1. Hallar el Dominio

2. Recta Tangente

3. Metodo de substitucion o cambio de variables

4. Metodo de integración por partes

5. Cíclicas

6. Calculo de areas

7. Tabla De Derivadas

8. Regla de la cadena

1. Hallar el Dominio

Dominio

Homográfica: y= f(x) g(x)¹ 0

g(x)

Logaritmo:

y= lnf(x) f(x)>0

Raiz PAR:

y= Ö f(x) f(x)³ 0

Calcular los Puntos Criticos

• 1. Se halla f´(x)

  2. Se iguala f´(x)=0

     1. Crecimiento Y Decrecimiento

     2. (Bolzano)

  3. Se despeja x = PC

  4. Se toma el Dominio de f´(x)

  5. Se corta con los PC

  6. Se le asigna un valor a cada intervalo que se reemplaza en f´(x)

Extremos (máximos y mínimos)

Criterio de f´(x)

Si en Bolzano:

crece/decrece= P Máximo

decrece/crece= P Mínimo

2. Recta Tangente

f´(x)= pendiente de la recta tg

y= f´(x0 ) (x- x0 ) + f(x0 ) ó y= mx+b

Integral Inmediata

a)ò [f(x)+g(x)-z(x)] dx =

b)ò f(x)dx + ò g(x) dx - ò z(x) dx

a)Integro (+C)

3. Metodo de substitucion o cambio de variables

Si en tu ejercicio hay: (LEPRD)

a) Un Logaritmo u= al logaritmo

• 1. Una Exponencial u= al exponente

  2. Una Potencia u= a la base

  3. Una Raiz u= a lo de adentro

  4. Una División u= al denominador

Ejemplo:

ò 3x2 – 1

Ö x3 - x

• 1. U= x3 –x

  2. Identifico U (LEPRD)

     1. Du= 3x2 –1 dx

  3. Calculo el DU (derivo u) por dx

• • 1. du = dx

    2. 3x2 –1

• 4. Igualo a 0

• • 1. ò 3x2 – 1 du = ò 1 du

    2. Ö u 3x2 – 1 Ö u

• 5. Sustituyo en la fórmula original:

• • 1. ò 1 du = (tabla) 2Ö u +C

    2. Ö u

• 6. Integro

  7. Sustituyo

2Ö u +C = 2 Ö x3 –x + C

4. Metodo de integración por partes

ò u.dv = uv - ò v.du

(ejercicio) (solución)

El problema es saber a qué llamar u y dv en el ejercicio (ALPET)

Si tenés 2 potencias, u a la que tenga exponente entero +

Ejemplo:

ò x2 ex dx

• 1. Defino U(en este caso, la potencia)

  2. U= x2

  3. (derivo)

  4. Du= 2x dx

  5. Y dv

Dv= ex dx

(integro)

V= ex

uv - ò v du

x2 ex -ò ex 2x dx

(por propiedad, k sale de la integral) x2 ex -2 ò ex x dx

No esta en tablas, vuelvo a integrar por partes

• 1. Identifico u y dv

u= x (derivo) dv= ex dx (integro)

du= dx v= ex

x ex -ò ex dx

(en el resultado anterior)

x2 ex -2 [ x ex -ò ex dx] (integro)

x2 ex -2 [ x ex - ex ] + C

El numero de la potencia me indica cuantas veces debo integrar por partes!!

5. Cíclicas

Se forma con una exponencial o logarítmica y una trigonométrica

Ej: ò e2x cos 3x dx

Se resuelve por sustitución

U= e2x (regla de la cadena) dv= cos 3x dx

du= 2 e2x v= sen 3x

sustituyo dos veces

ò e2x cos 3x dx= 3/13 1 e2x [sen 3x + 2/3 cos 3x] + C

Integrales de funciones compuestas con raices

Ejemplo:

ò cos Ö 2x+3 dx

• 1. Z= Ö 2x+3 dx

  2. Sustituyo

     1. Z2 –3= x2

  3. Despejo x

  4. Derivo

Z dz = dx

d) Resultado: ò cos z. z dz

(Partes)

u= Z dv= cosz dz

du= dz v= sen z

uv-ò v du

z sen z -ò senz dz

(Integro

z sen z+ cos z +C

Ö 2x+3 sen Ö 2x+3 + cos Ö 2x+3 + C

Integral definida. Regla De Barrow

ò a f (x) dx = ½ F(b x) ½ a = f (b) – F(a) Û b>a

b b

ò a f(x) dx = - ò a f (x) dx

b b

Ejemplo ò 1 ex dx

0 5+7 ex

(Substitución) u= 5+7 ex du= ex dx du = dx

7 ex

ò 1 ex du Þ 1 ò 1 1 dx Þ 1 ln u = ½ 1 ln (5+7 ex)½ 1Þ 1 ln (5+7 ex) –1 ln 12½ 1

0 5+7 ex 7 0 u ex 7 7 0 7 7 0

6. Calculo de areas

Area = ò a techo-piso Þ ò a f(x) – g(x)

b b

Si en algún lugar cambian el techo o el piso divido el area, resuelvo por separado y luego sumo Area total= A1 + A2

• • Areas trigonométricas, por cada Õ cuento 1 area!!

