שאלות 1

תנועה מעגלית אופקית

1. קושרים גוף קטן שמסתו m, בעזרת חוט שאורכו L, למסמר הנעוץ על שולחן אופקי חלק. מקנים לגוף מהירות v, כך שהוא מבצע תנועה מעגלית אופקית סביב המסמר (ראה שרטוט)

דוגמה מספרית: m = 0.3 _[kg] ; L = 1.2 _[m] ; v = 0.2 _[m/s]

א. חשב את המהירות הזויתית של הגוף (סביב המסמר) w.

ב. חשב את זמן המחזור (זמן סיבוב אחד) T.

ג. חשב את התדירות בה מסתובב הגוף (מספר סיבובים בשניה) f.

ד. מהו גודל הנורמל שהשולחן מפעיל על הגוף – N?

ה. מהי המתיחות של החוט – P (או T למי שלא מתבלבל עם זמן מחזור)?

2. גוף קטן שמסתו m, מונח על תקליטור אופקי במרחק R ממרכזו, ומסתובב יחד עם התקליטור בתדירות f סביב צירו AB (הגוף לא מחליק על התקליטור) (ראה שרטוט).

דוגמה מספרית: m = 0.3 _[kg] ; R = 1.2 _[m] ; f = 0.2 _[Hz] ; m = 0.25

א. חשב את זמן המחזור T, את המהירות הזויתית w ואת המהירות קוית ("משיקית") v .

ב. חשב את גודל ואת כיוון הנורמל שהתקליטור מפעיל על הגוף – N.

ג. חשב את גודל ואת כיוון החיכוך שהתקליטור מפעיל על הגוף.

ד. מהו המרחק המרבי r מ- A, בו ניתן להציב את הגוף על התקליטור, כך שסיבוב באותה תדירות, לא יגרום להחלקה?

3. דיסק בעל רדיוס R מסתובב במישור אופקי בתדירות f סביב ציר אנכי העובר דרך מרכזו. מניחים גוף קטן בעל מסה m בנקודה A במרחק r ממרכז הדיסק. מקדם החיכוך הסטטי בין הגוף לדיסק הוא µ.

נתון: f , R , r , m , µ ("שאלה באותיות").

א. שרטט את הכוחות הפועלים על הגוף כאשר הוא מונח בנקודה A [בהנחה שאינו מחליק]. חשב את גודל ואת כיוון החיכוך הפועל על הגוף.

ב. מעבירים את הגוף לנקודה B, הנמצאת בקצה הדיסק. מתברר שאם מגדילים במעט את תדירות הסיבוב של הדיסק - הגוף מחליק. בטא את התדירות באמצעות המשתנים האחרים.

ג. מה מהירות הגוף כאשר הוא מונח בנקודה B (ללא החלקה)?

4. מנקבים חור בשולחן אופקי חלק. מציבים טבעת חלקה (בתפקיד גלגלת אידיאלית) הקשורה לתקרה ונמצאת בדיוק מעל החור. מעבירים חוט דרך הטבעת, כך שבצד אחד קשורה מסה M ובצד אחר מסה m. m נמצאת על השולחן ומסתובבת במרחק R סביב הטבעת ו – M תלויה ללא תנועה (ראה שרטוט).

דוגמה מספרית: m = 0.3 _[kg] ; M = 0.5 _[kg] ; R = 0.2 _[m]

א. חשב את מתיחות החוט P (או T).

ב. חשב את תדירות הסיבוב f.

ג. תאר את תנועת המסה m במידה שהחוט יקרע.

5. קושרים גוף קטן שמסתו m, בעזרת קפיץ בעל קבוע אלסטיות k, שאורכו הרפוי הוא L₀, למסמר הנעוץ על שולחן אופקי חלק. מקנים לגוף מהירות, כך שהוא מבצע תנועה מעגלית אופקית ברדיוס r ובתדירות f סביב המסמר (ראה שרטוט)

א. רשום משוואת חוק II עבור הציר הרדיאלי. השתמש במשתנים: k, m, L0, f, r + קבועים.

ב. בטא את רדיוס התנועה כפונקציה של המשתנים האחרים.

ג. האם קיימות מגבלות על התנועה (האם כל תדירות אפשרית, למשל)?

6. קושרים גוף קטן שמסתו m, בעזרת חוט שאורכו L, למסמר הנעוץ על שולחן אופקי. מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף לשולחן הוא m. מקנים לגוף מהירות התחלתית v, כך שהוא מבצע תנועה מעגלית אופקית לא קצובה סביב המסמר (ראה שרטוט).

