Astronostrum VIII

8. TEORIA DE PERTURBACIONES

Sabemos que los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas casi perfectamente elípticas debido a que su atracción mutua es mucho menor que la atracción del Sol sobre los mismos.

En la solución del problema de los dos cuerpos los elementos orbitales son constantes; si suponemos que varían a causa de las atracciones mutuas entre los distintos cuerpos, deberemos establecer sus ecuaciones diferenciales y resolverlas. Las expresiones que obtengamos para los elementos (en general sumas de términos en senos y cosenos y términos seculares) podremos utilizarlas para obtener un mayor orden de aproximación. En la práctica este método es rápida­mente convergente pero muy laborioso. Las expresiones analíticas que se obtienen, válidas para un determinado periodo de tiempo, reciben el nombre de perturbaciones generales y permiten establecer el estado del sistema planetario antes y después de una época determinada, pero no pueden utilizarse para periodos de tiempo demasiado largos.

El método de las perturbaciones generales es aplicable a sistemas de satélites, a asteroides perturbados por Júpiter, a la determinación de órbitas de satélites artificiales, etc. Es una herramienta muy potente en astrodinámica porque las expresiones analíticas ponen de manifiesto las distintas fuerzas que actúan sobre el cuerpo (por ejemplo, el achatamien­to de la Tierra sobre un satélite).

Una aproximación distinta del problema de n-­cuerpos es la que utiliza perturbaciones especiales, que implica la integración numérica, paso a paso, de las ecuaciones diferenciales del movimiento desde la época inicial a la época en la que se desean las posiciones de los cuerpos. Tiene la ventaja de que es aplicable a cualquier órbita que implique cualquier número de cuerpos, y la desventaja de que no conduce a una fórmula general, debiéndose calcular, aunque no interesen, todas las posiciones intermedias de los cuerpos para llegar a la configura­ción final.

Tanto las perturbaciones generales como las especiales se pueden dividir en periódicas y seculares.

Se llama perturbación periódica a toda perturbación de la órbita de referencia que se repite con un periodo de revolución determinado, siendo, generalmen­te, el resultado de configuraciones similares de los cuerpos implicados.

Una perturbación secular produce un cambio proporcional al tiempo, o dicho de otra forma, sus efectos se acumulan con el tiempo.

En algunos casos es difícil distinguir entre perturbaciones de periodo muy largo y perturbaciones seculares debido a que el tiempo durante el cual se han podido llevar a cabo observaciones es corto comparado con el periodo esperado.

8.1 Movimiento de dos cuerpos perturbado

Recordemos (3.2) que la ecuación del movimiento relativo en el problema de los dos cuerpos

(1.8)

es un caso particular de la ecuación del problema de la fuerza central cuando ésta es newtoniana

Pues bien, supongamos ahora que además de esta fuerza central existe otra que llamaremos fuerza perturbatriz. La ecuación (1.8) se escribirá:

, ,i, a, e, T. Al cabo de un tiempo estaremos en un punto de la órbita perturbada al que le corresponderá otra órbita osculatriz con unos elementos osculadores que designaremos por

, , , … y en dicho punto el radio vector será y la velocidad (utilizaremos para indicar el paso de una osculatriz a otra y d cuando pasamos de un punto a otro de la órbita perturbada). Cal­cularemos las variaciones de los elementos

… durante la variación de tiempo . Llamaremos

Integrando estas expresiones tendremos … lo que nos dará en cada instante la posición de la órbita osculatriz.

Ahora bien, en cada instante t

es el vector de posición del secundario sobre la trayectoria y sobre la órbita osculatriz. Por tanto, al cambiar de osculatriz, variará en segundo orden y por consiguiente,

(3.8)

En cambio, debido a la acción de la fuerza perturbatriz , en un tiempo la velocidad sufrirá una variación

, ,, sobre cada uno de dichos ejes, respectivamente.

Teniendo en cuenta (3.8), debido a la perturba­ción, la variación del plano de la órbita osculatriz se traducirá en una rotación alrededor de

definida por un vector

(5.8)

cuya expresión en función de sus componentes respecto a S, T, R serán:

, i y . Las variaciones de dichos elementos serán rotaciones alrededor de los ejes Z, línea de los nodos y R, respectivamente; por tanto, las podremos representar por tres vectores:

en la di­rección del eje Z, y sentido hacia Z positivo;

en la dirección de la línea de los nodos y sentido hacia el nodo ascendente N ; en la dirección de R y sentido hacia R positivo.

