עבודה ואנרגיה

שאלות בגרות עם פתרון (באתר אלפ)

בעיות מודרכות

בעיות עבודה ואנרגיה 1

בעיות עבודה ואנרגיה 2

בעיות עבודה ואנרגיה 3

עבודה ואנרגיה

המשוואות הדיפרנציאליות הבסיסיות של הקינמטיקה הן:

v = dx/dt

a = dv/dt

ומשוואת החוק ה- II של ניוטון (משוואה וקטורית) היא:

SF = m ´ a

כל 3 המשוואות תקפות לכל גוף ברגע נתון. יחד עם זאת, כאשר יש צורך בפתרון בעיה בה גוף נע לאורך זמן, צמצמנו את הדיון רק למקרים בהם התאוצה קבועה (או קבועה למקוטעין). לא יכולנו (עקב הגבלה מתמטית שלנו) לפתור בעיה כמו זאת: גוף קשור באמצעות חוט לתקרה. משחררים את הגוף בנקודה A, מה תהיה מהירותו בנקודה B?

התנועה היא בקשת מעגלית אנכית (לא בקו ישר).

לא פתרנו בעיות כאלו בעזרת חוק II של ניוטון וקינמטיקה.

ניתן לפתור בעיה זאת בעזרת חוק II וקינמטיקה (אינטגרלים).

ניתן לפתור בעיה זאת גם בעזרת משוואות עבודה ואנרגיה, שהן (במכניקה) משוואות הנובעות ממשוואות הקינמטיקה ומשוואת החוק ה- II של ניוטון (סידור אחר של המשוואות). חשוב לדעת את המגבלות שקיימות לגבי המשוואה אליה נגיע!

פתוח דיפרנציאלי:

משתי המשוואות הקינמטיקה ניתן להגיע למשוואה הדיפרנציאלית:

a ´ dx = v ´ dv

במקום a נרשום: SF / m לפי החוק ה- II של ניוטון:

SF/m ´ dx = v ´ dv

הכפלת המשוואה ב- m תיתן:

SF ´ dx = m ´ v ´ dv

הסימן המוזר הוא אינטגרל!

אינטגרל על שני האגפים, מנקודה A לנקודה B:

òSF ´ dx = m òv ´ dv = ½ ´ m ´ v_B² - ½ ´ m ´ v_A²

במידה והכוחות קבועים ניתן לרשום:

SF ´ Dx = ½ ´ m ´ v_B² - ½ ´ m ´ v_A²

פתוח על ידי דוגמה מתנועה בתאוצה קבועה:

אחת ממשוואות הקינמטיקה לתאוצה קבועה בציר אחד:

v² = v_o² + 2 ´ a ´ Dx

במקום a נרשום: SF / m לפי החוק ה- II של ניוטון:

v² = v_o² + 2 ´ SF/m ´ Dx

במקום v נרשום v_B ובמקום v_o נרשום v_A :

v_B² = v_A² + 2 ´ SF/m ´ Dx

נכפול את המשוואה ב- ½ ´ m ונקבל:

½ ´ m ´ v_B² = ½ ´ m ´ v_A² + SF ´ Dx

סידור האיברים במשוואה ייתן:

SF ´ Dx = ½ ´ m ´ v_B² - ½ ´ m ´ v_A²

משוואה זאת הינה הבסיס למשוואת העבודה והאנרגיה. נגדיר:

אנרגיה קינטית E_k של גוף (ברגע מסוים):

E_k = ½ ´ m ´ v_A²

ובמילים: האנרגיה הקינטית של גוף היא חצי ממכפלת מסת הגוף בריבוע גודל מהירותו (באותו רגע).

שים לב: המסה היא סקלר וכך גם גודל המהירות. לכן האנרגיה הקינטית היא סקלר.

שים לב: לא ניתן לפרק את האנרגיה הקינטית לרכיבים (ולכן לא ניתן לרשום משוואת עבודה ואנרגיה לציר אחד בנפרד, כמו החוק ה- II של ניוטון).

