山野數學運用周遭環境寫出與數學有關的教案
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### **教案設計：山野數學探險——用自然解開數學之謎**
**課程名稱**：森林裡的幾何學、溪流中的代數
**教學對象**：國小高年級～國中（可依程度調整）
**課程時間**：90分鐘（戶外60分鐘＋室內30分鐘）
**核心概念**：幾何測量、比例估算、規律觀察、數據分析
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## **一、教學目標**
1. **數學實踐**：
- 運用自然物（樹葉、石頭、地形）理解對稱、角度、周長等概念。
- 學習估算技巧（如：樹高、距離）。
2. **跨領域連結**：
- 結合生態知識（年輪計算、生物生長曲線）。
3. **解決問題能力**：
- 設計「自然數學任務」，培養觀察力與邏輯推理。
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## **二、教學準備**
### **1. 數學工具包**
- **基礎工具**：捲尺、量角器、繩子、方格紙、計算機。
- **自然材料**：不同形狀的樹葉、松果、鵝卵石、樹枝。
- **數位輔助**：手機APP（如：角度測量器、分貝計）。
### **2. 場地需求**
- **森林區**：測量樹木、觀察幾何形狀。
- **溪流/岩石區**：計算水流速度、石頭堆疊力學。
- **草地/空地**：大型幾何圖形繪製。
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## **三、教學流程**
### **階段1：自然中的幾何學（30分鐘）**
#### **任務1：樹葉對稱軸偵探**
- 學生收集5種不同樹葉，完成以下任務：
- 用摺疊法找出對稱軸，並用筆標記。
- 用量角器測量葉脈之間的角度，記錄是否有規律（如：黃金角度137.5°）。
#### **任務2：樹幹圓周與直徑**
- 選擇3棵不同粗細的樹，用繩子繞樹幹一圈測量周長，計算直徑（$$ D = \frac{C}{\pi} $$）。
- **進階問題**：如果樹每年長粗1.5公分，估算這棵樹的年齡。
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### **階段2：環境中的數學規律（30分鐘）**
#### **任務3：松果的斐波那契數列**
- 觀察松果的螺旋排列，數數順時針和逆時針方向的螺旋數（通常為5和8，或8和13）。
- **連結數學**：這些數字為什麼是斐波那契數列？討論自然界中的數學模式。
#### **任務4：坡度與角度挑戰**
- 用小水瓶製作簡易水平儀，測量山坡的傾斜角度。
- 計算：如果山道長50公尺，爬升高度20公尺，坡度是多少？（$$ \text{坡度} = \frac{\text{上升高度}}{\text{水平距離}} \times 100\% $$）
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### **階段3：自然數據分析（30分鐘）**
#### **任務5：溪流速度估算**
- 選一段平緩溪流，丟入一片樹葉，用碼錶計算它漂流5公尺所需的時間，求流速（$$ v = \frac{d}{t} $$）。
- **問題延伸**：如果溪寬3公尺，估算流量（需假設水深）。
#### **任務6：自然藝術的幾何學**
- 用樹枝、石頭、花瓣在空地排列：
- **對稱圖形**（放射對稱、平移對稱）。
- **分形結構**（模仿蕨類、閃電形狀）。
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## **四、評量方式**
| **能力指標** | **評量活動** |
|--------------------|---------------------------------------|
| **觀察與測量** | 樹葉對稱軸是否正確標記？角度測量誤差是否小於5°？ |
| **估算與計算** | 樹齡估算是否合理？流速計算公式是否正確應用？ |
| **模式辨識** | 能否指出松果螺旋數與斐波那契數列的關聯？ |
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## **五、跨領域延伸**
- **科學連結**：年輪與氣候變遷的關係（數學＋地科）。
- **藝術創作**：用自然物拼貼「曼陀羅幾何畫」（數學＋視覺藝術）。
- **文學寫作**：撰寫「數學探險日記」，記錄發現的數學之美。
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## **六、教學金句**
- 「數學不是課本上的公式，而是大自然寫給人類的密碼。」
- **挑戰題**：為什麼蜂巢是六邊形？試著用「最少材料圍出最大面積」解釋。
此教案讓學生親手觸摸數學，從具體的自然現象歸納抽象規律，培養「用數學之眼看見世界」的能力。
### **自然數學探險學習單**
**姓名**：________________ **日期**：________________
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#### **任務1：樹葉對稱軸偵探**
1. 請收集**3種不同形狀的樹葉**，完成以下觀察：
| 樹葉編號 | 形狀描述 | 對稱軸數量 | 葉脈間角度（測量值） |
|----------|----------|------------|----------------------|
| 葉子① | | | |
| 葉子② | | | |
| 葉子③ | | | |
2. **思考題**：
- 哪一種葉子的對稱性最特別？為什麼？
- 如果葉脈角度是**137.5°**，這可能和什麼自然法則有關？（提示：植物生長排列）
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#### **任務2：樹幹圓周與年齡**
1. 選擇一棵樹，測量並計算：
- 樹幹周長（C）= _______ 公分
- 直徑（D）= 周長 ÷ π ≈ _______ 公分
- 若這棵樹每年長粗**1.2公分**，估算樹齡：_______ 年
2. **進階挑戰**：
- 觀察樹皮紋路，推測這棵樹經歷過哪些自然現象？（如：火災、颱風）
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#### **任務3：松果的數學秘密**
1. 觀察松果的螺旋排列：
- 順時針螺旋數：_______ 條
- 逆時針螺旋數：_______ 條
- 這兩個數字在斐波那契數列中嗎？□是（寫出數列前後數字） □否
2. **動手做**：
- 試著畫出松果的螺旋線（可附圖）：
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#### **任務4：山坡角度測量**
1. 使用自製水平儀測量：
- 山坡傾斜角度：_______ 度
- 若山道長**30公尺**，爬升高度**10公尺**，坡度 = _______ %
2. **問題解決**：
- 這樣的坡度適合興建自行車道嗎？為什麼？
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#### **任務5：溪流速度實驗**
1. 測量數據：
- 漂流距離（d）= 5 公尺
- 漂流時間（t）= _______ 秒
- 流速（v）= 距離 ÷ 時間 ≈ _______ 公尺/秒
2. **推論題**：
- 如果溪水流速變快，可能代表什麼環境變化？（如：上游降雨、地形陡峭）
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#### **任務6：自然藝術家**
1. 用撿拾的自然物（樹枝、石頭、花瓣等）排列出：
- **對稱圖形**（附圖或描述）：
- **分形結構**（如：樹枝分支、蕨類形狀）：
2. **創作反思**：
- 你的作品運用了哪些數學概念？
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### **綜合思考題**
1. 今天的活動中，哪一項任務最讓你驚訝？為什麼？
2. 如果要用數學描述「風的聲音」，你會測量哪些數據？（如：頻率、振幅）
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### **教師評量欄**
| **評量項目** | 優良（3分） | 達成（2分） | 待加強（1分） |
|--------------------|-------------|-------------|-------------|
| 測量準確度 | | | |
| 數學計算正確性 | | | |
| 觀察與推理能力 | | | |
**總分**：_______ / 15
**教師回饋**：________________________________________
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### **學習單設計特色**
1. **分階任務**：從具體操作（測量）到抽象思考（斐波那契數列）。
2. **生態連結**：每項任務皆引導學生反思環境與數學的關係。
3. **開放式問題**：鼓勵個人觀察與創意回答，避免單一標準答案。
> **給學生的話**：
> 「數學不是紙上的數字，而是風的曲線、樹的年輪，
> 和你眼中發現的每一個模式。——保持好奇心！」
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