שאלות מודרכות

דוגמה 1: גוף אחד בשלב אחד:

עגלה A, שמסתה m_A = 5 kg , מונחת על שולחן אופקי חלק. מרגע t = 0 מפעילים על העגלה כוח אופקי קבוע בגודל F = 20 _N ובכיוון "ימינה" (ראה שרטוט).

מהו המרחק שתעבור העגלה במשך 3 s?

פתרון:

לצורך חישובי חוק II של ניוטון:

ישנו גוף אחד בלבד. נבודד את הגוף. כיוון שהתנועה היא על מסלול ישר – התאוצה מקבילה למסלול. כיוון ששקול הכוחות ימינה – התאוצה ימינה. לפיכך נבחר את ציר x ימינה ואת ציר y למעלה:

נרשום משוואות חוק II (עבור ציר y חוק II מצומצם, כלומר חוק I):

SFy = 0 Þ N – 50 = 0

SFx = m ´ a Þ 20 = 5a

הפתרון של חישובי חוק II של ניוטון:

גודל הנורמל הוא N = 50 _N וכיוונו מעלה, גודל התאוצה a = 4 m/s² וכיוונה ימינה.

לצורך חישובי קינמטיקה:

נבחר ציר x שראשיתו בנקודת המוצא של העגלה וכיוונו ימינה (לצורך חישובי קינמטיקה יש צורך בראשית). לפיכך נקבל: x_o = 0 ; v_o = 0 ; a = 4 m/s² . נציב כל זאת במשוואות התנועה ונקבל:

x = 2t²

v = 4t

v² = 8x

נציב עבור t = 3 s ונקבל: x = 18 m ; v = 12 m/s

לכן הפתרון של חישובי הקינמטיקה:

העגלה תעבור מרחק של 18 m ימינה (ומהירותה בתום 3 s תהיה v = 12 m/s ימינה).

דוגמה 2: גוף אחד בשני שלבים:

עגלה A, בעלת מסה m_A = 2 kg, נעה על מסילה אופקית לא חלקה. מקדם החיכוך הקינטי בין העגלה למסילה הוא m_k = 0.2. ברגע t = 0 מהירות העגלה היא v_o = 3 m/s ימינה. מרגע t = 0 עד זמן t = 4 s פועל על העגלה כוח אופקי ימינה בגודל F = 5 _N (לאחר 4 שניות הכוח מפסיק לפעול!).

חשב מתי נעצרה העגלה.

פתרון:

מרגע שמפסיק לפעול הכוח F, יש שינוי בכוחות הפועלים על העגלה. מסיבה זאת יהיה גם שינוי בתאוצה של העגלה. לכן יש צורך בפתרון של שני שלבים נפרדים: השלב שבו הכוח F פועל והשלב שהכוח F חדל לפעול. בשלב הקינמטיקה יש צורך בהקפדה על חוקי הרצף לגבי זמן, מיקום ומהירות (אנחנו מזניחים את חוקי הרצף לגבי תאוצה).

פתרון שלב ראשון (כל עוד הכוח F פועל):

לצורך חישובי חוק II של ניוטון:

נבודד את הגוף: על העגלה פועל כוח משיכת כדור הארץ לכיוון מטה, הכוח F ימינה , הנורמל שהמשטח מפעיל לכיוון מעלה וחיכוך קינטי שמאלה (בכיוון הפוך למהירות היחסית). תאוצת העגלה מקבילה למשטח (אופקית). לכן מחישוב מידי (שלב "הכנה לחוק II") נקבל שהנורמל הוא 20 N ולכן גודל החיכוך יהיה 4 N. מכאן ששקול הכוחות האופקיים יהיה ימינה. החלטנו "לנחש" שהתאוצה היא ימינה ובהתאם בחרנו את מערכת הצירים (במידה והתאוצה תתקבל שלילית, אם אין טעויות כלשהן – התאוצה היא שמאלה!).

נרשום משוואות חוק II (עבור ציר y חוק II מצומצם, כלומר חוק I):

SFy = 0 Þ N – 20 = 0

SFx = m ´ a Þ 5 - m_k ´ N = 2a

הפתרון של חישובי חוק II של ניוטון:

גודל הנורמל הוא N = 20 _N וכיוונו מעלה, גודל התאוצה a = 0.5 m/s² וכיוונה ימינה.