שים לב: המוטיבציה להגדרת האנרגיה הקינטית היא ש"כך יצא מהמשוואות, אז נתנו לזה שם".

יחידות האנרגיה הקינטית:

kg ´ m² / s² = (kg ´ m / s²) ´ m = N ´ m

שים לב: גם יחידות אגף שמאל הן N ´ m.

ליחידה N ´ m נתנו שם מיוחד: ג'אול.

1 N ´ m = 1 Joule (J)

לפיכך אגף ימין של משוואת העבודה ואנרגיה ירשם בצורה:

DE_k = E_kB – E_kA (= ½ ´ m ´ v_B² - ½ ´ m ´ v_A²)

כאן A מסמן נקודת "התחלה" ן- B מסמן "נקודת סוף".

או במילים: השינוי באנרגיה הקינטית (של גוף, כאשר הוא נע מנקודה A לנקודה B).

כדי לטפל באגף שמאל, נגדיר את מושג העבודה של כוח. יש לזכור שגם כוח וגם העתק הם וקטורים. בביטוי יש מכפלה של וקטורים (מכפלה סקלרית).

הגדרת עבודה:

עבודה של כוח F קבוע בגודל ובכיוון, לאורך כל התנועה של הגוף בקו ישר בהעתק Dx מוגדר לפי:

(מכפלה סקלרית בין ווקטור הכוח להעתק)

W_A®B = F ´ Dx_A®B ´ cos(α)

כאשר הזווית α היא הזווית בין וקטור הכוח F לווקטור ההעתק Dx.

שים לב: עבודת כוח היא סקלר (למרות שהכוח וההעתק הם וקטורים).

שים לב: יחידות עבודת כוח הן Joule, בדיוק כמו יחידות אנרגיה קינטית.

עבודת כוח במקרים מיוחדים:

הכוח וההעתק הם באותו כיוון. במקרה זה α = 0° ולכן: W = F ´ Dx ´ cos(0°) = |F ´ Dx| (ביטוי חיובי)

הכוח וההעתק בכיוונים מנוגדים. במקרה זה α = 180° ולכן: W = F ´ Dx ´ cos(180°) = -|F ´ Dx| (ביטוי שלילי)

הכוח וההעתק מאונכים. במקרה זה α = 90° ולכן: W = F ´ Dx ´ cos(90°) = 0 (אין עבודה)

הכוח או ההעתק הם בגודל אפס: במקרה זה W = 0 (אין עבודה)

שים לב: כאשר מישהו דוחף קיר במשך שעה שלמה – הוא לא מבצע עבודה! (בהנחה שהקיר לא זז).

משוואת העבודה והאנרגיה מקבלת את הצורה:

SW_A®B = DE_k = E_kB - E_{kA =} ½ ´ m ´ v_B² - ½ ´ m ´ v_A²

במילים: כאשר גוף נע מנקודה A לנקודה B : סכום (אלגברי) של עבודת כל הכוחות הפועלים על הגוף בדרכו, שווים לשינוי באנרגיה הקינטית של הגוף.

ניתן גם לנסח: עבודת שקול הכוחות שווה לשינוי באנרגיה הקינטית של הגוף. זאת משום שמתקיים:

שים לב: עבודת כוח שווה לסכום עבודות רכיבי הכוח! לכן מותר לנו לפרק כוחות לרכיבים או להרכיב וקטורי כוחות מרכיבים, לפני חישוב סכום העבודות.

שים לב: משוואת עבודה ואנרגיה נכונה באותה מידה שהחוק ה- II של ניוטון נכון! (משוואות הקינמטיקה הינן משוואות מתמטיות).

שים לב: בפיתוח משוואת העבודה והאנרגיה לא דרשנו תאוצה קבועה! (רק בפיתוח לפי דוגמה).

שים לב: לפתרון בעיית עבודה ואנרגיה, אין צורך במערכת צירים! (למרות זאת, במקרים רבים כן נבחר מערכת צירים, נפרק כוחות לרכיביהם ונפתור את הבעיה בעזרת משוואת עבודה ואנרגיה עם שילוב ב"חוקי ניוטון").

