזרם החשמלי הם קולון לשנייה, או בקיצור: אמפר. 1 A = 1 c/s

אם נסמן את כמות המטען החשמלי העובר בחתך כ - DQ קולונים ואת הזמן שחלף ב - Dt שניות, אזי נוכל לרשום את הזרם הממוצע בחתך : I = DQ / Dt A. (הערה: לפעמים משתמשים: DQ = I × Dt).

לזרם חשמלי יש כיוון: כיוון הזרם החשמלי מוגדר ככיוון (ממוצע) של תנועת מטענים חיוביים, או כיוון הפוך לכיוון תנועת מטענים שליליים.

זרם רגעי יוגדר באותו אופן, אבל עבור זמן קצר מאוד (Dt ® ¥). אם ידוע הזרם I, אזי כמות המטען החשמלי שיעבור בחתך במשך זמן t יהיה: Q = I × t.

תילים (חשמליים) אידיאליים: (תיל משמעו חוט מתכתי) אלו הם מוליכים המאפשרים מעבר מטענים חשמליים לאורכם ,(כמעט) ללא איבוד אנרגיה. אנחנו מניחים שאין הפרש פוטנציאלים (אין מתח) בין שתי נקודות המחוברות באמצעות תיל אידיאלי כזה (בלי רכיבים נוספים "בדרך"). כאשר מעורבים גם קבלים, אנחנו מניחים שכמות המטען העודף הנמצא על התילים זניח ביחס למטען העודף הנמצא על לוחות הקבלים. חיבור שתי נקודות באמצעות תיל מוליך אידיאלי נקרא קצר. כך – שתי נקודות חשמליות המחוברות באמצעות תיל מוליך אידיאלי נקראות נקודות מקוצרות.

הדגשה : אין חשיבות לאורך התיל האידיאלי המחבר שתי נקודות או לצורתו (ישר או מפותל).

הערה: אין תיל אידיאלי. יחד עם זאת, אם התנגדות התיל (יוגדר בהמשך) זניחה ביחס להתנגדות אחרת רלוונטית – נניח שהתיל אידיאלי. מכאן ואילך כאשר ייכתב תיל – הכוונה היא לתיל אידיאלי (מלבד מקרים שיצוין אחרת).

מקורות (מתח ישר אידיאליים): אלו הם רכיבים המעניקים אנרגיה חשמלית למטענים החשמליים העוברים דרכם. מקור מתח ישר אידיאלי יוצר הפרש פוטנציאלים (מתח) קבוע בין הקוטב ה"חיובי" שלו (האנודה) לבין הקוטב ה"שלילי" שלו (קתודה) (ללא תלות בזרם העובר דרך המקור, או לעומס המחובר למקור). במצב "רגיל" – מקור מספק אנרגיה למטענים חשמליים העוברים דרכו. יש לזכור שמקור לא מייצר מטענים חשמליים!

הערה: הקטבים אינם בהכרח בעלי פוטנציאל חיובי או שלילי, אבל הקוטב החיובי בעל פוטנציאל גבוה מהקוטב השלילי עבור מקור אידיאלי.

הערה: יש הגדרה למקור זרם אידיאלי (לא לבגרות). זהו מקור הגורם לזרם מסוים ללא קשר למתח או לעומס המחובר למקור.

דוגמא למקור מתח ישר (לא אידיאלי) היא סוללה חשמלית שעליה רשום 1.5 v . אם נתייחס אליה כאל מקור מתח אידיאלי, נאמר כי קיים הפרש פוטנציאלים של 1.5 וולט בין הקוטב החיובי של הסוללה לקוטב השלילי שלה, ללא קשר לסוג השימוש שנעשה בסוללה (לא מציאותי). (שוב, זה לא אומר שהפוטנציאל של הקוטב החיובי הוא 1.5 וולט, אלא שהפוטנציאל של הקוטב החיובי גבוה ב – 1.5 וולט מהפוטנציאל של הקוטב השלילי).

נניח כי ישנו מקור אידיאלי שהמתח ("הפרש הפוטנציאלים") "עליו" הוא .V_ABמשמעות הפרש הפוטנציאלים (אנרגיה ליחידת מטען) היא, שאם מטען חיובי של קולון אחד עובר מהקוטב השלילי אל הקוטב החיובי דרך הסוללה, האנרגיה החשמלית של המטען עולה ב V_AB ג'אולים. באופן כללי : אם מטען חיובי q עובר דרך המקור, מהקוטב השלילי אל החיובי (כך מוגדר כיוון המקור – ראה חץ אדום בשרטוט למטה), האנרגיה החשמלית שלו (ביחס למערכת המטענים הכוללת) עולה בשיעור: DU_E = V_AB ´ q. (במידה ומטען חיובי עובר בכיוון הפוך דרך המקור – הוא מאבד אנרגיה. מטען שלילי מאבד אנרגיה כאשר הוא עובר מקוטב שלילי לחיובי ורוכש אנרגיה חיובית במעבר הפוך).

מסמנים בקו ארוך יותר את הקוטב החיובי של מקור ובקו קצר יותר את הקוטב השלילי של המקור. כאן צד A הוא הקוטב החיובי וצד B הוא הקוטב השלילי. כיוון המקור מוגדר מהקוטב השלילי לחיובי (דרך המקור!).

נגדים (חשמליים): הם רכיבים הגורמים למטען העובר דרכם לאבד אנרגיה חשמלית (ביחס למערכת המטענים הכוללת). אם נסמן את המתח (פרש הפוטנציאלים) בין קצות הנגד כ - V_AB, מטען חשמלי q יאבד אנרגיה בשיעור DU_E = |V_AB ´ q|, כאשר יעבור דרך הנגד. נגד "אידיאלי" יקרא נגד "אוהמי".