לצורך חישובי קינמטיקה:

נבחר ציר x שראשיתו בנקודת המוצא של העגלה וכיוונו ימינה (לצורך חישובי קינמטיקה יש צורך בראשית). לפיכך נקבל: x_o = 0 ; v_o = 3 m/s ; a = 0.5 m/s² . נציב כל זאת במשוואות התנועה ונקבל:

x = 3t + 0.25t²

v = 3 + 0.5t

v² = 9 + x

לכן הפתרון של חישובי הקינמטיקה עבור t = 4 s:

העגלה תעבור מרחק של 16 m ימינה ומהירותה בתום 4 s תהיה v = 5 m/s ימינה.

פתרון שלב שני (הכוח F כבר לא פועל):

לצורך חישובי חוק II של ניוטון:

נבודד את הגוף: על העגלה פועל כוח משיכת כדור הארץ לכיוון מטה, הנורמל שהמשטח מפעיל לכיוון מעלה וחיכוך קינטי שמאלה (בכיוון הפוך למהירות היחסית). תאוצת העגלה מקבילה למשטח (אופקית). שקול הכוחות האופקיים יהיה שמאלה. החלטנו "לנחש" שהתאוצה היא שמאלה ובהתאם בחרנו את מערכת הצירים.

נרשום משוואות חוק II (עבור ציר y חוק II מצומצם, כלומר חוק I):

SFy = 0 Þ N – 20 = 0

SFx = m ´ a Þ m_k ´ N = 2a

הפתרון של חישובי חוק II של ניוטון:

גודל הנורמל הוא N = 20 _N וכיוונו מעלה, גודל התאוצה a = 2 m/s² וכיוונה שמאלה.

לצורך חישובי קינמטיקה:

נבחר ציר x שראשיתו בנקודת המוצא של העגלה וכיוונו ימינה (לצורך חישובי קינמטיקה יש צורך בראשית). לפי חוקי הרצף הזמן בו מתחיל השלב השני הוא t = 4 s , המיקום ההתחלתי הוא 16 m מימין לנקודת היציאה ומהירות העגלה היא 5 m/s לכיוון ימין. לפיכך נקבל: t_o = 4 s ; x_o = 16 ; v_o = 5 m/s ; a = -2 m/s² . נציב כל זאת במשוואות התנועה ונקבל:

x = 16 + 5(t – 4) - (t – 4)²

v = 5 - 2(t – 4)

v² = 25 – 4(x – 16)

המשוואות לא נוחות. ניתן לבחור ציר חדש שראשיתו בנקודת התחלת השלב השני וזמן חדש. כך נקבל:

x = 5t - t²

v = 5 - 2t

v² = 25 – 4x

נציב v = 0 עבור רגע העצירה ונקבל: t = 2.5 s ; x = 6.25 m

לכן הפתרון של חישובי הקינמטיקה:

העגלה תעבור מרחק כולל של 22.25 m ימינה בזמן כולל של 6.5 s.

דוגמה 3: שני גופים על גלגלת:

קושרים את סלסילה A לרצפה באמצעות חוט S₁. לצידה השני של הסלסילה קושרים סל B באמצעות חוט S₂ העובר דרך גלגלת G. ציר הגלגלת קשור באמצעות חוט S₃ לתקרה (ראה שרטוט). המערכת נמצאת תחילה במנוחה. הנח כי החוטים מספיק ארוכים, כך שהסלסילה A לא פוגעת בגלגלת.

נתון: m_A = 2 kg ; m_B = 3 kg

א. חשב את המתיחות בכל אחד משלושת החוטים.

בזמן t = 0, נקרע החוט S₁.

ב. 1. חשב את תאוצת הסלסילה מרגע קריעת החוט S₁.

2. חשב את גובה הסלסילה ביחס למיקומה ההתחלתי ואת מהירותה 2 שניות לאחר קריעת החוט S₁.

בזמן t = 2 s, נקרע החוט S₂.

ג. 1. מהי תאוצת הסלסילה לאחר שנקרע החוט S₂?

2. חשב את הגובה המרבי אליו הגיעה הסלסילה ביחס למיקומה ההתחלתי .

פתרון:

א. המערכת נמצאת במנוחה – כלומר התמדה. ישנם 3 גופים: A, B והגלגלת (התלויה). נבודד כל אחד מהם:

על גוף B פועל כוח משיכת כדור הארץ והכוח שחוט S₂ מושך את הגוף למעלה.

בשרטוט נראים הכוחות וציר x שנבחר לכיוון מעלה.

כיוון שמדובר בהתמדה, יש לרשום משוואת חוק I של ניוטון:

SFx = 0 Þ T₂ – 30 = 0 Þ T₂ = 30 _N

במילים: מתיחות החוט S₂ היא T₂ = 30 _N.

מסת הגלגלת זניחה (לכן רושמים משוואת חוק I של ניוטון גם אם הגלגלת בתאוצה!). הכוחות הפועלים על הגלגלת מסומנים בשרטוט, כמו גם ציר x שנבחר.

