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10. ECLIPSES, OCULTACIONES Y PASOS
El término eclipse significa un oscurecimiento de la luz de un cuerpo celeste por otro. Un eclipse del Sol por la Luna recibe el nombre de eclipse de Sol. Un eclipse del Sol por un planeta inferior se llama pasodel planeta por delante del Sol. Un eclipse de Luna es un eclipse de la Luna por la Tierra. Una ocultación de una estrella o de un planeta es un eclipse de la estrella o del planeta por la Luna. La ocultación de una estrella puede ser también producida por un planeta.
Tanto en el caso de un eclipse de Sol como de Luna el centro de la Luna se halla cerca de la recta que une los centros del Sol y de la Tierra. Por consiguiente, la Luna está en sicigias (oposición o conjunción); los eclipses de Luna se producen en Luna llena, los de Sol en Luna nueva. Pero, es evidente que no hay eclipse en cada sicigia sinó únicamente cuando ésta tiene lugar cerca del nodo de la órbita lunar.
La periodicidad de los eclipses vendrá dada por el mínimo común múltiplo de la periodicidad del mes sinódico (S=29d.530589), del intervalo entre dos pasos de la Luna por el nodo de su órbita (revolución draconítica, D = 27d.212220) y del intervalo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por dicho nodo (año eclipse, A = 346d.62). Observemos que 223 revoluciones sinódicas se componen sensiblemente del mismo número de días que 242 revoluciones draconíticas
223 S = 6585,32 días
242 D = 6585,36 días
Dif. = 0,04 días = 0h 51m 12s
y que con 19 años eclipse obtenemos:
19 A = 6585,78 días
Luego, obtenemos la relación aproximada:
223 S = 242 D =19 A = 18 años 11 días
Este periodo de 18 años 11 días es el llamado Saros y en él se reproducen los eclipses casi en idénticas condiciones. Teniendo en cuenta que su duración en días comprende una parte fraccionaria próxima a un tercio de día, las regiones de la Tierra desde las cuales se observa la repetición de un eclipse se hallan en media a 120º al oeste de aquéllas en que se había observado el precedente.
10.1 Eclipses de Sol. Predicción para la Tierra en general
Sean (Fig. 1.10) N el nodo de la órbita lunar, I la inclinación de dicha órbita, S y L la posición geocéntrica del Sol y la Luna en el instante de la conjunción en longitud; S’ y L’ el Sol y la Luna en el instante en que es mínima la distancia angular
entre ambos; β y β’ las latitudes de la Luna en dichos instantes; λ el cociente entre los movimientos en longitud de la Luna y del Sol.
= β tan γ
SP = λ β tan γ
con
de donde:
S
P = SP - SS=( λ-1) β tan γ
por otra parte:
L
P = β = β-LM = β-SP tan I = β -λ β tan γ tan I
y por tanto:
(1.10)
Teniendo en cuenta que (γ varía de una configuración a otra) y haciendo d∑/dγ = 0, se obtiene para el mínimo de ∑
(2.10)
que podemos expresar en función del movimiento relativo de la Luna respecto al Sol. Para ello llamaremos I
a la inclinación de la órbita de la Luna respecto a la eclíptica fijando el Sol en el momento de la conjunción (S). En el triángulo L S N de la Fig.2.l0 tenemos:
β = NS tan I
y en el triángulo L S N
:
β = N
S tan I
de donde:
pero
y por tanto
es decir
(4.10)
Designemos por π y π
las paralajes horizontales de la Luna y del Sol y por s y s los semidiámetros aparentes de la Luna y del Sol (Fig. 3.10).
FIG. 3.10
Entonces
T = ∑ - (π - π
)
será la distancia aparente entre los centros del Sol y de la Luna para un observador O
situado en la superficie de la Tierra. Para dicho observador un eclipse de Sol será posible si
∑ - (π – π
) < s + s
o según (4.10) si
y el máximo de π (ver TABLA VIII), veremos que el eclipse de Sol será seguro para β < 1º 24 36
Sustituyendo, en cambio, los valores máximos de π, s, s
y el mínimo de π, veremos que el eclipse de Sol será imposible para β >1º 34 46, siendo dudoso entre dichos límites (para el cálculo se ha tomado el valor medio de cos I
= ).
10.1.1 Ecuaciones fundamentales de la teoría de eclipses
Durante un eclipse de Sol la Luna proyectará dos conos de sombra (Fig. 4.10). Uno tangente exterior a las superficies de la Luna y del Sol y otro tangente interior. El primero recibe el nombre de cono de sombra y el segundo de cono de penumbra.
FIG 4.10
El eje de dichos conos (que une los centros de la Luna y el Sol) es el llamado eje de sombra.
Evidentemente en un lugar de la Tierra habrá eclipse (total o parcial) si la distancia de dicho lugar al eje del cono de sombra es menor que el radio de sombra (umbral o penumbral) correspondiente a dicho lugar.
Estudiaremos las circunstancias de un eclipse de Sol para un lugar determinado. Para ello definamos un sistema de coordenadas cartesianas fundamental o de Bessel con origen en el centro de la Tierra T (Fig. 5.10), con el eje z paralelo por T al eje de sombra (positivo hacia el Sol), plano fundamental perpendicular al eje z, con el eje x intersección de dicho plano con el ecuador (positivo hacia el este) y el eje y perpendicular ax en sentido directo (positivo hacia el norte).