נגד חשמלי מסומן בד"כ באות R.

הערה: מטען חשמלי, העובר דרך נגד, תמיד מאבד אנרגיה, ללא קשר מאיזה צד נע המטען או סימן המטען.

חוק אוהם : זהו חוק מתמטי המקשר בין המתח לזרם העובר דרך נגד אידיאלי: V_AB = I × R כאשר V_AB הוא המתח על הנגד (ביחידות וולט), I הוא הזרם העובר דרך הנגד (ביחידות אמפר) ו-R הוא התנגדות הנגד (ביחידות אוהם: W). ההתנגדות החשמלית R היא, למעשה, קבוע פרופורציה בקשר בין מתח על הנגד והזרם העובר דרכו. יחידת האוהם ניתנת להירשם כ- וולט לחלק לאמפר.

הערה: התנגדות של נגד מושפעת מגורמים שונים, נושא שידון בהמשך.

מפסקים (חשמליים): הם רכיבים המאפשרים מצב חיבור – מצב קצר בין קצות המפסק (מפסק סגור, מצב ON), או מצב ניתוק – מצב נתק בין קצות המפסק (מפסק פתוח, מצב OFF).

הערה: יש גם מפסקים מורכבים יותר המאפשרים בחירה בין מגוון אפשרויות.

מדי זרם אידיאלים – אמפרמטרים -(גלוונומטר הוא מד זרם רגיש לזרמים נמוכים מאוד): מכשיר למדידת זרם חשמלי (יוגדר בהמשך), כך שהמתח עליו זניח (ביחס לשאר הרכיבים). במילים אחרות: השפעת המכשיר על המעגל החשמלי זניחה.

מד זרם חשמלי מחובר "בטור" למעגל (צריך "לחתוך" את התיל ו"להכניס" את מד הזרם, כך שיהיה מחובר לקצוות ש"נחתכו"). בהמשך נפרט יותר.

מדי מתח אידיאליים – וולטמטרים - מכשירים למדידת מתח חשמלי בין שתי נקודות. הזרם העובר דרך וולטמטר אידיאלי הוא זניח. מכשירים אלו מחוברים "במקביל". בהמשך נפרט יותר.

מעגל שני : מעגלים חשמליים פשוטים.

צמתים : הן נקודות חשמליות מהן יוצאים לפחות שלושה תילים. (שני צמתים מקוצרים נחשבים לאותה צומת). (בשרטוט: A₁ היא צומת, היוצאים ממנו 3 תילים. A₂ היא אותו צומת, כי הצמתים מקוצרים ביניהם).

ענפים : הם קטעי מעגל חשמלי, המתחילים בצומת אחת ומסתיימים בצומת אחרת, ללא צמתים נוספים לאורך הקטע.

הקטע המחבר את A₂ עם B₂ בקו אופקי הוא ענף.

A₁ ו – A₂ נחשבים לאותה צומת (הם מחוברים על ידי תיל – הם "מקוצרים"). כך גם B₁ ו – B₂.

ענף פתוח הוא ענף שמטענים חשמליים לא יכולים לעבור דרכו. זה יקרה אם תיל לא מחובר או קרוע, או באם יש מפסק פתוח או קבל המחובר בענף, נורה חשמלית "שרופה" וכדומה.

ענף סגור הוא ענף שמטענים חשמליים יכולים לנוע לאורכו.

מעגל חשמלי פתוח הוא מעגל שלא ינועו מטענים חשמליים בשום ענף במעגל.

מעגל חשמלי סגור הוא מעגל חשמלי שלפחות בחלקו מאפשר מעבר מטענים חשמליים.

מחוק שימור המטען נובע כי: בכל חתך (בכל נקודה) לאורך ענף מסוים – הזרם זהה. לכן אנחנו מגדירים:

זרם בענף הוא הזרם העובר בכל נקודה לאורך הענף.

מעגל חשמלי בסיסי אידיאלי (מושג שלי): מעגל חשמלי פשוט, הכולל מקור אידיאלי, נגד אידיאלי (נגד אוהמי) תילים (ואולי גם מפסק).

מעגל חשמלי זה כולל ענף אחד בלבד. למעשה, כל המעגל הוא ענף אחד. לכן הזרם החשמלי בכל חתך לאורך המעגל החשמלי יהיה זהה! במעגל חשמלי זה המקור מספק אנרגיה למטענים העוברים דרכו, בעוד הנגד גורם למטענים לבזבז אנרגיה כאשר הם עוברים דרכו.

מעגל חשמלי פשוט (מושג שלי): (נקרא מעגל טורי) מעגל חשמלי (סגור) שאינו כולל צמתים. המעגל כולל מקור ומספר נגדים ותילים.

גם במעגל זה יש ענף אחד בלבד. הזרם זהה בכל נקודה לאורך המעגל. המקור מספק אנרגיה למטענים. המטענים מפסידים אנרגיה במעבר דרך כל אחד מהנגדים!

הערה: במעגל שיש בו ענף אחד מגדירים זרם המעגל – זהו הזרם העובר בכל חתך במעגל.

הערה: מגדירים זרם ראשי כזרם העובר דרך הענף הראשי – הענף הכולל את המקור.

שיקולי אנרגיה במעגלים חשמליים פשוטים.

