בעיות מודרכות

דוגמה: עגלה בעלת מסה m = 5 kg מונחת בנקודה A על משטח אופקי חלקA . מרגע מסוים מופעל על העגלה כוח קבוע F שגודלו 20 N המוטה בזווית α = 60° מעל האופק (ראה שרטוט). מה תהיה מהירות העגלה לאחר שתעבור מרחק של 4 m (עד לנקודה B)?

על העגלה פועלים הכוח F, כוח הכובד mg ונורמל מהמשטח N:

נרשום את עבודת כל כוח:

כוח הכובד mg: W_A®B = mg ´ Dx ´ cos(90°) = 0 (כי cos(90°) = cos(270°) = 0)

כוח הנורמל N: W_A®B = N ´ Dx ´ cos(90°) = 0 (כי cos(90°) = cos(270°) = 0)

הכוח F: W_A®B = F ´ Dx ´ cos(α) = 20 ´ 4 ´ cos(60°) = 40 _J

לכן סכום כל העבודות הוא: SW_A®B = 40 _J

לפי משוואת העבודה והאנרגיה: SW_A®B = 40 = ½ ´ 5 ´ v_B² – ½ ´ 5 ´ 0² Þ v_B = 4 m/s

מהירות העגלה, כאשר תגיע לנקודה B, תהיה 4 m/s ימינה. שים לב שהעובדה שכיוון המהירות ימינה לא התקבלה ממשוואת עבודה ואנרגיה, אלא מהבנת המתרחש.

דוגמה: עגלה בעלת מסה m = 4 kg נעה על משטח אופקי לא חלק. מקדם החיכוך בין העגלה למשטח הוא m_k = 0.2. כוח קבוע F שגודלו 15 _N וכיוונו b = 53.13° מעל קו אופקי ימינה (כך שמתקיים: α = 126.87°). ברגע התחלתי (העגלה נמצאת בנקודה A) מהירות העגלה Vo = 3 m/s שמאלה. בשרטוט להוריד גלגלים ולהוסיף בטא.

מה המרחק שתעבור העגלה עד העצרה (מה המרחק בין A ל- B, אם העגלה נעצרה בנקודה B)?

כדי לפתור את הבעיה לפי עבודה ואנרגיה, יש תחילה לחשב את גודל החיכוך הקינטי. לכן נתחיל לחשב כוחות לפי חוקי ניוטון (אותנו מעניין רק לפתור את הציר של הנורמל כדי לחשב את החיכוך). נבודד:

נבחר מערכת צירים, נפרק לרכיבים:

ונקבל לפי חוק I של ניוטון עבור ציר y: SF_y = 0 Þ N + 15 ´ sin(53.13°) - 40 = 0 Þ N = 28 _N

כלומר: f_k = 0.2 ´ 28 = 5.6 _N

כל זאת הייתה "הכנה לעבודה ואנרגיה". נעבור לחישוב סכום העבודה על הגוף, מנקודה A עד העצרה בנקודה B:

כוח הכובד mg והנורמל N לא מבצעים עבודה במקרה שלנו (לא תמיד כך).

עבודת הכוח F מחושבת כך:

W_A®B = 15 ´ Dx ´ cos(126.87°) = - 9 ´ Dx

עבודת החיכוך תחושב כך:

W_A®B = 5.6 ´ Dx ´ cos(180°) = - 5.6 ´ Dx

ולכן סכום העבודות שבוצעו על העגלה הוא:

SW_A®B = - 9 ´ Dx – 5.6 ´ Dx = -14.6 ´ Dx _J

הצבה במשוואת עבודה ואנרגיה תיתן:

SW_A®B = -14.6´ Dx = ½ ´ 4 ´ 0² – ½ ´ 4 ´ 3² Þ Dx = 1.233 m

העגלה תעבור מרחק של Dx = 1.233 m שמאלה עד שתיעצר.

דוגמה: על מדרון חלק שזווית שיפועו α = 36.87°, מוחזקת עגלה שמסתה m = 3 kg. ברגע מסוים העגלה משוחררת. מה תהיה מהירות העגלה לאחר שעברה מרחק של 5 m?

בידוד העגלה (עם סימון ההעתק והזווית הרלוונטית לכוח הכובד b):

מטריגונומטריה ברור כי:

b = 90 – α

cos(b) = cos(90 – α) = sin(α)

הנורמל לא מבצע עבודה (מאונך לתנועה). לכן עבודת כוח הכובד היא גם סכום כל העבודות:

SW_A®B = Wmg = mg ´ Dx ´ cos(b) = mg ´ Dx ´ sin(α) = mg ´ h = 30 ´ 3 = 90 _J

כאשר h הוא הגובה שהעגלה ירדה במהלך התנועה ( h = Dx ´ sin(α) ).