FIG. 5.10
Sean
(r, A, D) el vector de posición geocéntrico de la Luna en una base ecuatorial, (r, A, D) el vector de posición del Sol en la misma base y (G, a, d) el vector de posición del punto Z que define la posición del eje del cono de sombra. Las efemérides astronómicas nos proporcionan A, D y π de la Luna (r =
en unidades astronómicas, siendo П0 la paralaje horizontal del Sol a la distancia media) yA
dividiendo por r
tenemos
y llamando
nos queda
(6.10)
Si escribimos la relación (6.10) tomando sus componentes ecuatoriales tendremos:
Tomando como origen de ascensiones rectas el meridiano celeste que pasa por el Sol, lo qual equivale a efectuar una rotación de ángulo A
alrededor del eje del mundo
obtenemos
(7.10)
fórmulas que permiten calcular la dirección (a, d) del eje de sombra y g.
Por otra parte para calcular b tenemos
Teniendo en cuenta los valores
las relaciones (7.10) pueden transformarse en otras aproximadas muy precisas. En efecto, puesto que cos D sec D
cos (A - A) 1 dividiendo la segunda por la primera obtendremos
o también si suponemos cos D
cos D
(8.10)
La declinación d la podemos hallar aplicando una rotación R2(-D
(9.10)
y dividiendo la segunda por la primera haciendo antes cos (D - D
) a la identidad (6.10) con lo que queda:
) = 1
o también
(10.10)
Luego, con mucha aproximación Z(a, d) y G vendrán definidos por las relaciones
(11.10)
10.1.2 Distancia al eje del cono de sombra
Consideremos en la base de Bessel los vectores unitarios
, , (según x, y, z) y
FIG. 6.10hallemos sus componentes en una base ecuatorial. Evidentemente para el vector
es
(12.10)
Para hallar las componentes de
supongamos un vector unitario en la dirección del eje del mundo. es ortogonal a y a , es decir, tiene la dirección del producto vectorial :
(14.10)
El módulo del vector
dado por (13.10) es:
(15.10)
de donde
con lo cual
(16.10)
Las componentes de las obtendremos de
sustituyendo
(17.10)
Con ello tenemos
, , en función de a y d conocidos y cualquier vector puede ahora expresarse en esta base.
Sea
la posición geocéntrica de la Luna. En la base ecuatorial geocéntrica se tiene:
(18.10)
En la base de Bessel sera:
(20.10)
Por otra parte, si designamos por y la latitud geocéntrica y el radio vector correspondiente al lugar de observación y por θ el tiempo sidéreo local en él, en la base ecuatorial sera:
(21.10)
y en la base de Bessel teniendo en cuenta que las coordenadas ξ, η, ζ del observador se obtendrán de
(24.10)
siendo μ el ángulo horario de la dirección del eje de sombra para el meridiano dinámico y λD la longitud dinámica del lugar relacionada con la longitud geográfica por la expresiónλD = λ + 1.00274ΔT
con ΔT diferencia entre el T.D. y el T.U. (ver FIG. 7.10 apartado 4.10)
Conocidas las coordenadas rectilíneas geocéntricas (20.10) de la Luna y las del lugar de observación (23.10) en la base de Bessel, la distancia θ de dicho lugar al eje del cono de sombra vendrá dada por la relación (Fig. 8.10)
FIG. 8.10
(25.10)
con
(26.10)
Más adelante (10.1.5) veremos que el valor de P nos indicará en que punto del limbo solar tiene lugar el contacto (Fig. 9.10).
FIG. 9.10
10.1.3 Radios de los conos de sombra y penumbra
Hallaremos ahora los radios de los conos de sombra y penumbra en el plano fundamental y en el paralelo a éste por el lugar de observación. Designaremos con el subíndice 1 los elementos referentes al cono de penumbra y con el subíndice 2 los referentes al cono de sombra (Fig. 10.10).
FIG. 10.10
Sean V1 y V2 los vértices del cono de penumbra y sombra respectivamente; f1 y f2 los ángulos de las generatrices de los conos, de penumbra y sombra, con el eje de sombra; C1 y C2 las distancias de los vértices de los conos, de penumbra y sombra, respectivamente, al plano fundamental; δ = arc sen (k sen π0) es el semidiámetro aparente de la Luna donde π0 es la paralaje horizontal de la Luna y k una constante cuyo valor adoptado por la Unión Astronómica Internacional desde 1986 es k = 0.2725076 correspondiente al radio medio de la Luna tomando el ecuatorial de la Tierra como unidad, y H = 959
,63 el semidiámetro aparente del Sol. De la Fig. 10.10 se deduce:
(28.10)
Los ángulos f1 y f2 se hallan en los anuarios.
y recordando que G = g r
:
(32.10)
o también, agrupando:
(31.10)
En la misma figura 10.10 llamemos l al radio de los conos de sombra sobre el plano fundamental (l1 radio del cono de penumbra, l2 radio del cono de sombra) y L al radio de los conos sobre el plano paralelo al plano fundamental que pasa por el observador (Ll del cono de penumbra y L2 del de sombra). Se deduce:
(29.10)
Análogamente, para f2:
(33.10)
Por otra parte,
(34.10)o
(35.10)
10.1.4 Circunstancias de un eclipse para un lugar determinado
Antes del cálculo de las circunstancias de un eclipse para un lugar determinado observemos que las variaciones horarias x
, y y l de las coor denadas x, y y l se obtienen a partir de las diferencias entre los valores que figuran en las tablas de elementos generales o besselianos que se publican en los anuarios. Para calcular las variaciones horarias de ξ y η tendremos que derivar sus expresiones dadas en (23.10), quedando al tener en cuenta (24.10):
o también:
(36.10)
Para los valores y se toman sus variaciones horarias.