ישנם שני סוגים של חישובי אנרגיה במעגלים חשמליים:

א. שיקולי אנרגיה לפי מעקב אחרי מטען חשמלי בודד (ניתן לקרוא לו מטען בוחן, בד"כ נתייחס למטען של 1 קולון מטען חיובי). שיקולים אלו קשורים למושגים של פוטנציאלים ומתח חשמלי (ביחידות וולט), כלומר: ניתוח במובן של אנרגיה ליחידת מטען חשמלי.

ב. שיקולי אנרגיה לפי זמן (כמה אנרגיה נמסרה / בוזבזה בכל שניה). שיקולים אלו קשורים למושגים של הספק (ביחידות וואט), כלומר: ניתוח במובן של אנרגיה ליחידת זמן.

בשלב זה ננתח את המתרחש לפי מעקב אחרי מטען בודד (אנרגיה ליחידת מטען חשמלי).

כאשר מבצעים שינוי במעגל חשמלי (למשל סגירת מפסק), הזרם העובר במעגל משתנה. לוקח למטענים החשמליים זמן עד שהם "לומדים" באיזה קצב לנוע (נכון יותר: באיזה זרם לזרום). עד שהזרם יתייצב יהיו תופעות מעבר. כאשר הזרם יתאזן נאמר כי המעגל מיוצב. כמעט בכל השאלות בבגרות, הנבחן נדרש לשקול את מצב המעגל החשמלי לאחר שהוא התייצב. מכאן ואילך, אניח כי מדובר במעגלים חשמליים שכבר התייצבו (או בניסוח: לאחר הרבה זמן...).

אם נעקוב אחרי מטען בוחן העובר מסלול שלם במעגל חשמלי פשוט, נמצא כי כמות האנרגיה שקיבל המטען במקור שווה לכמות האנרגיה שבוזבזה לאורך המסלול שעבר המטען, עד שהגיע שוב למקור, אחרת – האנרגיה שלו תגדל (או תקטן) ללא גבול. לא יתכן שלאחר סיבוב שלם למטען יהיה יותר או פחות אנרגיה מהאנרגיה שהייתה לו קודם (למעשה בשלב המעבר, לפני שהזרם התייצב – אם נשאר למטען עודף אנרגיה – הזרם גדל וההיפך, עד שהזרם התייצב). מזה נובע הכלל הבא:

במעגל מיוצב: כמות האנרגיה שמקבל מטען העובר במקור = כמות אנרגיה המתבזבזת למטען בנגד/נגדים.

נסתכל על מעגל בסיסי אידיאלי (שם שלי):

אם מטען q עובר דרך המקור, הוא מקבל אנרגיה בשיעור: U_E = V_AB ´ q.

המתח על הנגד זהה למתח על המקור (כיוון שנמדד הפרש בין אותן נקודות חשמליים) : V_AB. לכן כמות האנרגיה שהמטען יבזבז בנגד תהיה: U_E = V_AB ´ q גם כן. (שים לב שהתקבל שכמות האנרגיה שקיבל המטען החשמלי במקור = לאנרגיה שבזבז בנגד).

מחוק אוהם עבור הנגד נקבל: V_AB = I × R , או בחילוץ הזרם: I = V_AB / R כאשר: V_AB הוא מתח המקור, R – התנגדות הנגד ו- I יהיה הזרם במעגל החשמלי. זוהי גם הדרך למציאת הזרם במעגל חשמלי בסיסי:

א. יש לשרטט את המעגל החשמלי.

ב. יש לסמן את כיוון המקור.

ג. יש לסמן זרם המתאים לכיוון המקור.

ד. יש לחשב את גודל הזרם לפי: I = V_AB / R

דוגמא: מחברים נגד שהתנגדותו R = 5 _W לסוללה שמספקת מתח של 9 _V. חשב את הזרם שיזרום במעגל החשמלי.

המתח על הנגד שווה למתח על המקור, כלומר: 9 _V. לפי חוק אוהם על הנגד נקבל: I = 9 / 5 = 1.8 _A. זרם זהה לזרם העובר דרך המקור ודרך התילים במעגל החשמלי.

נסתכל על מעגל פשוט (טורי): (כאן כולל מקור ושני נגדים).

אם מטען q עובר דרך המקור, הוא מקבל אנרגיה בשיעור: U_E = V_AB ´ q.

האנרגיה הזאת מבוזבזת על שני הנגדים. לכן חייב להתקיים: U_E = U₁ + U₂ או V_AB × q = V₁ × q + V₂ × q, כאשר V₁ ו- V₂ הם המתחים על הנגדים, בהתאמה. אם נצמצם ב- q נקבל:

סכום המתחים על כל נגד = מתח המקור V_AB = V₁ + V₂ +……

אם נציב את חוק אוהם לכל נגד נקבל: V_AB = I₁ × R₁ + I₂ × R₂ = I ´ (R₁ + R₂) (הזרמים זהים). ולכן:

(בערך כך מופיע בדף נוסחאות). הזרם במעגל טורי יחושב לפי: I = V_AB / SR

טכניקת הפתרון דומה למה שרשמנו קודם.

דוגמא: מחברים שני נגדים בטור למקור מתח. נתון: V_AB = 12 _V , R₁ = 16 _W , R₂ = 8 _W.

א. חשב את הזרם במעגל החשמלי.

ב. חשב את המתח הנופל על כל נגד.

ג. חשב את יחס המתחים על הנגדים.

הזרם במעגל החשמלי הוא: I = 12 / (16 + 8) = 12 / 24 = 0.5 _A.