נציב במשוואת עבודה ואנרגיה ונקבל:

SW_A®B = 90 = ½ ´ 3 ´ v_B² – ½ ´ 3 ´ 0² Þ v_B = 7.746 m/s

מהירות העגלה, לאחר שתרד מרחק של 5 m , תהיה 7.746 m/s לכיוון מורד המדרון.

דוגמה: חישוב עבודת כוח הכובד עבור גוף העולה אנכית:

זורקים כדור, שמסתו m, מראש בניין שגובהו h_A אנכית מעלה. חשב את עבודת כוח הכובד על הכדור, בהעתק מנקודה A, עד לנקודה B שגובהה h_B.

עבודת כוח הכובד היא:

W_A®B = mg ´ Dx ´ cos(180°) = - mg ´ Dx

לפי השרטוט רואים שמתקיים:

Dx = h_B – h_A

לכן נקבל: W_A®B = - mg ´ Dx = - mg (h_B – h_A)

לסיכום: עבודת כוח הכובד היא: Wmg _A®B = mgh_A - mgh_B

שים לב: כאן A מציינת נקודת התחלת העתק ונקודה B מציינת נקודת סיום העתק.

שים לב: ניתן לרשום את עבודת כוח הכובד כ- Wmg _A®B = mg(h_A - h_B). נראה שמה שקובע הוא הפרש גבהים ולא גובה אבסולוטי!

דוגמה: חישוב עבודת כוח הכובד עבור גוף היורד אנכית:

גוף שמסתו m, נופל מנקודה A שגובהה h_A. חשב את עבודת כוח הכובד בהעתק עד לנקודה B, הנמצאת בגובה h_B.

עבודת כוח הכובד היא:

W_A®B = mg ´ Dx ´ cos(0°) = mg ´ Dx

לפי השרטוט רואים שמתקיים:

Dx = h_A – h_B

לכן נקבל: W_A®B = mg ´ Dx = mg (h_A – h_B)

לסיכום: עבודת כוח הכובד היא: Wmg _A®B = mgh_A - mgh_B

ניתן להראות (אינטגרל על מסלול תנועה) כי בכל מסלול שגוף יגיע מנקודה A לנקודה B – עבודת כוח הכובד תהיה:

Wmg _A®B = mgh_A - mgh_B

בשרטוט מוצגים שלושה מסלולי תנועה של גוף מנקודה A לנקודה B. ללא קשר לאיזה מסלול יבחר, מה תהיה המהירות הרגעית של הגוף במשך התנועה, אילו עוד כוחות פועלים על הגוף או כל גורם אחר, עבודת כוח הכובד תלויה אך ורק במסת הגוף m, בתאוצת הכובד g, בגובה "התחלתי" של הגוף ובגובה "סופי" של הגוף (למעשה הפרש הגבהים).

לכוח שעבודתו על גוף אינה תלויה במסלול התנועה, אלא בגורמים התחלתיים וסופיים, יש משמעות מעשית גדולה: ניתן לפתח ביטוי לעבודת הכוח! (מה שנקרא בשפת העם "נוסחה"). אם נסתכל על הבעיה שהצגנו קודם, כדי לדעת מהי עבודת כוח הכובד, די שנדע (מלבד המסה ותאוצת הכובד) את הגבהים של נקודות A ו- B!

לכוח כזה (שעבודתו לא תלויה במסלול אותו עובר הגוף) קוראים כוח משמר. אם כך – כוח הכובד הוא כוח משמר!

בפיתוח עבור עבודת כוח הכובד התקבלו ביטויים מהצורה: mgh. אז למה לא לתת לזה שם?

אנרגיה פוטנציאלית כובדית של גוף (בקיצור אנרגיה פוטנציאלית) מוגדרת לפי: U_G = Ep = mgh

(סימנתי את האנרגיה הפוטנציאלית גם כ- Ep וגם כ- U_G, כיוון שבדף נוסחאות לבגרות האנרגיה מסומנת כ- U_G).

מכאן שניתן לרשום את עבודת כוח הכובד (כאשר גוף נע מנקודה A לנקודה B) כך:

Wmg _A®B = Ep_A - Ep_B

יחידות האנרגיה הפוטנציאלית הן: kg ´ m/s² ´ m או N ´ m שהן , בעצם, ג'אול! אבל לזה היינו צריכים לצפות, כיוון שעבודת כוח הכובד היא הפרש של אנרגיות פוטנציאליות, ויחידות העבודה הן ג'אולים!