Por tanto, podremos expresar de la forma:

(7.8)

Las componentes de los vectores ,, en la base S, T, R son:

y por consiguiente:

(8.8)

8.2 Ecuaciones de Gauss

Deduciremos las ecuaciones de Gauss a partir de las integrales del movimiento.

Sean, en el sistema S,T,R:

En el caso kepleriano, la ley de las áreas toma la forma

. En nuestro caso, no es constante. Su variación será:

por tanto:

(9.8)

Por otra parte:

(10.8)

e identificando (9.8) y (10.8) resulta:

(11.8)

o sea, teniendo en cuenta (8.8):

(12.8)

Multiplicando la primera de (12.8) por sen u y la segunda por cos u, sumando y sustituyendo por la pri­mera de las (11.8), obtenemos:

(I)

Multiplicando ahora la primera de (12.8) por cos u y la segunda por sen u, restando y sustituyendo luego por la primera de las (11.8):

(II)

Si la fuerza perturbatriz no tiene tercera componente, es decir, si f está en el plano de la órbita, según (I) y (II) no variarán ni el nodo ni la inclinación de la órbita.

Para hallar la variación de

partiremos de la integral de la energía:

derivando:

de donde:

(13.8)

y recordando que las componentes de

en el sistema S,T,R son (ver 28.3):

y además

sustituyendo en (13.8) y operando resulta:

Partiendo de y derivando: y teniendo en cuenta que , sustituyendo:

(14.8)

Despejando ahora e² de p = a(1 – e²) y derivando, obtenemos:

y sustituyendo a’ por (III) y p’ por (14.8), despejando después e’ se obtiene:

derivando :

De la tercera de (8.8) y (I) se obtiene

(15.8)

y de derivar la expresión que nos da el radio vector teniendo en cuenta los valores de e’ y p’ ya obtenidos, se halla

y poniendo cos E en función de cos V, utilizando

operando, agrupando términos y simplificando se obtiene

(16.8)

Sustituyendo (15.8) y (16.8) en

se obtiene finalmente:

De

derivando, obtenemos

(17.8)

y de también derivando,

y despejando E’:

y sustituyendo en (17.8):

El coeficiente de e’ es

que se puede expresar en función de V recordando que

resultando

y sustituyendo en M’

y sustituyendo

por (IV) y por (III), agrupando términos y simplificando, obtendremos finalmente:

Las seis fórmulas indicadas por números romanos (del I al VI) constituyen las llamadas fórmulas de Gauss y dan la variación de los elementos orbitales al variar en un instante dado la velocidad del secundario a causa de la fuerza perturbatriz que actúa sobre él. Las aplicaremos al estudio del movimiento de satélites artificiales.

8.3 Variación de los elementos en un periodo

Sea α uno cualquiera de los elementos orbitales. En una cualquiera de las fórmulas de Gauss se verifica:

función que se puede desarrollar en serie trigonomé­trica según una cualquiera de las variables. Sea por ejemplo M:

pero, en este desarrollo a_k y b_k contienen también elementos de la órbita. Entonces podemos proceder por aproximaciones sucesivas. Si tomamos constantes los elementos del segundo miembro, diremos que tomamos una aproximación de primer orden. Si los consideramos linealmente variables, la aproximación es de segundo orden. Para una aproximación de primer orden será:

Llamaremos

a la variación de en un periodo, es decir:

En general se acostumbra a integrar según M. Siendo

, obtenemos

y por tanto,

(18.8)

Por la ley de las áreas

y

de donde

y recordando que

queda

(22.8)

Por otro lado deducimos del triángulo NAQ de la figura 3.8 las relaciones:

(23.8)

Que sustituidas en (22.8) nos dan

Escribiendo la expresión de la variación de los elementos en función de la anomalía verdadera teniendo en cuenta el valor , obtenemos:

(24.8)

Sustituiremos

sucesivamente por los valores de las variaciones de los elementos orbitales dadas por las fórmulas de Gauss. En primer lugar, para tendremos, recordando (I):

y resolviendo la integral (se sugiere utilizar el método de resolución que nos da la teoría de residuos) se obtiene:

(25.8)

fórmula que nos da la variación de

en una vuelta.

Si i< 90º (movimiento directo),

, el nodo retrograda.

Si i = 90º (órbita polar),

Si i >90º (movimiento retrógrado),

, el nodo avanza.

