הגדרות בסיסיות

הגדרות בסיסיות:

זמן: בדרך כלל אנחנו בוחרים עבור הזמן משתנים כמו: t, T, t₁ וכדומה. היחידה הבסיסית של זמן ביחידות מטריות (וגם אחרות) היא השנייה s. בדקה אחת M יש 60 s. בשעה אחת יש 60 M. ביממה אחת יש 24 שעות. מילי שניה ms היא אלפית השנייה ומיקרו שניה ms היא מליונית השנייה.

הזמן הוא סקלר – אין לו כיוון במרחב. יחד עם זאת – הזמן תמיד מתקדם. דרך טובה היא להתייחס לזמן לפי מה שמציג שעון-עצר (סטופר) מסוים. יש רגע מסוים שבו t = 0. מרגע זה הזמן "רץ" קדימה. בהסתכלות כזאת זמן שלילי מצביע על רגע שהיה לפני הרגע t = 0. ברוב התרגילים זמן שלילי חסר משמעות לגבינו, אך לא תמיד!

דרך: אורך המסלול שעבר גוף מסוים. בדרך כלל אנחנו בוחרים עבור הדרך משתנים כמו: s, S, DS, S₁ וגם אחרים. היחידה הבסיסית של דרך בשיטה המטרית היא המטר m.

1000 m = 1 km , כלומר: אלף מטר הם אחד קילו-מטר. סנטי- מטר היא מאית המטר cm. מילי-מטר היא אלפית המטר mm. מיקרו-מטר הוא מליונית המטר mm.

מהירות ממוצעת סקלרית: אורך המסלול (הדרך) לחלק לזמן שעבר. מתמטית זה נרשם כך: v = Ds/Dt. דוגמה: המהירות הממוצעת שבה נסעה מכונית מהבית ברמת-גן לסופר בבת-ים מחושב לפי אורך המסלול מהבית לסופר, לחלק לזמן הנסיעה מהבית לסופר. יחידות המהירות, בשיטה המטרית, הן מטר לשנייה ‹m/s›.

מהירות רגעית סקלרית (speed) : מהירות ממוצעת סקלרית, שחושבה לפי שתי נקודות מאוד מאוד קרובות. מתמטית זה נרשם כך: v = ds/dt (המהירות הרגעית היא נגזרת הדרך בזמן). דוגמה: המהירות המופיעה בספידומטר במכונית היא בקרוב המהירות הרגעית של המכונית בכל רגע. יחידות המהירות, בשיטה המטרית, הן מטר לשנייה ‹m/s›.

תאוצה ממוצעת סקלרית: תאוצה היא קצב שינוי המהירות כלומר: שינוי המהירות הסקלרית לחלק לזמן שעבר. מתמטית זה נרשם כך: a = Dv/Dt. יחידות התאוצה בשיטה המטרית הן : ‹m/s›/‹s› או: ‹m/s²›. שים לב ש- Dt תמיד חיובי. לעומת זאת Dv יכול להיות חיובי (אם המהירות הסקלרית גדלה) או שלילי (אם המהירות הסקלרית קטנה). בהתאם לכך התאוצה הסקלרית הממוצעת יכולה להיות חיובית או שלילית. בשפה (כמו בעברית), כאשר המהירות הסקלרית גדלה – אנחנו אומרים שהגוף מאיץ. אם המהירות הסקלרית קטנה – אומרים שהגוף מאט.

תאוצה רגעית סקלרית: הגדרה: תאוצה ממוצעת סקלרית, שחושבה לפי שתי נקודות מאוד מאוד קרובות. מתמטית זה נרשם כך: a = dv/dt = d²s/dt² (התאוצה היא נגזרת המהירות בזמן, או נגזרת שניה של הדרך). יחידות התאוצה בשיטה המטרית הן : ‹m/s›/‹s› או: ‹m/s²›. שים לב ש- dt תמיד חיובי. לעומת זאת dv יכול להיות חיובי (אם המהירות הסקלרית גדלה) או שלילי (אם המהירות הסקלרית קטנה). בהתאם לכך התאוצה הרגעית הסקלרית יכולה

להיות חיובית או שלילית. בשפה (כמו בעברית), כאשר המהירות הסקלרית גדלה – אנחנו אומרים שהגוף מאיץ. אם המהירות הסקלרית קטנה – אומרים שהגוף מאט.