לפי חוק אוהם נקבל שהמתח על כל נגד יהיה: V₁ = I × R₁ = 0.5 × 16 = 8 _V , V₂ = I × R₂ = 0.5 × 8 = 4 _V.

היחס בין המתחים הוא: V₁ / V₂ = 8 / 4 = 2 ולא במקרה זהו היחס בין התנגדויות הנגדים. לכן אנחנו אומרים:

המתח על נגדים המחוברים בטור מתחלק באופן פרופורציוני בין הנגדים.

(בהמשך הגדרה של נגדים המחוברים בטור). או בצורת קשר אלגברי: V₁/V₂ = R₁/R₂.

אחת משיטות הפתרון של מעגל חשמלי (מציאת זרם במעגל חשמלי) היא שיטת המעגל השקול. בדומה לדרך פתרון משוואה באלגברה – אנחנו מוצאים מעגל חשמלי פשוט יותר, שהזרם בו זהה לזרם במעגל המקורי (השיקולים הנכונים הם שיקולי אנרגיה ולא שיקולי זרמים, אבל נסתפק בזה כאן). מעגל חשמלי זה יקרא "מעגל שקול". לפעמים יש צורך לפשט את המעגל החשמלי בכמה שלבים, כאשר בכל שלב נקבל מעגל חשמלי פשוט יותר.

הגדרה: נגדים מחוברים בטור הם נגדים הנמצאים באותו ענף. בד"כ הכוונה שאין רכיבים נוספים בענף, כמו מקורות מתח, בין הנגדים. במעגלים פשוטים הנגדים מחוברים בטור ולכן גם המעגל נקרא מעגל חשמלי טורי.

ראינו כבר כי מתקיים:

א. דרך נגדים המחוברים בטור זורם אותו זרם: I = I₁ = I₂ = …...

ב. סכום המתחים על נגדים המחוברים בטור שווה למתח הכללי עליהם: V_AB = V₁ + V₂ + …. וכי המתחים "מתחלקים" באופן פרופורציוני בין הנגדים, לכן ניתן לכנות מערך נגדים המחוברים בטור כ- מחלק מתח. (משיקולי אנרגיה זה אומר שכמות האנרגיה הכללית שמטען מבזבז בעוברו את כל הנגדים שווה לסכום האנרגיות שמטען מבזבז על כל נגד!).

ג. (עדיין לא דנו בזה) ההספק הכללי של הנגדים שווה לסכום ההספקים של כל נגד: P_AB = P₁ + P₂ + …. (אלו הם שיקולי אנרגיה במובן של אנרגיה ליחידת זמן).

ד. (נדון בזה מיד) הנגד השקול של נגדים המחוברים בטור הוא נגד שהתנגדותו סכום אלגברי של התנגדויות כל הנגדים: R_T = R₁ + R₂ + …. = SR_i. (את זה עדיין לא ראינו).

הזרם במעגל טורי מחושב לפי I = V_AB / SR. לכן ברור שאם "נחליף" את הנגדים המחוברים בטור בנגד אחד, נגד שקול, שהתנגדותו שוו לסכום התנגדויות הנגדים כלומר: R_T = SR_i, נקבל אותו פתרון עבור הזרם!

דוגמא: נתון מעגל חשמלי טורי, הכולל מקור מתח אידיאלי ושלושה נגדים.

נתון: V_AB = 12 _V , R₁ = 6 _W , R₂ = 4 _W , R₃ = 2 _W.

א. חשב את ההתנגדות השקולה במעגל החשמלי.

ב. חשב את הזרם במעגל השקול.

ג. מהו הזרם במעגל המקורי?

ד. חשב את המתח על כל נגד.

פתרון:

א. R_T = R₁ + R₂ + R₃ = 6 + 4 + 2 = 12 _W. ההתנגדות השקולה היא 12 אוהם. לכן המעגל השקול כולל מקור מתח של 12 וולט ונגד של 12 אוהם!

ב. הזרם במעגל החשמלי השקול יחושב לפי: I = V_AB / R = 12 / 12 = 1 _A.

ג. הזרם במעגל החשמלי המקורי זהה לזרם במעגל החשמלי השקול והוא 1 אמפר.

ד. המתחים על הנגדים יחושבו לפי חוק אוהם: V₁ = 1 × 6 = 6 _V , V₂ = 1 × 4 = 4 _V , V₃ = 1 × 2 = 2 _V. אכן, המתחים שהתקבלו פרופורציוניים להתנגדויות וסכומם הוא כמתח המקור.

מחוק שימור המטען נובע כלל הצומת של קירכהוף: סכום הזרמים הנכנסים לצומת = סכום הזרמים היוצאים ממנו.

ניתן לרשום זאת כך: Iin = Iout או כך: SI = 0, כאשר זרמים נכנסים נחשבים חיוביים וזרמים יוצאים – שליליים.

הגדרה: נגדים מחוברים במקביל או מחלק זרם - אם מתקיים:

א. בכל ענף המחובר במקביל יש רק נגד אחד (בלי שום תוספת).

ב. הענפים נפרשים בין אותם (שני) צמתים.

לגבי נגדים המחוברים במקביל ניתן לומר:

א. סכום הזרמים העוברים דרך הנגדים = זרם הכללי: I_T = I₁ + I₂ + … (נובע משמור מטען/ כלל הצומת).

ב. המתחים על הנגדים זהים ושווים למתח הכללי: V_T = V₁ = V₂ = …. (הפרש פוטנציאלים בין אותן נקודות).

ג. (עדיין לא דנו בזה) ההספק הכללי של הנגדים שווה לסכום ההספקים של כל נגד: P_AB = P₁ + P₂ + ….