Para hallar la variación de la inclinación partiremos de la segunda ecuación de Gauss, fórmula (II) y sustituiremos en (24.8)

por i’. Tendremos:

que una vez integrado nos dará:

lo cual nos dice que la fuerza perturbatriz debida al potencial terrestre no afecta la inclinación de la órbita.

El mismo resultado se halla para las variaciones del semieje mayor y de la excentricidad. Es decir, se obtiene

La quinta ecuación de Gauss nos dará la variación del argumento del periastro. En efecto, sustituyendo (V) en (24.8) e integrando, obtendremos:

Si , es . El ángulo i es entonces de i_c = (tan i = 2). Dicha inclinación, que recibe el nombre de inclinación crítica, es aquella con que debe lanzarse un satélite artificial para que la forma de la Tierra no influya en el argumento del periastro. De hecho, con esta inclinación fueron lanzados los primeros satélites rusos.

Si i = i_c no hay avance del periastro

Si i < i_c el periastro avanza

Si i > i_c el periastro retrograda.

y tan² ic = 2.

Si i < 54º44

es Ds > 0

Si i = i_c es Ds = 0

Si i > 54º44

es Ds < 0

i_c es la inclinación con que se lanzaron los Explorer.

8.4.1 Perturbaciones debidas al potencial terrestre en el caso particular de un potencial terrestre central

Estudiemos el caso en que la fuerza perturbatriz es de la forma

Es evidente que en el sistema S,T,R sólo tiene componente no nula en la dirección de S, es decir

Trabajaremos con la anomalía verdadera; por tanto, utilizaremos, igual que en el apartado anterior la fórmula (24.8).

Como que según (I) y (II),

e i’ son propor­cionales a f_R, serán

Para

tendremos, recordando (III):

y siendo

resulta

Para

, tendremos asimismo, haciendo uso de (IV):

resultando

Vemos pues que una fuerza perturbatriz central no afecta la posición del nodo ni la inclinación y tampoco la forma de la órbita.

En cambio, veremos que sí afecta el argumento del nodo y la época de paso por el periastro. En efecto, sustituyendo en primer lugar w

en (24.8) tendremos:

El valor de la integral es

y por tanto:

Otra forma frecuente de expresar este resultado se obtiene con el cambio que da:

Sustituyendo ahora

en (24.8) obtenemos:

y después del cálculo de la integral:

donde el primer sumatorio se extiende para valores impares de k y el segundo para valores pares.

8.5 Perturbaciones debidas a la resistencia de la atmósfera

Para el estudio de las perturbaciones debidas al efecto de la atmósfera se hacen diversas hipótesis simplificativas:

a) Se supone la Tierra esférica

b) La densidad de la atmósfera decrece exponen­cialmente con la altura

c) La densidad del aire no varía con el tiempo (se desprecian las mareas: la Luna y el Sol producen mareas sobre la atmósfera, llegando a variar la densidad hasta un 20% por este efecto)

d) La resistencia de la atmósfera al movimiento de un cuerpo es proporcional al cuadrado de la velocidad del cuerpo

(26.8)

donde c = coeficiente de resistencia (

es la velocidad del sa­télite, la velocidad de la atmósfera y

la velocidad resultante, tenemos:

siendo

o también

(27.8)

y , podemos escribir:

, tendremos:

y teniendo en cuenta que en el triángulo NSQ de la (Fig. 5.8) se verifica

recordando la fórmula (27.8), podemos escribir:

El término es pequeño. En un punto ecuatorial es del orden de 0.5 km/s. A 300 km de altitud es del orden de 8 km/s. Luego, podemos escribir:

es decir:

y , por tanto y pero el cociente está restando de la unidad, de ahí la desigualdad dada.

Vemos pues que V_R está acotada por v y por un factor de reducción

El cuadrado de este factor F es tal que está comprendido entre 1 y 0.9

Con esto

y recordando (26.8) podemos escribir:

(28.8)

y teniendo en cuenta que si es la fuerza perturbatriz por unidad de masa, será

(29.8)

haciendo e igualando (28.8) y (29.8), obtendremos

(30.8)

y de (30.8),

(31.8)

Para el cálculo de las perturbaciones debidas a la atmósfera trabajaremos en la base L, N, R, definida de la siguiente forma:

L dirigido según la tangente a la órbita en la posición del satélite

N dirigido según la normal

R perpendicular al plano de la órbita

Expresaremos las ecuaciones de Gauss en esta nueva base. El cambio se expresará por

(32.8)