משוואת חוק I של ניוטון נותנת:

SFx = 0 Þ T₃ – T₂ – T₂ = 0 Þ T₃ = 2 ´ T₂ = 2 ´ 30 = 60 _N

במילים: מתיחות החוט S₃ היא T₃ = 60 _N.

על A פועל כוח המשיכה של כדור הארץ ושני חוטים מושכים אותו.

שרטוט הכוחות וציר x שנבחר מוצגים בשרטוט.

כיוון שמדובר בהתמדה, נרשום את משוואת החוק הראשון (שני מצומצם):

SFx = 0 Þ T₂ – T₁ – 20 = 0 Þ T₁ = T₂ – 20 = 30 – 20 = 10 _N

במילים: מתיחות החוט S₁ היא T₁ = 10 _N.

ב. לאחר שהחוט נקרע, הגופים A ו- B אינם בהתמדה, אלא בתאוצה קבועה (כי הכוחות עליהם קבועים). נצטרך לפתור את הבעיה לפי חוק II של ניוטון (הגלגלת: לפי חוק I):

משוואות התנועה הכלליות תהיינה:

y = t²

v = 2t

v² = 4y

נציב עבור נקודה שם t = 2 s ונקבל:

y = 4 _m

v = 4 _m/s

במילים: הסלסילה תהיה בגובה h = 4 m ומהירותה תהיה v = 4 m/s לכיוון מעלה.

ג. לאחר שנקרע החוט S₂, הכוח היחיד הפועל על הסלסילה A הוא כוח הכובד. לכן:

1. במילים: תאוצת הסלסילה A, לאחר שנקרע החוט S₂ היא a = g = 10 m/s² לכיוון מטה.

2. ברגע קריעת החוט S₂, מהירות הסלסילה A היא v = 4 m/s לכיוון מעלה ותאוצה a = 10 m/s² מטה. ניתן לבחור ציר שראשיתו בנקודה שם נקרע החוט S₂, אך צריך להוסיף את הגובה h = 4 m שעברה הסלסילה עד שנקרע החוט S₂.

משוואות התנועה תהיינה:

y = 4t – 5t²

v = 4 – 10t

v² = 4² – 20y

נציב עבור הנקודה שם v = 0 ונקבל:

t = 0.4 s ; y = 0.8 m

במילים:

הסלסילה תגיע לשיא הגובה בזמן t = 2 + 0.4 = 2.4 s ותעבור מרחק כולל H = 4 + 0.8 = 4.8 m.

דוגמה 4: שני גופים:

עגלה A, בעלת מסה m_A = 4 kg, נמצאת על שולחן אופקי וקשורה לגוף תלוי B, בעל מסה m_B = 1 kg (ראה שרטוט). מקנים לעגלה A מהירות אופקית v_o = 5 m/s שמאלה. בתנועת העגלה שמאלה אין חיכוך בין העגלה לשולחן.

א. חשב את תאוצת העגלה (גודל וכיוון).

ב. חשב את המרחק המרבי שתעבור העגלה שמאלה (ביחס לנקודת היציאה).

ג. כאשר העגלה מגיעה לנקודה השמאלית ביותר, ניתק ממנה גלגל, כך שנוצר חיכוך בין העגלה A לשולחן עם מקדמי חיכוך m_k = m_s = 0.1 .

1. חשב את תאוצת העגלה (גודל וכיוון).

2. לאחר כמה זמן העגלה תהיה שוב במקומה המקורי?

פתרון:

לפי הכתוב בשאלה, ברור שישנם שני שלבים (עם תאוצות שונות): השלב עד שהעגלה A מגיעה לנקודה השמאלית ביותר והשלב לאחר מכן.

שלב ראשון (תחילת תנועה עד הנקודה השמאלית ביותר):

פתרון חישובי חוק II של ניוטון:

מבידוד גוף B לא ניתן לקבוע (בשלב זה) את כיוון תאוצתו. לעומת זאת מבידוד העגלה A ניתן לקבוע חד משמעית שתאוצתה ימינה (אין קשר לזה שמהירותה שמאלה!): תנועת העגלה היא בקו ישר אופקי ולכן גם התאוצה אופקית. בציר אופקי שקול הכוחות (רק כוח T) הוא ימינה ולכן התאוצה ימינה. אם כך – תאוצת הגוף B חיבת להיות למטה, אחרת אורך החוט אינו קבוע!