a) Principio y fin del eclipse
Observando una vez más la Fig. 10.10 deducimos:
Si
= L1 comienza o acaba un eclipse parcial
Si
= L2 pueden suceder dos casos:
a) ζ > c2 habrá eclipse total
b) ζ < c2 habrá tangencia interior
Podemos por tanto escribir que la condición general de principio y fin del eclipse será:
(38.10)
(41.10)
Consideremos en la base x,y con origen en el punto en que se proyecta el observador los siguientes vectores (Fig. 12.10)
(40.10)
Llamando T al instante del contacto y despreciando la variación de L durante el pequeño intervalo τ = T –T0, la ecuación (39.10) queda
(39.10)
En el entorno del tiempo en que esto se verifica, tomemos un tiempo T0 y sean x, y, ξ, η, las coordenadas de la Luna y del observador para esta época T0. Calculemos las variaciones horarias de u y v:
(42.10)
y también
(43.10)
siendo ψ el ángulo que forman
y .
De acuerdo con las relaciones que acabamos de exponer, las ecuaciones (41.10) se pueden escribir en forma vectorial
(44.10)
Multiplicando (44.10) vectorialmente por
, obtendremos:
Tomando módulos:
(45.10)
y dividiendo por n:
(46.10)
siendo Δ la distancia mínima del origen al vector
.
De (46.10) se deduce que
(47.10)
Si multiplicamos escalarmente (44.10) por
, obtendremos:
de donde:
Si
uu
+ vv = D
queda
y despejando τ:
para el principio
para el final
Puesto que L no se conoce, para calcular (47.10) y (48.10) partiremos de un valor aproximado que nos proporcionará unas épocas aproximadas. Obtenidas éstas, corrientemente debe aplicarse de nuevo el método (una o más veces) tomando dichas épocas como de partida en cada caso y efectuando les cálculos por separado.
b) Máxima fase del eclipse: Podemos calcular también el instante de la máxirna fase del eclipse, la cual tendrá lugar cuando la distancia aparente Luna-Sol sea mínima, condición que es equivalente a decir que L-
es máxima y despreciando la variación de L es lo mismo que decir que es mínima.
De (44.10) suponiendo que partimos del valor
= L, tenemos:
(49.10)
o también.
y observando la figura 13.10 vemos que será mínimo cuando alcance el valor Δ, con lo cual y serán perpendiculares, es decir:
FIG. 13.10
de donde:
(50.10)
Dicho valor (50.10) de τ nos dará, sumado a T0, la época de la máxima fase del eclipse.
c) Ángulo de posición de los puntos de contacto:
El ángulo de posición del punto en que la Luna encuentra el borde del Sol al comienzo del eclipse será (Fig. 12.10):
(51.10)
siendo
El ángulo de posición P lo tomaremos a partir del punto boreal B del Sol (punto más cercano al polo norte) hacia el este. Llamaremos vértice V del limbo al punto más alto del disco. Al ángulo de posición del punto de contacto respecto del
FIG. 14.10
vértice del limbo le designaremos por V (Fig. 14.10). Si C es el ángulo paraláctico en el Sol, podernos escribir
V = P- C (52.10)
Aplicando la segunda y tercera fórmulas de Bessel al triángulo PSZ, tendremos:
(53.10)
Suponiendo en las fórmulas (23.10) ρ = 1,
, las coordenadas del observador nos quedarán
(54.10)
que sustituidas en (53.10) nos darán:
(55.10)
de donde
(56.10)
con C tal que sen C tenga el mismo signo que ξ.
El ángulo paraláctico así deducido para el principio y el fin del eclipse, combinado con el correspondiente valor de P, nos suministra mediante (52.10) los respectivos ángulos de posición V de los contactos.
d) Grado de oscurecimiento: Llamaremos grado de oscurecimiento G en una época
T a la fracción de diámetro aparente del Sol que está cubierta por el disco lunar. Con mucha aproximación se tendrá (Fig.15.l0) (57.10)
siendo L1 y L2 los radios de la penumbra y de la sombra respectivamente y
la distancia del observador al eje de sombra (recordemos que L2 es negativo).
e) Magnitud del eclipse: En particular, llamaremos magnitud del eclipse al grado de oscurecimiento
FIG. 15.10
máximo, el cual tendrá lugar, evidentemente, en el instante de la máxima fase (
mínima):
f2, podemos escribir:
L1 + L2
l1 + l2 2 z tan f2(l1 - k) 2(L1 – k)
y
(59.10)
fórmula aproximada que sólo se aplica para los eclipses parciales.
10.1.5 Mapa del eclipse
En los Anuarios, junto a los elementos referentes a los eclipses de Sol que ocurren en el año, se incluyen mapas de los que pueden deducirse valores aproximados de las circunstancias para un lugar determinado. Veamos de una forma elemental cómo se construyen tales mapas.