דוגמה: חישוב עבודת כוח הכובד עבור גוף העולה אנכית:

זורקים כדור, שמסתו m, מראש בניין שגובהו h_A אנכית מעלה. חשב את עבודת כוח הכובד על הכדור, בהעתק מנקודה A, עד לנקודה B שגובהה h_B.

עבודת כוח הכובד היא:

W_A®B = mg ´ Dx ´ cos(180°) = - mg ´ Dx

לפי השרטוט רואים שמתקיים:

Dx = h_B – h_A

לכן נקבל: W_A®B = - mg ´ Dx = - mg (h_B – h_A)

לסיכום: עבודת כוח הכובד היא: Wmg _A®B = mgh_A - mgh_B

שים לב: כאן A מציינת נקודת התחלת העתק ונקודה B מציינת נקודת סיום העתק.

שים לב: ניתן לרשום את עבודת כוח הכובד כ- Wmg _A®B = mg(h_A - h_B). נראה שמה שקובע הוא הפרש גבהים ולא גובה אבסולוטי!

דוגמה: חישוב עבודת כוח הכובד עבור גוף היורד אנכית:

גוף שמסתו m, נופל מנקודה A שגובהה h_A. חשב את עבודת כוח הכובד בהעתק עד לנקודה B, הנמצאת בגובה h_B.

עבודת כוח הכובד היא:

W_A®B = mg ´ Dx ´ cos(0°) = mg ´ Dx

לפי השרטוט רואים שמתקיים:

Dx = h_A – h_B

לכן נקבל: W_A®B = mg ´ Dx = mg (h_A – h_B)

לסיכום: עבודת כוח הכובד היא: Wmg _A®B = mgh_A - mgh_B

ניתן להראות (אינטגרל על מסלול תנועה) כי בכל מסלול שגוף יגיע מנקודה A לנקודה B – עבודת כוח הכובד תהיה:

Wmg _A®B = mgh_A - mgh_B

בשרטוט מוצגים שלושה מסלולי תנועה של גוף מנקודה A לנקודה B. ללא קשר לאיזה מסלול יבחר, מה תהיה המהירות הרגעית של הגוף במשך התנועה, אילו עוד כוחות פועלים על הגוף או כל גורם אחר, עבודת כוח הכובד תלויה אך ורק במסת הגוף m, בתאוצת הכובד g, בגובה "התחלתי" של הגוף ובגובה "סופי" של הגוף (למעשה הפרש הגבהים).

לכוח שעבודתו על גוף אינה תלויה במסלול התנועה, אלא בגורמים התחלתיים וסופיים, יש משמעות מעשית גדולה: ניתן לפתח ביטוי לעבודת הכוח! (מה שנקרא בשפת העם "נוסחה"). אם נסתכל על הבעיה שהצגנו קודם, כדי לדעת מהי עבודת כוח הכובד, די שנדע (מלבד המסה ותאוצת הכובד) את הגבהים של נקודות A ו- B!

לכוח כזה (שעבודתו לא תלויה במסלול אותו עובר הגוף) קוראים כוח משמר. אם כך – כוח הכובד הוא כוח משמר!

בפיתוח עבור עבודת כוח הכובד התקבלו ביטויים מהצורה: mgh. אז למה לא לתת לזה שם?

אנרגיה פוטנציאלית כובדית של גוף (בקיצור אנרגיה פוטנציאלית) מוגדרת לפי: U_G = Ep = mgh

(סימנתי את האנרגיה הפוטנציאלית גם כ- Ep וגם כ- U_G, כיוון שבדף נוסחאות לבגרות האנרגיה מסומנת כ- U_G).

מכאן שניתן לרשום את עבודת כוח הכובד (כאשר גוף נע מנקודה A לנקודה B) כך:

Wmg _A®B = Ep_A - Ep_B

יחידות האנרגיה הפוטנציאלית הן: kg ´ m/s² ´ m או N ´ m שהן , בעצם, ג'אול! אבל לזה היינו צריכים לצפות, כיוון שעבודת כוח הכובד היא הפרש של אנרגיות פוטנציאליות, ויחידות העבודה הן ג'אולים!