עבודת כוח משמר היא תמיד הפרש של אנרגיות פוטנציאליות (הקשורות לאותו כוח). למעשה ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית (למשל כובדית) כביטוי, כך שהפרשים (חיסור) של ביטויים כאלו הם עבודת הכוח המשמר. עבודת הכוח היא הדבר החשוב מבחינתנו.

אנרגיה פוטנציאלית אינה חד משמעית. עבור אנרגיה פוטנציאלית כובדית, הגובה אינו חד משמעי – ניתן למדוד אותו מגובה השולחן, מגובה הרצפה או מגובה פני הים. בכל בחירה, האנרגיה הפוטנציאלית תהיה שונה, אך הפרש האנרגיות (כלומר עבודת כוח הכובד) תהיה זהה עבור כל בחירה לגבי בעיה מסוימת.

לכל סוג של אנרגיה פוטנציאלית יש מצב או נקודת יחוס, לפיה נקבע גודל האנרגיה הפוטנציאלית. עבור אנרגיה פוטנציאלית כובדית – נהוג לקרוא לנקודת הייחוס "מישור יחוס", כאשר הכוונה היא למישור אופקי שעבורו הגובה נחשב ל- h = 0. נוח לבחור את מישור הייחוס בבעיה מסוימת כך שלא יתקבלו גבהים שליליים.

קביעת מישור הייחוס כמוה כקביעת ציר h לכיוון מעלה, כך שראשית הציר בגובה מישור הייחוס. כך יתכן שגובה יהיה שלילי.

מרגע שנקבע מישור יחוס עבור גוף מסוים – כל ביטויי האנרגיה הפוטנציאלית עבור אותו גוף חייבים להתייחס לאותו מישור יחוס. לגופים שונים ניתן לבחור מישורי יחוס שונים.

כאן נבחר מישור הייחוס (אפס) בגובה תחתית הבניין.

הגבהים של הנקודות A ו- B הם חיוביים.

משוואת העבודה והאנרגיה שרשמנו הייתה: SW_A®B = E_kB - E_kA

עתה ניתן לרשום במקום SW_A®B כך:

SW_A®B = W_{mg A®B} + SW_{NC A®B} = E_pA – E_pB + SW_{NC A®B} = E_kB - E_kA

כאשר עבודת כוח הכובד נרשמה בצורה: W_{mg A®B} = E_pA – E_pB

והביטוי SW_{NC A®B} מבטא את עבודת כל הכוחות הלא משמרים.

למעשה, במקום לרשום באגף שמאל את סכום כל העבודות של הכוחות הפועלים על הגוף, רשמנו את עבודת mg ועוד עבודת כל שאר הכוחות. הסיבה הטכנית לכך: את עבודת כוח הכובד ניתן לחשב לפי ביטויים (כי הוא משמר) וכך נעשה בהמשך. לעומת זאת את עבודת שאר הכוחות נחשב בדרך ההגדרה של עבודה: W = F ´ Dx ´ cos(α).

דוגמה: כדור שמסתו m = 5 kg, נזרק מגובה H = 75 m במהירות v_o = 10 m/s לכיוון מטה. באיזו מהירות יפגע הכדור בקרקע?

לאחר שרטוט סקיצה, יש לבחור מישור יחוס. שים לב שבחירת מישור יחוס שקולה לבחירת ציר h, שראשיתו בגובה מישור הייחוס והוא מכוון מעלה (תמיד!).

סימנו את נקודת ההתחלה כ- A ואת נקודת הסיום כ- B. הכוח היחיד הפועל על הכדור הוא כוח הכובד. לכן גם העבודה היחידה על הכדור נעשית על-ידי כוח הכובד.

את עבודת כוח הכובד ניתן לחשב לפי הגדרת עבודת כוח קבוע (W = F´Dx´cos(α)).

נוח יותר לפי הפרשי אנרגיה פוטנציאלית כובדית:

W_{mg A®B} = Ep_A – Ep_B = mgh_A – mgh_B = 5 ´ 10 ´ 75 – 5 ´ 10 ´ 0 = 3750 _J

כדי לקבל את מהירות הכדור בנקודה B (לפני שפגע בקרקע), נציב במשוואת העבודה והאנרגיה:

SW_A®B = Ek_B – Ek_A = ½mv_B² - ½mv_A²

3750 = 0.5 ´ 5 ´ v_B² – 0.5 ´ 5 ´ 10² Þ v_B = 40 m/s

הכדור יפגע הקרקע במהירות של 40 m/s לכיוון מטה.