Representemos la sombra proyectada sobre el plano fundamental, suponiendo la Tierra esférica y despreciando la refracción (Fig. 16.10). Sean H la intersección de la Tierra con el plano fundamental; C la intersección del cono de penumbra con dicho plano. Supongamos que reemplazamos el cono de penumbra por un cilindro de revolución que tiene el mismo círculo de base C en el plano fundamental. La proyección ortogonal sobre el plano fundamental de la curva intersección del cilindro de base C con la superficie de la Tierra es la circunferencia C (Fig. 16.10, a) cuya proyección cartográfica es una curva C1 (Fig. 16.10, b). Distinguiremos dos casos según que C y H sean secantes o C sea interior a H (C
Si C es interior a H la región desde la cual el eclipse es visible está limitada por la curva .
El conjunto de puntos de la Tierra desde los que se puede observar el eclipse parcial se obtiene determinando la envolvente de las curvas C1. Para la determinación de esta envolvente se ha de tener en cuenta el desplazamiento de la sombra en el plano fundamental (de oeste a este) y la rotación de la Tierra. La transformada de C es móvil y permanece constantemente tangente a dos paralelos terrestres.
El eclipse general comienza y termina en los instantes en que los círculos C y H son tangentes exteriores (recordar 37.10).
Supongamos C y H secantes y que los puntos de intersección A y B corresponden a la salida del Sol. Para un observador situado en A el eclipse termina en este instante; en efecto, la sombra deja este punto para dirigirse al este. En cambio, para un observador situado en B el eclipse empieza al orto ya que la sombra comienza a cubrirle.
Admitamos que el radio de C sea invariable y que su círculo se desplaza en el plano fundamental con movimiento rectilíneo y uniforme. En estas condiciones, C permanece tangente a dos rectas paralelas pasando por F y G. Un observador que estuviera quieto con relación a los ejes de coordenadas observaría el medio del eclipse y el máximo de su magnitud cuando el diámetro FG pasase por el lugar que ocupa dicho observador. Así pues, un observador situado en M vería el medio del eclipse al salir el Sol.
Teniendo en cuenta el desplazamiento de la sombra en el plano fundamental y la rotación de la Tierra se pueden determinar sobre el mapa los
lugares de los puntos A, B y M. Son las curvas siguientes (Fig. 17.10):
1.- Principio del eclipse al orto
2.- Máximo del eclipse al orto
3.- Fin del eclipse al orto
4.- Fin del eclipse al ocaso
5.- Máximo del eclipse al ocaso
6.- Principio del eclipse al ocaso
Para acabar con la determinación del dominio de visibilidad, hemos de trazar sus límites boreal y austral. Cuando en la mitad del eclipse general el círculo C es interior al H(Fig. 16.10), la envolvente de las curvas C1 se compone de dos curvas (7 y 8 de la
FIG. 17.10
Fig. 17.10) que difieren poco del lugar de los puntos F y G respectivamente. Si los círculos C y H son siempre secantes hay una sola de estas curvas (7 u 8) y los arcos 1, 3, 4 y 6 forman una sola curva con un punto doble, la cual con el límite boreal o austral delimita el dominio de visibilidad (Fig. 18.10). Hace falta añadir entonces el arco 9 de paralelo terrestre al cual la proyección cartográfica de H permanece tangente. Según que el polo P pertenezca o no al dominio de visibilidad el arco 9 se dispondrá según indica la Fig. 18.10. Entre este arco y los 3 y 6 hay una pequeña región en la cual el Sol se pone y sale eclipsado, es decir que el medio del eclipse tiene lugar por la noche.
FIG. 18.10
FIG 16.10
Si C y H son secantes, en un instante dado, la región desde la cual el eclipse es visible como eclipse parcial está limitada por una parte de la transformada C1 de C y la transformada A1B1 del arco AB de H.
en la Fig.a)).
10.2 Eclipses de Luna
El cálculo de un eclipse de Luna es análogo al de un eclipse de Sol, si bien el problema se simplifica por el hecho de que las circunstancias y los tiempos son los mismos para todos los lugares de la Tierra en los cuales la Luna es visible.
Cabe distinguir tres tipos de eclipses lunares:
Eclipse penumbral: tiene lugar cuando la Luna entra sólo en la penumbra de la Tierra (1 en Fig. 19.10).
FIG. 19.10
Eclipse parcial: tiene lugar cuando la Luna está parcialmente incluida en el cono de sombra (2 en Fig.19.l0).
Eclipse total : tiene lugar cuando la Luna entra totalmente en el cono de sombra (3 en Fig. 19.10).
10.2.1 Posibilidad de los eclipses de Luna
Para estudiar la posibilidad de un eclipse de Luna supondremos la Tierra esférica de radio el correspondiente a un lugar de latitud
= 45º. El valor de la paralaje de la Luna será con estas hipótesis
π1 = 0.998340 π (60.10)
deducido de las expresiones (recordar 2.l.l):
tomando en ellas y = 45º.