עבודת כוח משמר היא תמיד הפרש של אנרגיות פוטנציאליות (הקשורות לאותו כוח). למעשה ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית (למשל כובדית) כביטוי, כך שהפרשים (חיסור) של ביטויים כאלו הם עבודת הכוח המשמר. עבודת הכוח היא הדבר החשוב מבחינתנו.

אנרגיה פוטנציאלית אינה חד משמעית. עבור אנרגיה פוטנציאלית כובדית, הגובה אינו חד משמעי – ניתן למדוד אותו מגובה השולחן, מגובה הרצפה או מגובה פני הים. בכל בחירה, האנרגיה הפוטנציאלית תהיה שונה, אך הפרש האנרגיות (כלומר עבודת כוח הכובד) תהיה זהה עבור כל בחירה לגבי בעיה מסוימת.

לכל סוג של אנרגיה פוטנציאלית יש מצב או נקודת יחוס, לפיה נקבע גודל האנרגיה הפוטנציאלית. עבור אנרגיה פוטנציאלית כובדית – נהוג לקרוא לנקודת הייחוס "מישור יחוס", כאשר הכוונה היא למישור אופקי שעבורו הגובה נחשב ל- h = 0. נוח לבחור את מישור הייחוס בבעיה מסוימת כך שלא יתקבלו גבהים שליליים.

קביעת מישור הייחוס כמוה כקביעת ציר h לכיוון מעלה, כך שראשית הציר בגובה מישור הייחוס. כך יתכן שגובה יהיה שלילי.

מרגע שנקבע מישור יחוס עבור גוף מסוים – כל ביטויי האנרגיה הפוטנציאלית עבור אותו גוף חייבים להתייחס לאותו מישור יחוס. לגופים שונים ניתן לבחור מישורי יחוס שונים.

כאן נבחר מישור הייחוס (אפס) בגובה תחתית הבניין.

הגבהים של הנקודות A ו- B הם חיוביים.

משוואת העבודה והאנרגיה שרשמנו הייתה: SW_A®B = E_kB - E_kA

עתה ניתן לרשום במקום SW_A®B כך:

SW_A®B = W_{mg A®B} + SW_{NC A®B} = E_pA – E_pB + SW_{NC A®B} = E_kB - E_kA

כאשר עבודת כוח הכובד נרשמה בצורה: W_{mg A®B} = E_pA – E_pB

והביטוי SW_{NC A®B} מבטא את עבודת כל הכוחות הלא משמרים.

למעשה, במקום לרשום באגף שמאל את סכום כל העבודות של הכוחות הפועלים על הגוף, רשמנו את עבודת mg ועוד עבודת כל שאר הכוחות. הסיבה הטכנית לכך: את עבודת כוח הכובד ניתן לחשב לפי ביטויים (כי הוא משמר) וכך נעשה בהמשך. לעומת זאת את עבודת שאר הכוחות נחשב בדרך ההגדרה של עבודה: W = F ´ Dx ´ cos(α).

עבודת כוח משתנה

כאשר הכוח איננו קבוע לאורך מסלול התנועה – חישוב עבודת הכוח דורשת ביצוע אינטגרל על המסלול. כיוון שכאן אנחנו נמנעים מביצוע ישיר של אינטגרלים, נצמצם את הבעיות שנטפל בהן למקרים שגוף נע בקו ישר (בכיוון אחד) ועליו פועל כוח שקבוע בכיוונו אך משתנה בגודלו. במקרים אלו, כאשר נתון לנו גרף הכוח הפועל על הגוף כפונקציה של מיקום הגוף, ניתן לחשב את עבודת הכוח (אינטגרל) באמצעות שטחים (יחידות השטח הן מכפלת יחידות הצירים!). חישוב השטחים לא שונה מזה שביצענו בעבר (למשל בקינמטיקה). גם כאן שטח מתחת לגרף יחשב שלילי ולכן יצביע על ביצוע עבודה שלילית.