דוגמה: כדור קטן בעל מסה m = 3 kg קשור בעזרת חוט שאורכו L = 1.6 m לתקרה. מסיטים את הכדור כך שהחוט יוצר זווית α = 60° עם קו אנכי (נקודה A, ראה שרטוט). משחררים את הכדור ממנוחה מנקודה A. מה תהיה מהירות הכדור כאשר יגיע לנקודה הנמוכה ביותר – נקודה B?

נסמן את נקודת ההתחלה כ- A ואת נקודת הסיום כ- B. נבחר מישור יחוס בגובה הנקודה B, כך שלא יהיו גבהים שליליים. כך גובה הנקודה A הוא h_A = h = L – Lcos(α) = 1.6 – 1.6 cos(60°) = 0.8 m (ללמוד לבצע חישוב זה!) ואילו גובה נקודה B יהיה 0 .

על הכדור פועלים שני כוחות: כוח הכובד וכוח מתיחות החוט. עבודת כוח הכובד היא:

W_mg = mgh_A – mgh_B = 3 ´ 10 ´ 0.8 – 3 ´ 10 ´ 0 = 24 _J

מהירות רגעית של גוף תמיד משיקה למסלול תנועתו!

כוח שתמיד ניצב למהירות לא מבצע עבודה!

מסיבות אלו מתיחות החוט (כמו רדיוס) תמיד ניצבת למהירות הרגעית שהיא בכיוון המשיק. לכן – מתיחות החוט אינה מבצעת עבודה בבעיה זאת.

הצבה של העבודה שחישבנו במשוואת העבודה והאנרגיה תיתן:

SW_A®B = 24 = ½ ´ 3 ´ v_B² - ½ ´ 3 ´ 0²

ולכן: v_B = 4 m/s

מהירות הכדור בהגיעו לנקודה הנמוכה B תהיה 4 m/s ימינה.

הערה: אותה תוצאה הייתה מתקבלת עבור כדור בעל מסה אחרת!

דוגמה: על מדרון ישר לא חלק, מגובה h = 1.2 m, גוף בעל מסה m = 2 kg מתחיל להחליק עם מהירות התחלתית Vo = 3 m/s לכיוון מטה. בין הגוף למדרון קיים חיכוך קינטי, ומקדם חיכוך m_k = 0.4. אורך המדרון הוא Dx = 2 m. חשב את מהירות הגוף כאשר יגיע לתחתית המדרון.

בידוד הגוף מראה שקיימים שלושה כוחות: כוח הכובד, הנורמל וכוח החיכוך. לצורך הפתרון נחשב את זווית השיפוע לפי: sin(α) = h / Dx = 1.2 / 2 = 0.6 ולכן cos(α) = 0.8. כמו כן יש לחשב את הנורמל לפי: N = mgcos(α) וכן את החיכוך לפי: f_k = m_k ´ N = m_k ´ mgcos(α) = 0.4 ´ 2 ´ 10 ´ 0.8 = 6.4 _N (כל זאת "הכנה לעבודה ואנרגיה).

נבחר מישור יחוס בגובה תחתית המדרון. נקודת ההתחלה למעלה ונקודת הסיום למטה.

עבודת כוח הכובד תחושב לפי: W_mg = E_pA –E_pB = mgh_A – mgh_B = 2 ´ 10 ´ 1.2 – 2 ´ 10 ´ 0 = 24 _J

הנורמל N תמיד מאונך לתנועה (המהירות מקבילה לתנועה) ולכן הנורמל N לא מבצע עבודה.

עבודת החיכוך, שהוא כוח לא משמר, תחושב לפי הגדרת עבודה של כוח: W_fk = f_k ´ Dx ´ cos(180°) = - 12.8 _J.

ממשוואת העבודה והאנרגיה נקבל:

SW = 24 – 12.8 = 0.5 ´ 2 ´ V_B² – 0.5 ´ 2 ´ 3² Þ V_B = 4.49 m/s

הגוף יגיע לתחתית המדרון במהירות של 1 m/s לכיוון מטה.

דוגמה: מגלשה ABC מורכבת משני חלקים: חלק AB הוא מדרון חלק לא ישר המסתיים בחלק אופקי. חלק BC הוא אופקי לא חלק. משחררים גוף קטן בעל מסה m = 2.5 kg מנקודה A, הנמצאת בגובה h = 1.8 m מעל החלק האופקי BC. מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף לחלק BC הוא m_k = 0.3.

א. חשב את מהירות הגוף כאשר יגיע לנקודה B.

ב. איזה מרחק יעבור הגוף אחרי הנקודה B עד שייעצר?

פתרון:

א. נתייחס לקטע התנועה מנקודה A לנקודה B. בידוד הגוף מראה כי קיימים שני כוחות: כוח הכובד וכוח הנורמל.