Supongamos la Luna a una distancia r. Tracemos una esfera de centro en la Tierra y radio r (Fig.20.l0). De la Fig. 20.10 se deduce
Pero,
V1T + SV1 = ST = r
(61.10)
Para calcular los valores de los ángulos f1 y f2 hacemos
por tanto:
Llamando
nos queda
f1 = s
es decir
f2 = s
+ π (62.10)
Análogamente para f2 obtendremos:
- π (63.10)
± π tendremos
(64.10)
Sin embargo, no se toman estos valores debido al efecto que produce la atmósfera de la Tierra de incrementar el radio aparente de la sombra de un 20%, siendo
(65.10)
donde γ1 y γ2 están expresados en las mismas unidades que las paralajes y el semidiámetro aparente del Sol (normalmente en segundos de arco).
La distancia angular L entre el centro de la Luna y el eje del cono de sombra será (Fig. 20.10):
Al comienzo y fin del eclipse penumbral:
L1 = γ1 + s = 1.02 (π1 + s
+ π) + s (66.10)
Al comienzo y fin del eclipse parcial:
L2 = γ2 + s = 1.02 (π1 - s
+ π) + s (67.10)
Al comienzo y fin del eclipse total:
L3 = γ2 - s = 1.02 (π1 - s
+ π) - s (68.10)
Hemos visto (4.10) que la distancia mínima del centro de la Luna al eje del cono de sombra es
Σ = β cos I
donde aquí β será la latitud del centro de la Luna en la oposición (Luna llena) e
la inclinación de la órbita relativa lunar que viene dada por (3.10)
siendo I la inclinación de la órbita lunar, y λ la relación entre los movimientos en longitud de la Luna y del Sol en el entorno de la oposicion.
Para que tenga lugar un eclipse penumbral de Luna debe ser
Σ < L1
es decir:
β cos I
< 1.02 (π1 + s + π) + s (69. 10)
Para que el eclipse sea parcial se ha de verificar:
Σ < L2
es decir:
β cos I
< 1.02 (π1 - s + π) + s (70.10)
Finalmente, para que se produzca eclipse total, ha de ser
Σ < L3
es decir:
β cos I
< 1.02 (π1 - s + π) - s (71.10)
Si en (70.10) tomamos el valor medio de cos
= 0.995 o lo que es lo mismo de sec = 1.00472, π1 = π y aplicamos valores medios, resulta:
0.00472 [1.02 (π - s
+ π) + s] = 16
y por tanto:
β <(1 + 0.00472) [l.02 (π - s
, s y el máximo de s, el eclipse parcial de Luna será
seguro para β < 53
26
Sustituyendo en cambio los valores máximos de π, π
, s y el mínimo de s, el eclipse parcial de Luna será
imposible para β > 63
46
siendo dudoso entre dichos límites.
Análogamente, tomando el valor medio de cos I
38 no hay eclipse
si 1º 36
38 > β >1º 26 19 el eclipse penumbral es posible
si 1º 26
19 > β > lº 03 46 el eclipse penumbral es seguro (parcial imposible)
si 1º 03
46 > β > 0º 53 26 el eclipse penumbral es seguro
(parcial posible)
si β <0º 23
48 el eclipse es total seguro.
10.2.2 Cálculo de las circunstancias de un eclipse de Luna
Para hallar la época T en que tiene lugar una determinada fase de un eclipse de Luna pueden utilizarse las ecuaciones fundamentales de la teoría de eclipses, bastando permutar la Luna y la Tierra en dichas ecuaciones y considerar un eclipse de Luna como un eclipse de Sol observado desde la Luna. Pero, dado que es suficiente que estos cálculos sean aproximados se suele sustituir la teoría general por una teoría mucho más simple. Supondremos el observador en el centro de la Tierra ya que el efecto de paralaje no modifica de una manera sensible el aspecto de un eclipse ni la época de las distintas fases.
FIG. 21.10
Sean (Fig. 21.10) P el polo norte; S la posición aparente geocéntrica del centro de la sombra de la Tierra (opuesta al Sol); L el centro de la Luna vista desde el centro de la Tierra; Q el ángulo en el Sol; A y D la ascensión recta y la declinación de la Luna; A
– 180º y D la ascensión recta y la declinación del Sol; a y d la ascensión recta y la declinación del punto S (a = A + 12h, d = - D);
= LS.
Con ello en el triángulo PSL es:
PS = 90º + D
PL = 90º - D;
P = A - A
= 90º - d ;
- 180 = A - a
De donde
(73. 10)
Se trata ahora de determinar para qué épocas se satisfacen estas relaciones (73.10) cuando en ellas sustituimos
por los valores correspondientes a las distintas fases del eclipse de Luna. Puesto que sería supérfluo efectuar un cálculo preciso, dada la poca exactitud con que se pueden observar los contactos, bastará considerar que siendo
del orden de lº podemos escribir dichas (73.10) en la forma
(74.10)
Las coordenadas x, y referidas al plano de Bessel seran:
(75. 10)
donde
= ¼ (A - a) sen 2d sen (A - a)
obtenida suponiendo que A - a es muy pequeño y recordando la fórmula trigonométrica cos (A - a) = 1 - 2 sen2 .
Los elementos x e y vienen expresados en segundos de arco. La cantidad
es pequeña y puede a menudo ser ignorada, aunque aparezca en el cálculo para las efemérides.
Calculadas x e y para varias horas sucesivas anteriores y posteriores a la época de la Luna llena, y deducidas de ellas sus variaciones horarias x
, y, si x0, y0 denotan los valores de x e y para un instante T0 cerca de la oposición, la época de contacto será
T = T0 + τ
y las coordenadas
(76.10)
FIG. 22.10
En el instante de los contactos
= L y por tanto
L2 = x2 + y2 con L = L1, L2, L3
dados por (66.10), (67.l0), (68.l0) respectivamente.