  • Si no se cual es el techo y cual el piso,

a) Igualo f(x)=g(x) b) Límites por integración

Tips

Una funcion es derivable si:

a) es continua b) es suave (don de hay picos no hay una única tangente)

En los puntos de inflexión la F´(x):

a) f´(x)= o b) NO TIENE max. ni min.

c) Puntos Críticos: NO existe la derivada pero si la funcion (no F´(x)pero si F(x))

Mínimos/Máximos:

a) Absolutos b) Relativos

• • Si el dominio de la derivada >0, en Bolzano usaré dichos valores.

  • Si la derivada es positivaÞ recta tg +Þ pendiente+= se grafica creciente

  • Si me falta el dato "y", resuelvo la f(x).

  • Si se puede simplificar, entonces se podia hacer factor común

  • Ln 0 no existe la exponencial es siempre +

  • Derivada segunda para saber máximos

  • Exponenciales: Nunca vale ceroÞ Es siempre crecienteÞ Nunca se anula. Su asíntota siempre está en x=o

  • Uso el método de sustitución cuando hay composición (una adentro de la otra)

  • Barrow= primitiva a – primitiva b

  • El gráfico de una raiz x es ½ parábola acostada

  • Cuando busco el techo y el piso (cual es mayor), los límites de integración no importan los extremos (los infinitos), hago bolzano solo en los valores que de.

  • Con problemas de velocidad:

Los gráficos de la pendiente negativa no tienen sentido fisicamente

Si piden la aceleracion en el instante en que la velocidad se anula es F´(0) y reemplazo en la F´´(x) (va a ser el valor +, el – no tiene sentido)

El máximo es la segunda derivada

Que la velocidad=0 no significa que no haya aceleracion

7. Tabla De Derivadas

1)Suma de funciones:

y=f(x)+g(x)-z(x)Þ y’= f’(x)+g’(x)-z’(x)

2)Producto y Cociente:

y= f(x).g(x) Þ y’= f’(x) g(x) + g’(x)f(x)

y= f(x)Þ u = u’v –uv’

g(x) v v2

3)Potencias y Raices:

4)Exponenciales

5)Logaritmos

6)Funciones Básicas

7) Trigonométricas

8) Inversas trigonométricas

Derivadas mas usadas:

8. Regla de la cadena

Cuando hay composicion:

Derivo lo de afuera y lo multiplico por la derivada de lo de adentro

[F(g(x))]´= (f(g(x)))´. g´(x)

Integral O Primitiva

Y= f(x)Þ Y’= F’(x)Þ ò F’(x ) dx = f(x)

Ejemplo

Y´=3 x2

Y= x3 Y= x3

Y´=3 x2 DY=3 x2 dx dy= f’(x) dx

Tabla De Integración

Derivada de funciones y reglas de derivación

Propósitos generales

Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades

En esta sección desarrollaremos las reglas de derivadas para distintas funciones derivables. Además, se pretende que el alumno reconozca y comprenda la diferencia de derivar una función por definición o por medio de dichas reglas, para así estudiar su utilidad.

Objetivo de las actividades

En estas actividades introduciremos las reglas de derivación mediante una serie de videos que explican cómo se obtienen, con la idea de entender el porqué de su aparición (suma, resta, multiplicación y división de funciones derivables). Por otro lado, se intentará relacionar e interpretar la utilidad de derivadas por medio de un problema usando las reglas de derivación.

Objetivos pedagógicos

Actividad 1

Desarrollo de la actividad

1) Junto con el docente, analicen los siguientes videos

• Derivadas: Demostraciones 1 y 2

• Derivadas: Demostraciones 3 y 4

• Reglas de las derivadas

2) Utilizando el procesador de textos que tienen en sus equipos portátiles, realicen las siguientes consignas.

a) Redacten de forma clara el concepto de derivadas que nos brinda el video y saquen conclusiones de lo analizado en los tres videos.

b) ¿Cuál es la derivada de una constante? ¿Por qué?

3) Realicen un apartado para mostrar la diferencia que hay entre derivar por medio de las reglas y hacerlo por definición de derivadas. Para ello, construyan una tabla de dos columnas: en la primera escriban la demostración de cada propiedad; en la segunda, las reglas de derivación de cada propiedad acompañada de ejemplos (pueden ser de ejercicios de libros, páginas o videos que estén en Internet).

4) Investiguen en Internet, si tienen acceso, o en otras fuentes, quiénes desarrollaron las herramientas del cálculo para derivar. ¿Para qué las necesitaban?

Actividad 2

El desplazamiento de un móvil a lo largo de una recta viene dado por la siguiente función: S(t)= 3t – t²(en el instante t=0 el punto se encuentra en el origen).

1) Hallen la velocidad del movimiento del móvil para los instantes t=1 y t=2.

a) Grafiquen la función S(t) y su derivada. Para ello pueden utilizar el programa graficador (Geogebra), que se encuentra en sus equipos portátiles, y si tienen acceso a Internet, pueden utilizar este tutorial que los ayudará a graficar.

2) Encuentren la relación gráfica entre la pendiente de la recta tangente y ambos gráficos usando las herramientas que les brinda el programa graficador.

Actividad 3

1) Aplicando las propiedades analizadas en la actividad 1, deriven las siguientes funciones. Como ayuda, pueden utilizar la tabla de derivadas construida por ustedes.

2) Utilizando el programa graficador, verifiquen las derivadas calculadas en el punto anterior. Para ello, grafiquen cada función y su correspondiente derivada. Si tienen acceso a Internet, pueden utilizar este tutorial que los ayudará a comprender cómo se grafica y se obtiene la derivada de una función.

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo

Derivadas: introducción y definición

Derivada

Reglas de derivadas

Reglas de derivación