הנורמל N לא מבצע עבודה כיוון שהוא תמיד מאונך למהירות, שהיא משיקה למסלול.

מכאן שהכוח היחיד שמבצע עבודה הוא כוח הכובד. נבחר מישור יחוס בגובה BC ואת עבודת כוח הכובד נחשב לפי: W_mg = mgh_A – mgh_B = 2.5 ´ 10 ´ 1.8 – 0 = 45 _J

נציב תוצאה זאת במשוואת העבודה והאנרגיה ונקבל:

SW = 45 = ½ ´ 2.5 ´ v_B² - ½ ´ 2.5 ´ 0² Þ v_B = 6 m/s

הגוף יגיע לנקודה B עם מהירות של 6 m/s ימינה.

ב. נתייחס לקטע התנועה מ- B ימינה עד עצירה. בידוד הגוף מראה שקיימים שלושה כוחות: כוח הכובד, כוח הנורמל וכוח החיכוך הקינטי. ניתן לקבל (הכנה לעבודה ואנרגיה):

f_k = m_k ´ N = m_k ´ mg = 0.3 ´ 2.5 ´ 10 = 7.5 _N

כוח הכובד והנורמל לא מבצעים עבודה (מאונכים לתנועה!). לכן רק החיכוך מבצע עבודה (חישוב לפי הגדרת העבודה): W_fk = -7.5 ´ Dx . מכאן, לפי משוואת העבודה והאנרגיה נקבל:

SW = -7.5 ´ Dx = ½ ´ 2.5 ´ 0² - ½ ´ 2.5 ´ 6² Þ Dx = 6 m

הגוף יעבור מרחק של 6 m מימין לנקודה B עד שייעצר.

דוגמה: גוף שמסתו m = 5 kg מונח על שולחן אופקי חלק ללא תנועה. מרגע מסוים מתחיל לפעול עליו כוח F ימינה. גודל הכוח משתנה עם ההעתק שלו לפי הגרף הנתון. חשב את מהירות הגוף לאחר שעבר מרחקים של x = 2, 7, 12m.

על הגוף פועלים שלושה כוחות: כוח הכובד (מאונך לתנועה), כוח הנורמל (מאונך לתנועה) והכוח F. לכן ברור כי הכוח היחיד המבצע עבודה על הגוף הוא הכוח F.

חישוב מהירות הגוף כאשר x = 2 m: W_{F (x = 0 ®x = 2 m)} = S_D = 3 ´ 2 / 2 = 3 _J

לפי עבודה ואנרגיה: 3 = 0.5 ´ 5 ´ v₂² – 0.5 ´ 5 ´ 0² Þ v₂ = 1.095 m/s

חישוב מהירות הגוף כאשר x = 7 m: W_{F (x = 0 ®x = 7 m)} = S_D = 3 ´ 7 / 2 = 10.5 _J

לפי עבודה ואנרגיה: 10.5 = 0.5 ´ 5 ´ v₇² – 0.5 ´ 5 ´ 0² Þ v₇ = 2.049 m/s

חישוב מהירות הגוף כאשר x = 7 m: W_{F (x = 7 m ®x = 12 m)} = S_D = - 3 ´ 5 / 2 = -7.5 _J

לפי עבודה ואנרגיה: -7.5 = 0.5 ´ 5 ´ v₁₂² – 0.5 ´ 5 ´ 2.049² Þ v₁₂ = 1.095 m/s

מהירות הגוף בנקודות שם x = 2, 12 m תהיה 1.095 m/s ימינה ובנקודה שם x = 7 m תהיה 2.049 m/s ימינה.

שים לב: בנקודה שם x = 7 m מהירות הגוף מרבית!

דוגמה: קפיץ בעל קבוע אלסטיות k = 50 N/m מחובר באופן אופקי לקיר של מדף חלק. אל הקפיץ מחברים עגלה שמסתה m = 2 kg ומסיטים את העגלה מרחק של 5 cm ימינה ומשחררים ממנוחה (ראה שרטוט). חשב את מהירות העגלה כאשר הקפיץ שוב רפוי.

חסר פתרון.

דוגמה: קפיץ בעל קבוע אלסטיות k = 50 N/m מחובר לתקרה ונושא שני גופים בעלי מסה m = 2 kg כל אחד. ברגע מסוים נקרע החוט המחבר בין המסות. חשב באיזו מידה היה הקפיץ מתוח לפני שהחוט נקרע, ומה המרחק שעבר הגוף העליון, מרגע קריעת החוט עד לנקודה הנמוכה ביותר אליה הגיע.

חסר פתרון.