ד. הנגד השקול של נגדים המחוברים במקביל מחושב לפי: 1/R_T = 1/R₁ + 1/R₂ + … = S(1/R_i).

קל לקבל את הביטוי להתנגדות השקולה מתוך כלל הצומת וחוק אוהם: I_T = I₁ + I₂ + …. . במקום זרם I נרשום לפי חוק אוהם: I = V / R ונקבל: V_T / R_T = V₁ / R₁ + V₂ / R₂ + … אבל כל המתחים שווים. לאחר שנצמצם במתח נקבל:

1/R_T = 1/R₁ + 1/R₂ + ….

(נכון יותר לקבל את התוצאה משיקולי אנרגיה. מטען העובר דרך המקור מקבל אנרגיה ומבזבז את כולה (בדיוק) בכל מסלול שינוע! לא יתכן, למשל, שאם ינוע במסלול א' מנקודה A לנקודה B, יבזבז יותר אנרגיה מאשר אם ינוע במסלול ב', מנקודה A לנקודה B).

כדי לחשב כיצד הזרם מתחלק בין שני נגדים המחוברים במקביל (וידוע מהו הזרם השקול) – נרשום את המשוואות:

כלל הצומת: I_T = I₁ + I₂

מתחים שווים על הנגדים: V₁ = V₂ >> I₁ × R₁ = I₂ × R₂

ניתן גם לקבל ממשוואות אלו: I₁ = R₂ / (R_I + R₂) × I_T , I₂ = R₁ / (R₁ + R₂) × I_T. (הזרמים בפרופורציה הפוכה להתנגדויות)

דוגמא: מחברים שני נגדים במקביל למקור אידיאלי.

נתון: V_AB = 12 _V , R₁ = 6 _W , R₂ = 3 _W.

א. חשב את ההתנגדות החשמלית השקולה המחוברת למקור.

ב. חשב את הזרם העובר במעגל החשמלי השקול.

ג. חשב את הזרם העובר דרך כל נגד

פתרון:

א. ההתנגדות השקולה תחושב לפי:

1/R_T = 1/R₁ + 1/R2 = 1/6 + 1/3 = 3/6 = 1/2 כלומר: R_T = 2 _W.

ב. הזרם במעגל החשמלי השקול יהיה:

I = V_AB / R = 12 / 2 = 6 _A.

ג. את הזרם דרך כל נגד נוכל לחשב (לפחות) בשתי דרכים:

1. לפי חוק אוהם: המתח על כל נגד הוא כמו המתח על המקור. לכן: I₁ = 12/6 = 2 _A, I₂ = 12/3 = 4 _A.

2. לפי "מחלק זרם: נרשום את המשוואות: I_T = I₁ + I₂ , I₁ × R₁ = I₂ × R₂ כלומר:

6 = I₁ + I₂ , 6 × I₁ = 3 × I₂ והפתרון יהיה: I₁ = 2 _A , I₂ = 4 _A. אכן קיבלנו שהזרמים ביחס הפוך להתנגדויות הנגדים!

->

המתח על המקור (כולל התנגדות פנימית), נקרא "מתח הדקים". ערכו של מתח זה (כאשר הזרם זורם עם כיוון המקור וערכו נלקח כפוטנציאל קוטב חיובי פחות פוטנציאל קוטב שלילי) הוא:

מתח הדקים של מקור לא אידיאלי: V_AB = e - I ´ r

(שים לב שמתח ההדקים הוא מתח מקור אידיאלי e, פחות מתח על "התנגדות פנימית". חיסרנו כי זרם בנגד זורם מקצה בפוטנציאל גבוה לקצה בפוטנציאל נמוך יחסית).

דוגמא: למקור לא אידיאלי, שהכא"מ שלו הוא e = 24 v והתנגדותו הפנימית היא r = 1 _W, מחברים שני נגדים בטור. התנגדות הנגדים היא R₁ = 4 _W , R₂ = 3 _W.

חשב את הזרם העובר במעגל החשמלי ואת מתח ההדקים של המקור.

פתרון:

נתייחס אל המעגל החשמלי כאל המעגל החשמלי הבא:

לכן: I = e / SRi = 24/8 = 3 _A. מתח ההדקים של המקור הוא: V_AB = e - r ´ I = 24 – 1 ´ 3 = 21 _V. כלומר: "העומס" (הנגדים R₁ ו- R₂ ) "מרגיש" שהמקור מספק מתח של 21 _V.

נצילות מקור (לפי אנרגיה ליחידת מטען) היא: h = V_AB / e (אנרגיה מתקבלת לחלק לאנרגיה מושקעת). כדי לקבל את הנצילות באחוזים יש לכפול ב- 100%.

זכור: הפוטנציאל של הקוטב החיובי במקור גבוה מהפוטנציאל של הקוטב השלילי (מלבד מצבים קיצוניים של מעבר זרם הפוך חזק). הפרש הפוטנציאלים על מקור אידיאלי הוא קבוע ועל מקור לא אידיאלי הוא מתח ההדקים e - r ´ I.

זכור: זרם בנגד תמיד זורם מקצה הנגד שם הפוטנציאל גבוה יותר לצד הנגד שם הפוטנציאל קטן יותר. הפרש הפוטנציאלים על הנגד הוא R ´ I.

לפי מה שכתוב למעלה – ניתן לדעת את השינוי בפוטנציאל בין שני צדדים של נגד או מקור. כך אפשר למצוא הפרש פוטנציאלים בין שתי נקודות חשמליות.