כדי להטמיע את הדברים – ראה את הדוגמה הבאה.

דוגמה: גוף שמסתו m = 5 kg מונח על שולחן אופקי חלק ללא תנועה. מרגע מסוים מתחיל לפעול עליו כוח F ימינה. גודל הכוח משתנה עם ההעתק שלו לפי הגרף הנתון. חשב את מהירות הגוף לאחר שעבר מרחקים של x = 2, 7, 12 m.

על הגוף פועלים שלושה כוחות: כוח הכובד (מאונך לתנועה), כוח הנורמל (מאונך לתנועה) והכוח F. לכן ברור כי הכוח היחיד המבצע עבודה על הגוף הוא הכוח F.

חישוב מהירות הגוף כאשר x = 2 m: W_{F (x = 0 ®x = 2 m)} = S_D = 3 ´ 2 / 2 = 3 _J

לפי עבודה ואנרגיה: 3 = 0.5 ´ 5 ´ v₂² – 0.5 ´ 5 ´ 0² Þ v₂ = 1.095 m/s

חישוב מהירות הגוף כאשר x = 7 m: W_{F (x = 0 ®x = 7 m)} = S_D = 3 ´ 7 / 2 = 10.5 _J

לפי עבודה ואנרגיה: 10.5 = 0.5 ´ 5 ´ v₇² – 0.5 ´ 5 ´ 0² Þ v₇ = 2.049 m/s

חישוב מהירות הגוף כאשר x = 7 m: W_{F (x = 7 m ®x = 12 m)} = S_D = - 3 ´ 5 / 2 = -7.5 _J

לפי עבודה ואנרגיה: -7.5 = 0.5 ´ 5 ´ v₁₂² – 0.5 ´ 5 ´ 2.049² Þ v₁₂ = 1.095 m/s

מהירות הגוף בנקודות שם x = 2, 12 m תהיה 1.095 m/s ימינה ובנקודה שם x = 7 m תהיה 2.049 m/s ימינה.

שים לב: בנקודה שם x = 7 m מהירות הגוף מרבית!

אנרגיה פוטנציאלית אלסטית

הכוח שקפיץ מפעיל על גוף המחובר אליו ניתן להירשם בצורה וקטורית כך: F = - k ´ x

כאשר F הוא וקטור הכוח, k הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו- x הוא התארכות הקפיץ, או העתק הגוף, הנמדד מהנקודה שם נמצא קצה הקפיץ, כאשר הקפיץ רפוי. כיוון הכוח שהקפיץ מפעיל על הגוף - הפוך לכיוון התארכות הקפיץ (לכן אומרים שזהו כוח מחזיר).

כיוון שכך, הרי שבבעיה בה גוף המחובר לקפיץ מבצע תנועה שבה אורך הקפיץ משתנה, נצטרך לפתור את הבעיה לפי עבודה ואנרגיה עם עבודה של כוח משתנה (אנחנו נמנעים מלפתור בעיות עם כוח משתנה לפי חוק II של ניוטון).

נניח שגוף, המחובר לקפיץ בעל קבוע אלסטיות k, מבצע תנועה מנקודה A, שם התארכות הקפיץ היא x_A, אל נקודה B, שם התארכות הקפיץ היא x_B. מה תהיה עבודת כוח הקפיץ על הגוף?

ניתן לקבל את התוצאה על ידי ביצוע אינטגרל. אנחנו נחשב זאת על ידי חישוב שטחים:

מתקיים: F(x_A) = -kx_A , F(x_B) = -kx_B

עבודת הקפיץ על הגוף היא:

W_A®B = S = -(½ ´ x_B ´ kx_B - ½ ´ x_A ´ kx_A)

אם נסדר את איברי הביטוי נקבל:

W_A®B = ½kx_A² - ½kx_B²

מסתבר שעבודת כוח הקפיץ תלויה רק בערכים התחלתיים וסופיים של התנועה! מהו המסלול שעבר הגוף מנקודה A לנקודה B לא משנה. לכן כוח הקפיץ הוא כוח משמר! ומהי האנרגיה הקשורה לכוח משמר זה? ובכן:

אנרגיה פוטנציאלית אלסטית (של קפיץ) U_sp מוגדרת לפי:

U_sp = ½kx².