לאחר שהחלטנו על כיוון התאוצה – יש לבודד את הגופים, לבחור מערכת צירים (ציר x בכיוון התאוצה), לרשום משוואות של חוקי ניוטון – ולפתור:

עגלה A:

SFy = 0 Þ N – 40 = 0 Þ N = 40 _N

SFx = m ´ a Þ T = 4a

גוף B:

SFx = m ´ a Þ 10 – T = 1a

פתרון מערכת המשוואות (מומלץ לחבר את משוואות חוק II של ניוטון):

א. תאוצת העגלה A תהיה a = 2 m/s² לכיוון ימין, מתיחות החוט היא T = 8 _N וגודל הנורמל יהיה N = 40 _N בכיוון מעלה.

פתרון קינמטיקה:

נבחר ציר שראשיתו בנקודת המוצא של העגלה A וכיוונו שמאלה (כמו המהירות ההתחלתית). לפיכך נתוני משוואות התנועה הכלליות תהיינה: x_o = 0 ; v_o = 5 m/s ; a = -2 m/s² והמשוואות עצמן:

x = 5t – t²

v = 5 – 2t

v² = 25 – 4x

נפתור עבור הנקודה השמאלית ביותר, שם v = 0: t = 2.5 s ; x = 6.25 m

ב. בשלב הראשון העגלה A נעה במשך 2.5 s ועברה מרחק של 6.25 m. לעגלה לא הייתה מהירות בסוף השלב הראשון.

שלב שני (שלב החזרה):

מבדיקה באם העגלה A תתחיל לזוז אחרי שהגיעה לנקודה השמאלית ביותר, עולה שהעגלה A תזוז ימינה (חיכוך סטטי של 4 _N שמאלה ומתיחות החוט 10 _N ימינה).

לפיכך יש לפתור את השלב השני מתוך ידיעה שלעגלה A יש תנועה ימינה (גם תאוצה וגם מהירות), החל ממהירות אפס, עם חיכוך קינטי.

פתרון חישובי חוק II של ניוטון:

שים לב כי תאוצת העגלה A היא ימינה ותאוצת הגוף B היא למטה, כך שאורך החוט קבוע. ציר x נבחר ככיוון התאוצה בשני המקרים.

לגבי העגלה a נקבל (חוק I של ניוטון עבור ציר y וחוק II של ניוטון עבור ציר x):

SFy = 0 Þ N – 40 = 0 Þ N = 40 _N

SFx = m ´ a Þ T – 0.1 ´ 40 = 4a

לגבי גוף B נקבל מתוך חוק II של ניוטון:

SFx = m ´ a Þ 10 – T = 1a

פתרון מערכת המשוואות ייתן (למשל על ידי חיבור המשוואות):

ג. 1. הנורמל על העגלה A יהיה בגודל N = 40 _N ובכיוון מעלה, מתיחות החוט תהיה T = 8.8 _N וגודל תאוצת הגופים תהיה a = 1.2 m/s² , כאשר העגלה A מאיצה ימינה והגוף B מאיץ למטה.

פתרון קינמטיקה:

בחרנו ציר שראשיתו בנקודה השמאלית ביותר אליה הגיעה העגלה A וכיוונו ימינה. לפיכך משוואות התנועה הכלליות של העגלה A תהיינה: x = 0.6t² ; v = 1.2t ; v² = 2.4x .

פתרון מערכת המשוואות עבור: x = 6.25 m ייתן: t = 3.227 s ; v = 3.873 m/s.

העגלה A תהיה שוב במקומה המקורי 3.227 s לאחר שהייתה בנקודה השמאלית ביותר (אם הזמן נמדד מרגע היציאה – הזמן הוא 5.727 s).

דוגמה 5: מעלית:

על רצפת מעלית מניחים מאזניים ועל המאזניים מניחים גוף שמסתו m = 5 kg. מה מראים המאזניים בכל אחד מהמקרים הבאים:

א. המעלית לא זזה.

ב. המעלית עולה במהירות קבועה v = 6 m/s.

ג. המעלית יורדת במהירות קבועה v = 6 m/s.

ד. המעלית מאיצה מעלה בתאוצה a = 6 m/s².

ה. המעלית מאיצה מטה בתאוצה a = 6 m/s².

דוגמה 6: רכבת:

גוף בעל מסה m = 2 kg נתלה מתקרת רכבת, הנמצאת על מסילה אופקית. באיזו זווית α, יחסית לאנך, יסטה הגוף ומהי מתיחות החוט כאשר:

א. הרכבת אינה בתנועה.

ב. הרכבת נוסעת במהירות קבועה v = 4 m/s ימינה.

ג. הרכבת מאיצה בתאוצה a = 5 m/s² ימינה, ומהירותה שמאלה.