דוגמה מספרית: m = 2 _[kg] ; L = 0.2 _[m] ; v = 4.2 _[m/s] ; m = 0.25

א. מהו גודל ומהו כיוון החיכוך הפועל על הגוף? (האם גודל החיכוך משתנה לאורך התנועה?)

ב. מהי האנרגיה הקינטית ההתחלתית של הגוף?

ג. איזו דרך עובר הגוף עד היעצרו?

ד. כמה סיבובים יסתובב הגוף עד שיעצר?

7. קושרים גוף קטן שמסתו m, בעזרת חוט שאורכו L, למסמר הנעוץ על שולחן אופקי. מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף לשולחן במקטע המהווה שישית מהיקף המעגל הוא m. בשאר המסלול אין חיכוך בין הגוף לשולחן. מקנים לגוף מהירות התחלתית v, כך שהוא מבצע תנועה מעגלית אופקית סביב המסמר (ראה שרטוט).

דוגמה מספרית: m = 2 _[kg] ; L = 0.2 _[m] ; v = 4.2 _[m/s] ; m = 0.25

א. חשב את העבודה שמבצע החיכוך על הגוף בכל סיבוב.

ב. כמה סיבובים יבצע הגוף עד שיעצר?

ג. כמה חום נוצר עד שהגוף נעצר?

8. גוף קטן, בעל מסה m, קשור בעזרת חוט באורך L לראש עמוד אנכי. הגוף סובב במעגל אופקי סביב הנקודה O שעל העמוד. החוט יוצר זוית q עם העמוד. רדיוס המעגל הוא R. (ראה שרטוט) (במילים אחרות: נתונה מערכת מטוטלת קונית).

א. הוכח את הקשר: cos(q) = g/(w²L).

ב. הוכח: ככל שהמהירות הזויתית w גדולה יותר – הזוית q תהיה גדולה יותר.

ג. הוכח: מישור המעגל נמוך מנקודת הקשירה ב - h = g/w² (ראה שרטוט). (בניסוח אחר: הראה כי h לא תלוי במסת הגוף או באורך החוט).

ד. הוכח: המהירות הזויתית המזערית המאפשרת תנועת מטוטלת קונית (כאשר q®0) נתונה בביטוי: w_min² = g/L.

ה. הוכח: הזוית q המרבית האפשרית בתנועת מטוטלת קונית פחותה מ - 90°.

9. גוף קטן, בעל מסה m, קשור בעזרת חוט באורך L לראש עמוד אנכי. הגוף סובב במעגל אופקי סביב הנקודה O שעל העמוד. החוט יוצר זוית q עם העמוד. רדיוס המעגל הוא R. (ראה שרטוט) (במילים אחרות: נתונה מערכת מטוטלת קונית).

דוגמה מספרית: m = 2 _[kg] ; L = 2.5 _[m] ; sin(q) = 0.6

א. סמן את כל הכוחות הפועלים על הגוף. ציין מי מפעיל כל כח.

ב. בחר מערכת צירים מתאימה. פרק את הכוחות הפועלים על הגוף לפי הצירים.

ג. רשום משוואות חוק I או II מתאימים לצירים. הוסף קשר טריגונומטרי עבור R.

ד. חשב את רדיוס המעגל R ואת מתיחות החוט P.

ה. חשב את המהירות הזויתית w, את התדירות f ואת זמן המחזור T.

10. גוף קטן, בעל מסה m, קשור בעזרת חוט באורך L אל עמוד אנכי בצורת "ר". אורך המוט האופקי הוא b. הגוף סובב במעגל אופקי סביב הנקודה O שעל העמוד. החוט יוצר זוית q עם קן אנכי. רדיוס המעגל הוא R. (ראה שרטוט) .

דוגמה מספרית: m = 0.5 _[kg] ; L = 2 _[m] ; b = 0.3 [m] ; q = 30°

א. סמן את כל הכוחות הפועלים על הגוף. ציין מי מפעיל כל כח.

ב. בחר מערכת צירים מתאימה. פרק את הכוחות הפועלים על הגוף לפי הצירים.

ג. רשום משוואות חוק I או II מתאימים לצירים. הוסף קשר טריגונומטרי עבור R.