Por otra parte (Fig. 22.10)
(77.10)
Multiplicando (77.10) vectorialmente por n, obtenemos
Aplicando módulos y teniendo en cuenta la teoría general explicada en 10.1 tenemos
de donde
(78.10)
Multiplicando (77.10) escalarmente por n, obtenemos
o también
L n cos ψ = (x0 x
+ y0 y) + n2 τ
y haciendo
x0 x
+ y0 y = D
resulta
(79.10)
debiendo tomarse cos ψ con signo negativo o positivo según se trate del primer o último contactos.
(80.10)
Para que (80.10) tenga solución real debe ser L2 > Δ2.
a) Máxima fase del eclipse: En el momento de máximo oscurecimiento o fase máxima se verificará
L = Δ
es decir , el máximo del eclipse tendrá lugar en la época para la cual
b) Grado de oscurecimiento: El grado de oscurecimiento es
c) Magnitud del eclipse: Teniendo en cuenta que llamamos magnitud del eclipse a la distancia del borde eclipsado al borde de la sombra en la mitad del eclipse (fase máxima), tomando el diámetro de la Luna como unidad es
d) Angulo de posición del punto de contacto: El ángulo de posición del punto de contacto sobre el limbo lunar contado desde el norte hacia el oeste es, según la Fig. 21.10:
P = Q + 180º
siendo tan Q = con el signo de sen Q igual que el signo de x.
Si consideramos como polo de un hemisferio terrestre el lugar que tiene la Luna en su cenit todos los habitantes de este hemisferio verán el eclipse y los del hemisferio opuesto no lo veran. Por consiguiente, para determinar las regiones de la Tierra desde las cuales se puede observar el fenómeno, se determinarán las coordenadas geográficas de los lugares que tienen la Luna en su cenit en el momento de cada una de las principales fases del eclipse.
10.2.3 Efecto de la atmósfera terrestre
Es fácil calcular que la distancia del vértice O del cono de sombra geométrico determinado por las tangentes exteriores al Sol y la Tierra al centro de la Tierra es de 216 radios terrestres. Pero, al penetrar en la atmósfera terrestre, un rayo luminoso AB (Fig. 23.10)
FIG. 23.10
tangente al Sol y a la Tierra se desvía por efecto de la refracción, acercándose a la vertical TB hasta que llega al punto B y alejándose de la misma vertical en su trayecto desde el punto B hasta que sale de la atmósfera; su desviación total es, por
consiguiente, el doble de la desviación horizontal, es decir 2 x 35
= 70, lo cual hace que el vértice O del cono de sombra se halle a una distancia del centro de la Tierra de tan sólo 40 radios terrestres. Por tanto, dicho cono no puede alcanzar la Luna cuya distancia a la Tierra oscila entre 56 y 64 radios terrestres. Luego, en un eclipse total de Luna, ésta quedará alumbrada únicamente por los rayos que habrán atravesado nuestra atmósfera y cuya intensidad es, naturalmente, mucho menor que la de los rayos directos, pero suficiente para que el disco de la Luna no desaparezca por completo durante un eclipse total. En la mayoría de los casos el disco lunar presenta una coloración rojo-oscura con regiones amarillentas o azuladas mientras que otras veces aparece con un tinte ceniciento debido a la humedad de la atmósfera.
10.3 Ocultaciones de estrellas por la Luna
De acuerdo con la definición de eclipse dada al principio del capitulo, designamos por ocultación de una estrella por la Luna el fenómeno por el cual la estrella se hace invisible al pasar aparentemente por detrás del disco lunar.
Las fases de una ocultación son la inmersión y la emersión. La inmersión es la desaparición de la estrella por el borde lunar y la emersión es la reaparición de la misma. Cuando la Luna es creciente las inmersiones se producen por el borde oscuro, que se percibe por la luz cinérea. El observador estima el tiempo de contacto con seguridad. La reaparición por el borde iluminado por el Sol, salvo en casos de estrellas muy brillantes, no se aprecia. Cuando la Luna decrece las inmersiones se producen por el borde claro y es difícil apreciarlas si no se ha calculado muy bien el ángulo de posición correspondiente.
10.3.1 Predicción de ocultaciones para un lugar determinado
La teoría de las ocultaciones de estrellas por la Luna es un caso particular de la de los eclipses de Sol sustituyendo el Sol por la estrella y tomando su paralaje y semidiámetro iguales a cero, con lo cual (31.10) nos dará f – 0º; es decir, f1 = f2 = 0º lo que significa que en lugar de dos conos de sombra tendremos un cilindro cuyo diámetro será el diámetro de la Luna. El punto Z (dirección del eje de dicho cilindro) será la posición de la estrella vista desde la Luna, que coincide prácticamente con la posición de la estrella vista desde el punto de observación a causa de la gran distancia que nos separa de ella. Evidentemente en un lugar de la Tierra habrá ocultación si la distancia de dicho lugar al eje del cono de sombra es menor que el radio de sombra.