(33.8)

partiremos de (III) y escribiremos, sustituyendo f_S y f_T por sus correspon­dientes valores deducidos de (32.8) y (34.8), teniendo además en cuenta que sólo tiene primera componente,

y teniendo en cuenta los valores de v_r, v_p y f_L (primera componente de ) queda

o lo que es lo mismo:

(35.8)

Análogamente, para calcular e’ partiremos de (IV) y aplicando los mismos cambios y recordando que obtendremos:

(36.8)

y se obtendrán a partir de (V) y (VI). Serán:

(37.8)

(38.8)

La presencia del término sen V en las ecuaciones (37.8) y (38.8) hará que al integrarlas obtengamos

y la velocidad v que podemos expresar en función de la anomalía excéntrica E. En efecto, recordemos que (39.8) y escribámosla para el perigeo. Si llamamos

a la densidad en dicho punto tendremos:

(40.8)

y tomando h = r y dividiendo (39.8) por (40.8):

con lo cual

y

Por tanto

y

(41.8)

Para la velocidad escribiremos:

de donde

(42.8)

Para simplificar aun más calcularemos x’ y trabajaremos con a’ y x’ en lugar de hacerlo con a’ y e’.

Escribiremos:

y teniendo en cuenta (35.8) y (36.8) obtendremos:

pero, sustituyendo

y v por (41.8) y (42.8), finalmente:

(43.8)

donde

Análogamente, sustituyendo en (35.8)

y por (41.8) y (42.8), se obtiene:

(44.8)

De (43.8) obtendremos

(45.8)

y de (44.8):

(46.8)

Al resolver las integrales (45.8) y (46.8) se obtiene:

(47.8)

(48.8)

y por sus valores (47.8) y (48.8):

y de (47.8) y (48.8):

En primera aproximación se puede suponer

y al comparar los incrementos de q y q’, obtendre­mos:

Si se toma y e < 0.2, valores normales en el lanzamiento de satélites, este cociente es:

lo cual nos dice que el apogeo baja una diez veces más deprisa que el perigeo. La órbita tiende a hacerse circular.

Como que a disminuye, en media el satélite describe una espiral y acaba quemándose en la atmós­fera. Es la “muerte” de un satélite artificial en órbita alrededor de la Tierra.

8.6 Perturbaciones debidas a la presión de radiación solar

Estudiaremos ahora las perturbaciones que sobre los elementos orbitales de un satélite artificial produce la presión de radiación solar directa, fenómeno que hay que tener en cuenta cuando se utilizan satéli­tes con elevada superficie respecto a la masa. Despre­ciaremos la radiación reflejada procedente de los planetas (sobre todo de la Tierra) y de la Luna.

Se sabe que a una altitud de 800 km los efectos de la presión de radiación solar directa y la resis­tencia de la atmósfera sobre un satélite artificial de la Tierra son del mismo orden. Es más, para las temperaturas usuales exosféricas y por encima de los 800 km los efectos de la presión de radiación son mayores que los de la resistencia de la atmósfera para satélites que se mueven en órbitas circulares.

al vector de po­sición geocéntrico del satélite. De la Fig. 8.8 se deduce que la fuerza perturbatriz se podrá expresar de la forma

(50.8)

y puesto que r es siempre mucho más pequeño que r₀ se podrá escribir

y (vector unitario Tierra - Sol) siendo

(52.8)

donde k es un factor que depende del albedo y de la forma del satélite (k = 1 para una esfera perfecta­mente reflectante), s es la sección recta del satélite, m su masa y q₀ se toma igual a 4.65x10^-5 dinas suponiendo constante la distancia geocéntrica del Sol y la intensidad de la radiación solar a esta distancia.

El vector

, unitario en la dirección del Sol, varía con la posición relativa del Sol respecto a la Tierra; pero, en primera aproximación, podemos suponer que durante una vuelta del satélite se mantiene constante. En efecto, en un día un satélite geodésico da ocho vueltas a la Tierra y el Sol recorre aproximadamente 1º en su movimiento ánuo aparente al­rededor de la Tierra. Por tanto, en una vuelta del satélite, el Sol se habrá desplazado sólamente 1/8 de grado y, en consecuencia, podemos despreciar el movimiento del Sol. Luego, según (51.8) y (52.8)

será una fuerza de módulo y dirección constantes a lo largo de un periodo.

Resolveremos este caso en el sistema P,Q,R (3.11.3) y utilizaremos la fórmula