ד. חשב את רדיוס המעגל R ואת מתיחות החוט P.

ה. חשב את המהירות הזויתית w, את התדירות f ואת זמן המחזור T.

11. ממרכז דיסקה חלקה יוצא ציר (בניצב לדיסקה). הציר, שגובהו h, יכול להסתובב בתדירויות שונות. אל קצה הציר קושרים חוט המחובר לגוף בעל מסה m (המסתובב יחד עם הציר). אורך החוט L.

דוגמה מספרית: h = 4 _[m] ; L = 5 _[m] ; m = 2.5 _[kg]

א. מהי תדירות הסיבוב המקסימאלית המבטיחה שהגוף לא יתנתק מהדיסקה?

ב. מסובבים את הציר בתדירות f = 0.15 Hz. השב:

1. שרטט תרשים כוחות הפועלים על הגוף.

2. חשב את גודל הנורמל, את המתיחות בחוט ואת רדיוס הסיבוב.

3. חשב את זמן המחזור (זמן הקפה אחת) ואת המהירות הזוויתית של הגוף.

4. תאר את סוג התנועה שיבצע הגוף מיד לאחר שהחוט נקרע (תאוצה, סוג מסלול).

12. קושרים גוף קטן בעל מסה m, בעזרת שני חוטים למוט אנכי הניתן לסיבוב (ראה שרטוט). אורכי החוטים הם L₁ ו - L₂ .כאשר תדירות הסיבוב קטנה (f₁) – החוט באורך L₂ רפוי. כאשר תדירות הסיבוב מאוד גדולה (f₂) – החוט בעל אורךL₂ מתוח ואופקי.

דוגמה מספרית: m = 2 _[kg] ; L₁ = 0.5 _[m] ; L₂ = 0.4 _[m]

א. מהי התדירות המינימאלית f_min כך שהחוט באורך L₂ יהיה מתוח?

ב. מסובבים את המוט בתדירות כפולה מ – f_min. חשב את המתיחות בכל חוט.

13. על חרוט [קונוס] שזווית הראש שלו היא 2a מותקן מוט קטן. אל המוט קושרים חוט באורך L. בקצה השני של החוט קושרים מסה m. [ראה שרטוט]. כל המתקן מסתובב יחד בתדירות הסיבוב f. הזנח כוחות חיכוך. בשלב מסוים החוט נוטה בזווית b עם האנך. דוגמה מספרית: m = 2 _[kg] ; L = 2 _[m] ; a = 30°

א. מהי התדירות המקסימאלית כך שהמסה m לא תתנתק מהחרוט? מהם הכוחות [גודל וכיוון] הפועלים על המסה m במצב זה.

מקטינים את תדירות הסיבוב לחצי מהערך שהתקבל בסעיף א.

ב. מהם הכוחות (גודל וכיוון) הפועלים על המסה?

מכפילים את תדירות הסיבוב שהתקבל בסעיף הקודם.

ג. מה תהיה זווית הנטייה b של החוט במצב זה? מה יהיה זמן של סיבוב אחד במצב זה? מה תהיה מהירותה של המסה?

14. אל מוט אנכי מחברים מוט נטוי בזווית α. משחילים חרוז בעל מסה m על המוט הנטוי. החיכוך בין החרוז למוט זניח. מסובבים את המערכת בתדירות f. החרוז מתייצב יחסית למוט בגובה h מעל נקודת החיבור. (ראה שרטוט).

הערה : מבנה המוטות דומה למחוגה.

דוגמה מספרית: m = 0.3 _[kg] ; f = 0.5 _[Hz] ; sin(α) = 0.6

א. בודד את החרוז. סמן את כל הכוחות הפועלים עליו וסמן מערכת צירים מתאימה. רשום משוואות (חוק II) מתאימות.

ב. חשב את גודל הכוח הנורמלי (הנורמל) הפועל על החרוז.

ג. חשב את מרחק החרוז מהמוט האנכי X (ראה שרטוט) .

ד. חשב את הגובה h (ראה שרטוט).

15. חרוז בעל מסה m מושחל על חישוק מעגלי חלק שמרכזו ב 0 ורדיוסו R, ומסתובב איתו סביב ציר אנכי MN במהירות זויתית w, כך שנוצרת זוית q, בין הציר לרדיוס לחרוז (ראה שרטוט).

א. סמן את כל הכוחות הפועלים על החרוז. ציין מי מפעיל כל כוח.