כדי לחשב מתח בין שתי נקודות חשמליות, בדרך כלל משתמשים באחת הטכניקות הבאות:

1. לאחר חישוב הזרמים במעגל החשמלי, מבצעים את הפעולות הבאות:

א. נבחר נקודת יחוס שם הפוטנציאל אפס. נוח לבחור נקודה זאת בקוטב השלילי של המקור, כך שלא נקבל פוטנציאלים שליליים. התהליך מאוד דומה לבחירת מישור יחוס. ניתן גם לקבוע ערך יחוס שונה מאפס.

ב. מתקדמים לנקודות סמוכות כאשר:

1. אם עוברים נגד – ערך הפוטנציאל משתנה ב- I ´ R. אם עוברים עם כיוון הזרם – הפוטנציאל יורד. אם עוברים בכיוון הפוך לזרם – הפוטנציאל עולה.

2. אם עוברים מקור – הפוטנציאל משתנה במתח ההדקים. אם עוברים עם כיוון המקור – הפוטנציאל עולה. אם עוברים נגד כיוון המקור – הפוטנציאל יורד.

2. לאחר חישוב הזרמים במעגל החשמלי, מבצעים את הפעולות הבאות:

א. נסמן מסלול רציף (העובר דרך נגדים ומקורות, ללא מפסקים פתוחים או קבלים במסלול).

ב. לאורך המסלול נחשב את המתח לפי: V_AB = S(R ´ I) - Se, לפי הכללים הבאים:

1. אם עוברים נגד עם כיוון הזרם – מוסיפים I ´ R. אם עוברים נגד כיוון הזרם – מחסרים I ´ R (כלומר הביטוי I ´ R מקבל ערך שלילי). הדבר נכון גם להתנגדות פנימית.

2. אם עוברים מקור אידיאלי עם כיוון המקור - e נחשב לחיובי וההיפך. אם המקור לא אידיאלי – מתייחסים אליו כצרוף של מקור אידיאלי והתנגדות פנימית.

דוגמא: מצא את הזרמים במעגל החשמלי הבא ומצא את המתח V_AB.

נגדים 2 _W ו- 1 _W מחוברים בטור. נגדים 4 _W ו- 2 _W מחוברים בטור. הנגדים השקולים הם בני 3 _W ו- 6 _W בהתאמה.

לכן נקבל את המעגל החשמלי השקול הבא:

הנגדים 3 _W ו- 6 _W מחוברים במקביל. השקול שלהם הוא נגד בן 2 _W. לכן נקבל את המעגל החשמלי השקול הבא:

את המעגל החשמלי הבא אנחנו יודעים "לפתור": נסמן את הזרם ונחשב I = e / SRi = 20 / 10 = 2 _A.

נחזור שלב אחד אחורה: דרך הנגדים 3 W ו- 6 W יחד זורמים 2 A זרמים. הזרם הזורם דרך כל נגד מחושב לפי המשוואות הבאות:

לפי כלל הצומת (או שמור מטען): I₃ + I₆ = 2

לפי מתחים שווים על נגדים המחוברים במקביל: 3 ´ I₃ = 6 ´ I₆

פתרון מערכת המשוואות ייתן: I₃ = 4/3 _A , I₆ = 2/3 _A.

עכשיו אנחנו מוכנים לחישוב המתח V_AB.

ניתן לחשב ישירות מחוק אוהם את המתח על הנגד 5 _W: V_AB = I ´ R = 2 ´ 5 = 10 _V, כאשר נקודה A היא בעלת פוטנציאל גבוה יותר, כי הזרם זורם מ- A אל B.

נפתור לפי שיטה ראשונה (בחירת ערך יחוס):

א. נבחר את נקודה B (זוהי הנקודה המחוברת לקוטב השלילי של המקור) כבעלת פוטנציאל אפס.

ב. מ- B ניתן להתקדם (עם או נגד כיוון הזרם ולקבל את הפוטנציאלים הבאים:

לפי שיטה שניה: נסמן מסלול מ- B אל A כך (לא חייבים לבחור מסלול זה, ניתן לבחור מסלול פשוט יותר):

החישוב יהיה: V_AB = S(R ´ I) - Se = (2 ´2 + 1 ´ 2 + 3 ´ 4/3) – (20) = -10 _V.

הערך של V_AB התקבל כשלילי מכיוון ש- B נמצא בפוטנציאל נמוך יותר מהפוטנציאל בנקודה A.

התנגדות תיל אחיד: התנגדות חשמלית של תיל אחיד מושפעת מגורמים שונים (טמפרטורת התיל היא הגורם העיקרי המשפיע על התנגדות התיל, אבל גם לחץ, למשל, משפיע). אם נתעלם מגורמים אלו, ניתן לומר שהתנגדות תיל נקבעת לפי:

R = r ´ L / A ובמילים: התנגדות התיל היא מכפלת ההתנגדות הסגולית של החומר ממנו עשוי התיל באורך התיל לחלק לשטח החתך של התיל.

נראה שהתנגדות התיל פרופורציונית לאורכו ובפרופורציה הפוכה לשטח החתך שלו (ככל שתיל ארוך יותר – התנגדותו גדולה יותר. ככל שתיל עבה יותר – התנגדותו קטנה יותר).

אנחנו משתמשים יותר ב"נוסחה חלקית" של קשר זה:

R = l ´ L

כאשר R הוא התנגדות התיל ביחידות אוהם, L הוא אורך התיל ביחידות מטר ו- l היא התנגדות התיל לכל מטר ביחידות אוהם לחלק למטר.