וקטור מיקום/מקום: וקטור מקום B, הוא וקטור שראשיתו בראשית הצירים O וסופו במקום B. בדרך כלל אנחנו בוחרים עבור וקטור המקום משתנים כמו: x או y. יחידות גודל וקטור המקום בשיטה המטרית הן ‹m›.

וקטור העתק: וקטור ההעתק ממקום A למקום B, הוא וקטור שראשיתו במקום A וסופו במקום B. בדרך כלל אנחנו בוחרים עבור וקטור המקום משתנים כמו: x_AB . יחידות גודל וקטור ההעתק הן ‹m›.

©: אם נקודת ההתחלה (כאן נקודה A) נבחרת בראשית – אין הבדל בין וקטור מקום לווקטור העתק!

©: מתקיים לפי חשבון וקטורים: x_AB = x_B - x_A (או: Dx = x_B - x_A)

©: מתקיים לפי חשבון וקטורים: x_AB = -x_BA

©: כאשר מדובר בתנועה בציר אחד (חד-ממדית), כאשר מציבים את ערכי וקטור המקום (או וקטור ההעתק) במשוואות – יש להציב מספר מכוון המתאים לווקטור (חיובי אם הווקטור עם כיוון הציר וההפך!).

פונקציית מקום-זמן: פונקציה מתמטית המתארת את מיקום גוף מסוים, בזמן כמו: x(t) = 2 - 3t + 5t². הפונקציה מתייחסת למקום הגוף עבור ציר מסוים ושעון מסוים. הערכים של x הם מספרים מכוונים!

מהירות ממוצעת וקטורית (בקטע תנועה מ- A אל B): העתק מ-A אל B , לחלק לזמן שחלף בתנועה. מתמטית זה נרשם כך: v = Dx/Dt, כאשר Dx הוא ההעתק מ-A אל B ו- v הוא וקטור המהירות הממוצעת בתנועה מ- A אל B. יחידות גודל המהירות הווקטורית הממוצעת הן ‹m/s›.

מהירות רגעית וקטורית: מהירות ממוצעת וקטורית, שחושבה לפי שתי נקודות מאוד מאוד קרובות. מתמטית זה נרשם כך: v = dx/dt (המהירות היא נגזרת המקום בזמן). יחידות גודל המהירות, בשיטה המטרית, הן מטר לשנייה ‹m/s›.

וקטור המהירות: וקטור המהירות הוא וקטור ביחידות מתאימות, המייצג את המהירות הווקטורית הרגעית.

©: כיוון וקטור המהירות נחשב לכיוון התנועה הרגעית (כיוונו ככיוון ההעתק הרגעי)!

©: גודל המהירות הרגעית הווקטורית שווה לגודל המהירות הרגעית הסקלרית ברגע מסוים, למרות שההגדרות של המהירויות שונות! (נובע מתכונות המהירות).

©: כאשר מדובר בתנועה בציר אחד (חד-ממדית), כאשר מציבים את ערכי וקטור המהירות במשוואות – יש להציב מספר מכוון המתאים לווקטור (חיובי אם הווקטור עם כיוון הציר וההפך!).

תאוצה ממוצעת וקטורית: תאוצה היא קצב שינוי המהירות כלומר: שינוי המהירות הווקטורית לחלק לזמן שעבר. מתמטית זה נרשם כך: a = Dv/Dt. יחידות גודל התאוצה בשיטה המטרית הן : ‹m/s›/‹s› או: ‹m/s²›. Dvהוא הפרש וקטורי בין וקטור מהירות "סופי" לווקטור מהירות "התחלתי". הפרש וקטורים גם הוא וקטור. לכן כיוון התאוצה הווקטורית הממוצעת היא ככיוון שינוי וקטור המהירות!