ב. רשום משוואות חוק II עבור החרוז, במערכת צירים "נכונה". [0]

ג. הוכח את הקשר: cos(q) = g/(w²R)

ד. מגדילים את המהירות הזוויתית w (והחרוז מתייצב שוב).

1. האם הזוית q תגדל/תקטן או לא תשתנה? [2]

2. האם גובה החרוז (מתחתית החישוק) יגדל/יקטן או לא ישתנה? הסבר! [3]

ה. נתון: m= 2 kg ; R= 3 m ; f= 0.35 Hz .

1. חשב את הזוית q עבור נתונים אלו. [2]

2. חשב את גודל הנורמל. [3]

תשובות:

1. תוצאות:

א. w = v/R = 0.2/1.2 = 1/6 _[rad/s]

ב. T = 2π/w = 12π _[s]

ג. f = w/(2π) = (1/6)/(2π) = 1/(12π) _[Hz]

ד. N = mg = 3 _[N]

ה. P = mw2R = 0.3×(1/6)2×1.2 = 0.01 _[N] או P = mv2/R

2. תוצאות:

א. T= 1/f= 1/0.2 = 5 _[s] ; w = 2πf = 2π×0.2 = 0.4π _[rad/s] ; v = wR = 0.4π×1.2 = 0.48π _[m/s]

ב. N = mg = 3 _[N] למעלה

ג. fs = ma_r = mw²R = 0.3×(0.4π)²×1.2 = 0.5685 _[N] לכיוון מרכז הסיבוב

ד. fsmax=mmg=0.25×0.3×10=0.75 [N]=mw²Rmax®Rmax=mmg/(mw²)=1.583 _[m]

3. תוצאות: א. fs = m(2πf)²r ב. f² = mg/(4π²R) ג. v = 2πfR

4. תוצאות:

א. P = Mg = 5 _[N]

ב. SFr = P = mw²R ® 5 = 0.3w²×0.2 ® w = 9.129 _[rad/s] ® f = w/(2π) = 1.453 _[Hz]

ג. תנוע בקו ישר במהירות קבועה (בגודל v = wR על המשיק בנקודת הקריעה)

5. תוצאות:

א. SFr = k×DL = k(r – L₀) = m×(2πf)²×r

ב. r = kL₀/(k - 4mπ²f²)

ג. (k - 4mπ²f²) > 0 אחרת הרדיוס שלילי.

6. תוצאות:

א. f_k = mN = mmg = 0.25×2×10 = 5 _[N] קבוע לכיוון הפוך לתנועה (הפוך למהירות הרגעית)

ב. E_k = 0.5mv² = 0.5×2×4.2² = 17.64 _[J]

ג. לפי עבודה ואנרגיה: SW_NC = -f_kx = E_B – E_A = 0 – E_k ® x = 17.64/5 = 3.528 _[m]

ד. סיבובים 3.528 = 2πR×n ® n = 3.528/(2π×0.2) = 2.807

7. תוצאות:

א. f_k = mN = mmg = 0.25×2×10 = 5 _[N] x = 2πr/6 = 2π×0.2/6 = 0.2094 _[m] W = -f_kx = 5×0.2094 = 1.047 _[J]

ב. E_k = 0.5mv² = 0.5×2×4.2² = 17.64 _[J] n = Ek/W = 17.64/1.047 = 16.85 יעצר בפעם ה- 17

ג. 17.64 _[J] (כל האנרגיה הקינטית הפכה לחום)

8. תוצאות:

א. הוכח לבד את הקשר: cos(q) = g/(w²L).

ב. ככל ש - w גדולה יותר – cos(q) קטנה יותר. בתחום זה – זה אומר ש - q גדולה יותר.

ג. מטריגונומטריה: h = Lcos(q) . מתוך הקשר למעלה מתקבל - h = g/w² .

ד. כאשר q®0 -> cos(q) ® 1 . הצבה בקשר למעלה תיתן : w_min² = g/L.

ה. כאשר w ® ¥ -> cos(q) ® 0 . בתחום זה: q שואפת ל - 90°.

9. תוצאות:

א. ראה שרטוט. כדור הארץ מושך ב – mg. החוט מושך ב"מתיחות החוט" – P.

ב. ראה שרטוט (חסר פרוק לרכיבים).