La posición de Z vendrá dada, por tanto, por
a = A
d = D
siendo (A
, D) las coordenadas ecuatoriales de la estrella, y además, el radio del cilindro sera
L = l = RL (radio medio de la Luna)
Las coordenadas de la Luna obtenidas en (20.10) seran:
(81.10)
siendo r = si se toma como unidad el radio de la Tierra y r = si tomamos como unidad el radio de la Luna (k = RL / RT ).
Sustituyendo este último valor de r en (81.10) obtenemos:
(82. 10)
Si hacemos cos (A - A
) = [1 - sen2 (A - A)]½ ≈ 1 - sen2 (A - A) y sustituimos en (82.10) nos queda
(83.10)
Las expresiones (83.10) pueden escribirse en forma aproximada haciendo
k sen π = = sen s = s
y
sen (A - A
) = A - A
quedando
(84.10)
El hecho de que en la expresión de x aparezca el factor 15 es debido a que el semidiámetro s se da en segundos de arco y la diferencia de ascensiones rectas A - A
(85. 10)
siendo h el ángulo horario de la estrella.
Los ángulos de posición que contábamos sobre el Sol ahora deberán contarse sobre la Luna lo cual implica sumar 180º a los valores obtenidos en la teoría de eclipse de Sol (Fig. 24.10):
V
= V + 180º
χ = P + 180º (86.10)
La distancia
del observador al eje del cilindro de sombra es igual a la distancia del punto O
, proyección ortogonal de la posición del observador sobre el plano fundamental, al punto L
FIG. 24.10
intersección del eje de sombra con dicho plano (Fig.8.l0). Es decir:
(87. 10)
Pero, en la teoría de ocultaciones es
x – ξ = f y – η = g
de donde
(88.10)
En el instante de la inmersión, suponiendo la Luna esférica, la posición del observador correcta y las efemérides correctas, es
= RL y tomando el radio de la Luna como unidad (RL = 1), tenemos:
f2 + g2 = 1 (89.10)
y según (86.10)
(90.10)
Para calcular las épocas de los contactos (inmersión y emersión) llamemos T0 a una época aproximada de la ocultación, que puede ser el instante de la conjunción en ascensión recta de la Luna con la estrella deducido de las efemérides de la Luna, y τ la diferencia entre esta época y la real Tc (seguimos de momento suponiendo la Luna esférica). Se verifica:
Tc = T0 + τ (91.10)
Si (x
, y), (ξ, η) son las variaciones horarias de las dos primeras coordenadas besselianas (x, y), (ξ, η) de la Luna y del observador respectivamente en la época T0, las coordenadas en la época Tc (91.10) serán:
(x + x
τ, y + yτ) y (ξ + ξτ, η + ητ) (92.10)
x
(93. 10)
donde μ - λ = (θ - A
) = h y por tanto μ = h
Tomando
h
= 1.00273791 = 0.262516
podremos escribir (93.10) en la forma:
(94.10)
Consideremos ahora los vectores (Fig.25.10):
Para la época
Tc = T + τ tenemos:
(95.10)
con . Al igual que en la teoría de eclipses el ángulo ψ queda indeterminado.
De (48.10) deducimos
(96.10)
con D = f f
+ g g, tomándose cos ψ >O para las emersiones y cos ψ < O para las inmersiones. Habremos obtenido pues Tci = T0 + τi, Tce = T0 + τe. Como en el cálculo de las circunstancias de un eclipse de Sol, para una segunda aproximación se calcularán las épocas de inmersión y emersión por separado a partir de las épocas aproximadas anteriormente obtenidas.
10.3.3 Reducción de observaciones
La información que nos da una ocultación proporciona una relación entre la posición de la estrella, el limbo lunar y la posición del observador en el instante de la ocultación. Puede hacerse una reducción adecuada para eliminar el efecto de la posición del observador, hallando el exceso de distancia aparente de la estrella al centro de la Luna respecto al valor tomado del semidiámetro de la Luna supuesta esférica
FIG 26.10
Sean L el centro de la Luna, P la posición aparente de la estrella y O la posición del observador en un instante dado. Sea además Δσ la distancia angular aparente de la estrella al limbo lunar (Fig. 26.10). En dicho instante, la proyección sobre el plano fundamental de la distancia del observador al centro de la Luna según (87.10) es
= [(x - ξ)2 + (y - η)2]½
La proyección de la distancia del observador al limbo lunar, tomando el radio de la Luna como unidad, será, por consiguiente
PR = [(x - ξ)2 + (y - η)2] ½ - 1 (97.10)
que corresponde a la distancia angular Δσ.
Para hallar dicha distancia angular, dada la pequeñez de los ángulos, según la misma figura 26.10 podemos escribir:
y por tanto, según (97.10)
(98.10)
pero
y por consiguiente:
y recordando el significado de f y g (f = x – ξ, g = y - η), queda finalmente
(99. 10)
El proceso que se sigue para el cálculo del tiempo real de la ocultación, suponiendo la Luna esférica, es el siguiente: A partir de una época aproximada T0 se obtiene un valor de Δσ y un valor de τ que nos dará la época Tc1 = T0 + τ más aproximada que T0. Tomando esta época Tc1 como inicial, procederemos a calcular otra vez Δσ y τ, de modo que la época de la ocultación será ahora Tc2 = Tc1 + τ1, siendo T1 la última τobtenida. Cuando siguiendo este proceso iterativo lleguemos a una Δσ nula, habremos obtenido la época real de la ocultación, supuesta la Luna esférica. Pero, la Luna no es una esfera perfecta pues su superficie presenta irregularidades (montañas, valles, etc.). Mediante las tablas de Watts conocemos el relieve lunar en el punto de contacto, en función de las libraciones en longitud y latitud (Apartado 9.1) y del ángulo de posición del punto de contacto cuyo valor es (Fig. 27.10)
П = χ – C (100.10)
FIG. 27.10
donde C es el ángulo de posición topocéntrico y χ el ángulo de inmersión o emersión con respecto al centro de la Luna medido del Norte hacia el este (recordar 86.10).