דוגמא: התנגדות תיל ליחידת אורך של תיל מסוים היא l = 0.25 W/m. חשב את התנגדות התיל אם אורכו 3 m.

פתרון: R = l ´ L = 0.25 ´ 3 = 0.75 W.

חסר:

נגד משתנה.

ניתוח מעגל לפי זמן. (הספקים).

מכשירים חשמליים.

תרגילים:

1. מקור אידיאלי המספק מתח V, מחובר במעגל טורי כל פעם לנגד אחר. חשב בכל מקרה את המתח על הנגד ואת הזרם העובר בנגד, לאחר שהזרמים התייצבו.

נתון: V = 24 _V ; R = 2, 3, 4, 6, 8 _Ω

2. מקור אידיאלי המספק מתח V, מחובר במעגל טורי כל פעם לזוג נגדים שונה.

חשב בכל מקרה את המתח על כל נגד ואת הזרם העובר בכל נגד, לאחר שהזרמים התייצבו.

נתון: V = 24 _V ; (R₁, R₂) = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 6) _Ω

3. מקור אידיאלי המספק מתח V, מחובר במעגל טורי לשלושה נגדים. חשב את המתח על כל נגד ואת הזרם העובר בכל נגד, לאחר שהזרמים התייצבו.

נתון: V = 24 _V ; (R₁, R₂, R₃ ) = (1, 2, 3) _Ω

4. מקור אידיאלי המספק מתח V, מחובר במעגל טורי כל פעם לזוג נגדים שונה המחוברים ביניהם במקביל. חשב בכל מקרה את המתח על כל נגד ואת הזרם העובר בכל נגד, לאחר שהזרמים התייצבו. מהו הזרם העובר דרך המקור?

נתון: V = 24 _V ; (R₁, R₂) = (1, 1), (1, 2), (6, 3), (2, 4), (2, 6) _Ω

5. חשב את המתח ואת הזרם העובר בכל נגד.

6. לפניכם מעגל חשמלי, הכולל מקור אידיאלי ומספר נגדים. מתח המקור והתנגדות הנגדים מופיעים על השרטוט. מספר נקודות מצוינות גם הן על השרטוט.

א. חשב את ההתנגדות השקולה המחוברת למקור.

ב. חשב את הזרם העובר במקור.

ג. חשב את הזרם העובר דרך הנגד שהתנגדותו 6 Ω. חשב את הזרם העובר בנגד שהתנגדותו 2 Ω בענף BD.

ד. חשב את הזרם העובר דרך הנגד שהתנגדותו 3 Ω ודרך נקודה E.

ה. חשב את המתחים הבאים: V_AF, V_AB, V_AD, V_AE, V_FD, V_EC, V_DA.

7. למקור לא אידיאלי מחברים שני נגדים בטור. חשב את הזרם העובר במעגל החשמלי ואת מתח ההדקים של המקור אם:

א. e = 12 _v ; r = 1 _W ; R₁ = 2 _W ; R₂ = 3 _W

ב. e = 12 _v ; r = 1 _W ; R₁ = 4 _W ; R₂ = 7 _W

ג. e = 12 _v ; r = 1 _W ; R₁ = 10 _W ; R₂ = 13 _W

ד. e = 12 _v ; r = 2 _W ; R₁ = 1 _W ; R₂ = 3 _W

8. למקור לא אידיאלי מחברים שלושה נגדים כמו בשרטוט המצורף. חשב את הזרם העובר בכל ענף במעגל החשמלי ואת מתח ההדקים של המקור אם:

א. e = 12 _v ; r = 0.5 _W ; R₁ = 2 _W ; R₂ = 3 _W ; R₃ = 5 _W

ב. e = 6 _v ; r = 0.4 _W ; R₁ = 3 _W ; R₂ = 5 _W ; R₃ = 2 _W

9. למקור לא אידיאלי מחברים שלושה נגדים כמו בשרטוט המצורף. חשב את הזרם העובר בכל ענף במעגל החשמלי ואת מתח ההדקים של המקור אם:

א. e = 9 _v ; r = 0.6 _W ; R₁ = 1 _W ; R₂ = 5 _W ; R₃ = 4 _W

ב. e = 12 _v ; r = 1 _W ; R₁ = 9 _W ; R₂ = 3 _W ; R₃ = 4 _W

10. למקור לא אידיאלי מחברים שבעה נגדים כמו בשרטוט המצורף.

נתון: e = 12 _v ; r = 0.5 _W ; R₁ = 1 _W ; R₂ = 12 _W ; R₃ = 4 _W ; R₄ = 3 _W ; R₅ = 6 _W ; R₆ = 3 _W ; R₇ = 2.5 _W

א. חשב את הזרם העובר בכל ענף במעגל החשמלי.

ב. חשב את מתח ההדקים של המקור.

ג. חשב את המתח V_AC.

ד. חשב את המתח V_AB.

11. נתון המעגל החשמלי המשורטט. חשב את הזרם בכל ענף ואת מתח ההדקים של המקור.

12. נתון המעגל החשמלי הבא. פוטנציאל הנקודה B נקבע כ- 0. חשב את הפוטנציאל בכל הנקודות בנתונות:

13. למקור לא אידיאלי, בעל כא"מ e והתנגדות חשמלית r, מחברים נורה חשמלית שהתנגדותה R ונגד משתנה. אורך הנגד המשתנה הוא L והתנגדותו (בין הקצוות A ו- B) היא R_L. הגררה C יכולה לנוע בין נקודת קצה A לנקודת קצה B (ראה שרטוט). המרחק AC מסומן כ- x וההתנגדות בין A ל- C היא R_X.