תאוצה רגעית וקטורית: תאוצה ממוצעת וקטורית, שחושבה לפי שתי נקודות מאוד מאוד קרובות. מתמטית זה נרשם כך: a = dv/dt = d²x/dt² (התאוצה היא נגזרת המהירות בזמן, או נגזרת שניה של המקום). יחידות התאוצה בשיטה המטרית הן : ‹m/s›/‹s› או: ‹m/s²›.

וקטור התאוצה: וקטור התאוצה הוא וקטור ביחידות מתאימות, המייצג את התאוצה הווקטורית הרגעית.

©: כאשר מדובר בתנועה בציר אחד (חד-ממדית), כאשר מציבים את ערכי וקטור התאוצה במשוואות – יש להציב מספר מכוון המתאים לווקטור (חיובי אם הווקטור עם כיוון הציר וההפך!).

פונקציות פולינום: כאן אנחנו מדברים על פולינום מהצורה: y(x) = a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + a₃x³ + ……. דוגמה: y = 3 – 2x + 5x² – 6x⁵.

©: כל החזקות טבעיות (שלמות לא שליליות). וגם: x⁰ = 1 וגם: x¹ = x.

סדר פולינום: סדר פולינום הוא החזקה הגבוהה ביותר של המשתנה בפולינום. דוגמאות: y = 8 הוא מסדר 0. y = 1 - 5x הוא מסדר 1. y = x - 5x² הוא מסדר 2.

© פונקציית ישר אופקי היא מסדר 0. ישר נטוי הוא מסדר 1. פונקציית פרבולה היא מסדר 2.

©: הפונקציה y = 0 היא מסדר 0. אני קורא לפונקציה זאת מסדר 0^-. (ישר על ציר x).

נגזרת של ביטוי חזקה: נגזרת של ביטוי מהצורה axⁿ הוא n´ax^n-1. (עבור n=0 הנגזרת היא אפס)

כך נקבל:

נגזרת של y = 5x³ - 4x² + 6x - 7 היא: y' = 15x² - 8x + 6.

סדר נגזרת של פולינום: כאשר גוזרים פולינום – הסדר שלו יורד בדרגה אחת (אלא אם הסדר שלו הוא 0^-).

©: אם פונקציית מקום היא פולינום מסדר n, אז המהירות הרגעית, שהיא נגזרת של פונקציית מקום, תהיה מסדר n – 1, וסדר הפולינום של התאוצה יהיה n – 2 (אלא אם כן כבר הגענו לסדר אפס).

סדר אינטגרל של פולינום: כאשר מבצעים אינטגרל על פולינום – הסדר שלו עולה בדרגה אחת (אם הסדר היה 0^- אז יתכן שהסדר לא יעלה!).

חוקי הרצף : במכניקה הזמן, המיקום, המהירות והתאוצה של גוף הן פונקציות רציפות (אין קפיצה בזמן או במקום, המהירות והתאוצה לא יכולות לדלג לערך אחר באפס זמן). זה אומר ששרטוט של גרפים של מקום, מהירות ותאוצה צריך להיות רציף ("בלי להרים את העט") וגם גזיר (בלי פינות). פתרון בעיות עם המגבלות האלו אינו קל מתמטית. ברמת הלימוד שלנו אנחנו מתייחסים למודל מקורב של רציפות, לפי התנאים הבאים:

1. זמן רציף ומתקדם.

2. מיקום רציף. בשאלות "גרפים" – נרשה פינות (יש ספרים ששם יש גם "קפיצות"). בבעיות תנועה – אין פינות (כלומר: הנגזרת רציפה).

3. מהירות רציפה. בשאלות "גרפים" – נרשה פינות (יש ספרים ששם יש גם "קפיצות"). בבעיות תנועה – אין פינות (כלומר: הנגזרת רציפה), אבל נרשה זאת! (אנחנו מרשים תאוצה לא רציפה).

4. נרשה תאוצה לא רציפה (כלומר תאוצה המשתנה באחת). ברוב הבעיות שנעסוק בהן - התאוצה רציפה למקוטעין, גם בגרפים וגם בבעיות תנועה (יש קפיצות במספר זמנים, אבל ברוב הגרף יש רציפות). ברוב הבעיות כאן התאוצה הרציפה היא קבועה.