כאשר יחידות האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית הן ג'אול!

ועבודת כוח הקפיץ על גוף המחובר אליו יכולה להירשם כך:

W_{sp A®B} = U_spA – U_spB.

שים לב: כיוון שההעתק x מועלה בריבוע בביטוי האנרגיה האלסטית של קפיץ, תתקבל תוצאה זהה לאנרגיה גם בהתארכות וגם בכיווץ!

שים לב: האנרגיה האלסטית היא אנרגיה פוטנציאלית. צורת ההגדרה כאן אומרת שמצב הייחוס אפס אנרגיה הוא כאשר הקפיץ רפוי. יכולנו לבחור כל מצב יחוס אחר, כי הערך החשוב הוא הפרשי אנרגיה פוטנציאלית!

למעשה אין לנו דרך אחרת לחשב את עבודת כוח הקפיץ (אחרת נדרש לאינטגרלים).

עתה ניתן לרשום את משוואת העבודה והאנרגיה כך:

SW_A®B = W_{mg A®B} + W_{sp A®B} + SW_{NC A®B} = E_pA – E_pB + U_spA – U_spB + SW_{NC A®B} = E_kB - E_kA

כאן SW_{NC A®B} הוא סכום העבודות של הכוחות הלא משמרים (למעשה: סכום העבודות של כל הכוחות, מלבד עבודת כוח הכובד ועבודת כוח הקפיץ).

משוואת עבודה ואנרגיה "משופצת"

משוואת העבודה והאנרגיה שרשמנו הייתה:

SW_A®B = W_{mg A®B} + W_{sp A®B} + SW_{NC A®B} = E_pA – E_pB + U_spA – U_spB + SW_{NC A®B} = E_kB - E_kA

בשוויון הימני כתוב: E_pA – E_pB + U_spA – U_spB + SW_{NC A®B} = E_kB - E_kA

אם נסדר את השוויון הזה נקבל: SW_{NC A®B} = - E_pA + E_pB - U_spA + U_spB + E_kB - E_kA

ניתן לסדר כך: SW_{NC A®B} = (E_kB + E_pB + U_spB) - (E_kA + E_pA + U_spA)

אנרגיה מכנית כוללת E מוגדרת לפי: E = E_k + E_p + U_sp

כך נקבל: E_A = E_kA + E_pA + U_spA

E_B = E_kB + E_pB + U_spB

ומשוואת העבודה והאנרגיה מקבלת את הצורה (הסופית למכניקה):

SW_{NC A®B} = DE = E_B - E_A

ובמילים: סכום עבודת הכוחות הלא משמרים (כלומר: עבודת כל הכוחות מלבד עבודת כוח הכובד ועבודת כוח הקפיץ) שווה לשינוי באנרגיה המכנית הכוללת של הגוף.

שים לב: לא ניתן כאן להחליף את סכום העבודות בעבודת שקול הכוחות (שקול הכוחות כולל גם כוחות משמרים!).

ממומלץ לעבור לעבוד עם משוואת עבודה ואנרגיה זאת – אך לא הכרחי!

במקרים בהם אין עבודה של כוחות לא משמרים מתקבל ממשוואת העבודה והאנרגיה: 0 = E_B - E_A

כלומר: E_B = E_A

במקרים אלו אומרים כי קיים שימור אנרגיה (הכוונה: קיים שימור אנרגיה מכנית כוללת), שהרי סכום האנרגיות בסוף התנועה שוו לסכום האנרגיות בתחילת התנועה (בדרך כלל בכל נקודות הביניים גם יש שימור אנרגיה).

זכור: התנאי לזה שיתקיים שימור אנרגיה הוא שאין עבודה של כוחות לא משמרים (לרוב: חיכוך).