נתון: e = 9 _v ; r = 0.5 _W ; R = 2.5 _W ; R_L = 15 _W ; L = 30 _cm

א. כאשר הגררה C נמצאת בנקודת קצה A:

1. מהו הזרם העובר במעגל החשמלי?

2. מהו המתח על הנורה?

3. מהו מתח ההדקים של הנורה?

ב. כאשר הגררה C נמצאת בנקודת קצה B:

1. מהו הזרם העובר במעגל החשמלי?

2. מהו המתח על הנורה?

3. מהו המתח על הנגד המשתנה?

4. מהו מתח ההדקים של הנורה?

ג. חשב את ההתנגדות החשמלית לכל סנטימטר של הנגד המשתנה.

ד. חשב את ההתנגדות האפקטיבית R_X של הנגד המשתנה, כאשר x = 20 cm .

ה. מה צריכה להיות ההתנגדות החשמלית R_X, כדי שעל הנורה ייפול מתח של 5v? היכן יש להציב את הגררה C כדי לקבל התנגדות זאת?

ו. חשב את הזרם במעגל החשמלי ואת המתח על הנורה עבור: x = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 cm.

ז. שרטט גרף מתאים עבור הזרם כפונקציה של x ועבור המתח על הנורה כפונקציה של x.

ח. פתח ביטוי אלגברי לזרם כפונקציה של x, I(x) ושל המתח על הנורה כפונקציה של x, V(x).

ט. בדוק תאימות הגרפים שקיבלת לביטויים שקיבלת!

14. השב בקצרה:

א. אם מחוברים מספר נגדים בטור – שקול הנגדים גדול מהגדול ביניהם.

ב. אם מחוברים מספר נגדים במקביל – שקול הנגדים קטן מהקטן ביניהם.

ג. אם מחוברים n נגדים בעלי אותה התנגדות R בטור, השקול יהיה: R_T = n × R.

ד. אם מחוברים n נגדים בעלי אותה התנגדות R במקביל, השקול יהיה: R_T = R/n.

ה. אם מוסיפים נגד נוסף בטור לנגדים המחוברים בטור – ההתנגדות השקולה עולה.

ו. אם מחברים נגד נוסף במקביל לנגדים המחוברים במקביל – ההתנגדות השקולה יורדת.

ז. ההתנגדות השקולה של שני נגדים המחוברים בטור גדולה יותר לו חוברו במקביל.

15. השב בקצרה:

א. מה יקרה אם נהפוך חיבורים של אחד הנגדים?

ב. מה יקרה אם נהפוך את חיבורי המקור במעגל חשמלי בו קיים מקור אחד?

ג. האם יתכן שהמתח (בערך מוחלט) בין שתי נקודות במעגל חשמלי בעל מקור בודד, יהיה גדול ממתח המקור?

ד. האם יתכן שחישוב המתח בין שתי נקודות יעשה במסלולים שונים ותתקבל תוצאה שונה?

ה. מספר נורות מחוברות בטור למקור בודד. מה יקרה אם אחת הנורות "תישרף"?

ו. מספר נורות מחוברות במקביל למקור בודד. מה יקרה אם אחת הנורות "תישרף"?

תוצאות:

1. המתח על הנגדים יהיה 24 v לכל המקרים. הזרמים יהיו בהתאמה: 12, 8, 6, 4, 3 _A

2. (I, V₁, V₂) = (12,12,12);(8,8,16);(6,6,18);(4,8,16);(3,6,18)

3. הזרם לכולם: 4 _A. המתחים: V₁ = 4 v ; V₂ = 8 v ; V₃ = 12 _V

4. בכל המקרים המתח על כל הנגדים הוא 24 v. הזרמים דרך המקור ודרך הנגדים יהיו (אי"ה): (I,I₁,I₂)=(48,24,24);(36,24,12);(12,4,8);(18,12,6);(16,12,4)

5. I_T = 3 _A. I₁ = 1 _A. I₂ = 2 _A. מתח על כל נגד מתקבל ממכפלת הזרם בהתנגדות (אוהם).

6. א. R_T = 2.4 _W ב. I_T = 5 _A ג. I₆ = 2 _A , I₂ = 3 _A ד. I₃ = 2 _A , I_E = 1 _A ה. V_AF = 12 v , V_AB = 0

V_AD = 6 v , V_AE = 8 v , V_FD = -6 v , V_EC = -8 v , V_DA = -6 v

7. א. I = 2 _A , V_AB = 10 v ב. I = 2 _A , V_AB = 10 v ג. I = 0.5 _A , V_AB = 11.5 v ד. I = 2 _A , V_AB = 8 v

8. א. I = 4 _A , V_AB = 10 v ב. I = 3 _A , V_AB = 4.8 v

9. א. I = 9 _A , V_AB = 5.4 v ב. I = 2.430 _A , V_AB = 9.570 v

10. א. I_T = I₁ = I₄ = I₇ = 1 _A , I₃ = 0.75 _A , I₂ = 0.25 _A , I₅ = 0.3333 _A , I₆ = 0.6667 _A ב. 11.5 v ג. -10.5 v ד. -4.5 v

11. I_T = I₆ = 1/6 _A , I₃ = 7/60 _A , I₇ = 1/20 _A , V = 1.35 v

12. V_B = V_D = 0 , V_A = V_C = 0.81 v , V_F = 0.6 v , V_E = 0.72 v , V_G = 0.67 v

13. חסר

14. חסר

15. חסר