ג. Pcos(q) – mg = 0 ; Psin(q) = mw²R ; R = Lsin(q)

ד. R = 2.5×0.6 = 1.5 _[m] ; P = mg/cos(q) = 2×10/0.8 = 25 _[N]

ה. w² = Psin(q)/(Mr) = Psin(q)/(mLsin(q)) = P/(mL) = 25/(2×2.5) = 5לכן נקבל:

w = 2.236 [rad/s] ; f = w/(2π) = 0.3559 [Hz] ; T = 1/f = 2.810 [s]

10. תוצאות:

א. ראה שאלה קודמת.

ב. ראה שאלה קודמת.

ג. Pcos(q) – mg = 0 ; Psin(q) = mw²R ; R = b + Lsin(q)

ד. R = 2×0.5 + 0.3 = 1.3 _[m] ; P = mg/cos(q) = 0.5×10/0.8660 = 5.774 _[N]

ה. w = 2.107 _[rad/s] ; f = w/(2π) = 0.3354 _[Hz] ; T = 1/f = 2.981 _[s]

11. תוצאות:

א. סף ניתוק: N = 0. מטריגונומטריה: cos(q) = 4/5 = 0.8 ® sin(q) = 0.6 . מכאן: P = mg/cos(q) = 2.5×10/0.8 = 31.25 _[N] ; R = Lsin(q) = 5×0.6 = 3 _[m] עתה נחשב: w² = Psin(q)/(mR) = 31.25×0.6/(2.5×3) = 2.5 -> w = 1.581 _[rad/s] וגם נחשב: fmax = w/(2π) = 0.2516 _[Hz] ; T = 1/f = 3.974 _[s]

ב. כמו קודם: sin(q) = 0.6 ; cos(q) = 0.8 ; R = 3 _[m]

1. ראה שרטוט למעלה.

2. Pcos(q) + N – mg = 0 ; Psin(q) = mw²R -> P = 11.10 _[N] ® N = 16.12 _[N]

3. w = 2πf = 2π×0.15 = 0.9425 _[rad/s] ; T = 1/f = 6.667 _[s]

4. תנועה במהירות קבועה בקו ישר.

12. תוצאות:

א. R = 0.4 _[m] ; sin(q) = 0.8 ; cos(q) = 0.6 ; P2 = 0 ולכן: P₁ = mg/cos(q) = 2×10/0.6 כלומר: P₁ = 33.33 _[N] . מכאן: w² = P1sin(q)/(mR) = 33.33×0.8/(2×0.4) = 33.33. נקבל: w = 5.774 _[rad/s]. לכן: fmin = w/(2π) = 0.9189 _[Hz]

ב. f = 1.818 _[Hz] R = 0.4 _[m] ; sin(q) = 0.8 ; cos(q) = 0.6 ; . כמו קודם: P₁ = 33.33 _[N]. P₁sin(q) + P₂ = mw²R. ->

P₂ = m(2πf)²R - P₁sin(q) = 2(2π×1.818)²×0.4-33.33×0.8 ולכן: P₂ = 79.8 [N]

13. תוצאות:

א. סף ניתוק: N = 0. >> Pcos(α) – mg = 0 ; Psin(α) = mw²R ; R = Lsin(α). לכן נקבל: R = 2×0.5 = 1 _[m] ; P = mg/cos(α) = 2×10/0.8660 = 23.09 _[m] ; w = 2.403 _[rad/s] ומכאן: f = w/(2π) = 0.3824 _[Hz]

ב. חסר

ג. f = 0.7648 _[Hz] . הגוף "מרחף". Pcos(β) – mg = 0 ; Psin(β) = mw²R ; R = Lsin(β). נקבל: w = 2πf = 4.806 _[rad/s] ומכאן: P = mw²R/sin(β) = mw²Lsin(β)/sin(β) = mw²L ולכן: P = 2×4.8062×2 = 92.39 _[N] וגם: cos(β) = mg/P = 2×10/92.39 = 0.2165 ומכאן: β = 77.50°. וגם: T = 2π/w = 2π/4.806 = 1.307 _[s] ועוד נוכל לקבל מהנתונים: v = wR = 4.806×2×sin(77.50°) = 9.384 _[m/s]

14. תוצאות:

כוחות באדום, צירים בכחול. Nsin(a) – mg = 0 ; Ncos(a) = m(2pf)²R ; R = h×tan(a)

5 _[N] 1.35 _[m] 1.8 _[m]

15. תוצאות: ד: תגדל, תגדל. ה: 46.43° 29 _[N]