Las cartas de Watts nos dan, en décimas de segundo de arco, la diferencia de relieve, en el punto de contacto, entre el borde de la Luna supuesta esférica y el borde real (Fig. 28.10).
FIG. 28.10
La distancia angular es positiva o negativa según que la curva correspondiente en las cartas de Watts sea continua o de trazos, lo cual indica que el borde lunar presenta una montaña o un cráter, respectivamente.
La distancia entre la estrella y el borde real de la Luna será entonces
En general, será distinto de cero, lo cual se deberá a diversas causas:
- Mala determinación de la posición de la Luna (A, D, π)
- Mala determinación de la posición del observador (, λ, a)
- Mala determinación de k (la posición de la estrella se supone, en general, bien determinada).
Llamemos
F = (101.10)
siendo
= F(A, D, π, k, , λ, a) (102.10)
Teniendo en cuenta las causas de error citadas podremos escribir:
(103. 10)
teniendo para cada observación una ecuación de este tipo.
Como que las incógnitas son siete (ΔA, ΔD, Δπ, Δk, Δ, Δλ, Δa) teóricamente nos bastarán siete observaciones para resolver el problema. Sin embargo, en la práctica se parte de muchas más observaciones y se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido por mínimos cuadrados.
Para simplificar el cálculo se suele suponer que no hay error en la determinación de la posición de la Luna con lo cual la ecuación (103.10) queda reducida a:
(104. 10)
y análogamente para las demás derivadas.
Así pues, partiendo de (99.10) y derivando respecto a λ, y a, obtendremos:
(105.10)
y teniendo en cuenta que = 1 y generalizando a las otras variables, podemos escribir:
(106.10)
Ahora bien, teniendo en cuenta que f = x - ξ y g = y - η, y que x e y no dependen de (λ, , a) obtendremos a partir de las expresiones (106.10):
(107.10)
Derivando respecto a λ,
y a las expresiones (85.10) obtenemos:
(108.10)
y sustituyendo en las (107.10):
(109.10)
0 = F + πρ [f sen sen h - g(cos cos D + sen sen D cos h)] Δ +
πρ cos
(f cos h + g sen D sen h) Δλ – Kπ ()Δa (110.10)
Si quisiéramos tener en cuenta la corrección a la posición de la Luna, deberíamos añadir a la ecuación (110.10) dos términos más: uno en ΔL y otro en ΔB que expresarían los errores en la longitud y la latitud orbitales de la Luna.
FIG. 29.10
De la Fig. 29.10 se obtiene
Δσ = cos (χ – V) ΔL + sen (χ – V) ΔB (111.10)
con
tan V ≡≡ tan N =
Si despreciamos el movimiento del observador, tendremos
f
= x g= y
con lo que
tan V =
Los términos del segundo miembro de la ecuación (111.10) son los términos a añadir a la ecuación (110.10).
10.3.4 Curvas límites
Estudiaremos en este apartado la zona de la superficie terrestre desde la cual es visible una determinada ocultación, hallando los paralelos de latitud que limitan dicha zona de visibilidad.
Como en el caso de los eclipses de Sol, los vectores
y pueden expresarse por sus componentes en la forma:
(112.10)
Para un observador situado en un punto de la línea límite que tratamos de encontrar, la distancia mínima a que se encontrará la estrella del centro de la Luna deberá ser igual al radio de la Luna (recordemos que en unidades del radio ecuatorial terrestre es k = 0.2725026). En otras palabras, en la expresión (95.10) tendremos
(x - ξ) cos N - (y - η) sen N = ± k (113.10)
Si queremos determinar los paralelos de forma aproximada podemos despreciar las variaciones de ξ y η frente a las de x e y, con lo que el valor de N vendrá dado por
tan N = (114.10)
Si llamamos x0 e y0 a los valores de x e y en el instante inicial T0, se verificará
(x0 - ξ) cos N - (y0 - η) sen N = ± k (115.10)
Por otra parte, si consideramos, para simplificar, la Tierra esférica, las ecuaciones (23.10), haciendo ρ = 1 y = se escribirán:
(116.10)
donde ξ, η, ζ vienen expresadas en radios terrestres.
Si multiplicamos la segunda de (116.10) por cos D
, la tercera por sen D y sumamos, obtenemos
sen = η cos D + ζ sen D (117.10)
cumpliéndose
FIG. 30.10
Para ello introduciremos un cambio de ejes de coordenadas (Fig. 30.10). Tomaremos como nuevo eje y (que llamaremos y
) la dirección del movimiento relativo de la Luna y el observador, o sea la dirección de
. Llamemos -a y b a las componentes de en esta nueva base:
(118. 10)
Para pasar de la base x
es decir:
, y a la x, y aplicaremos la matriz R3(N) con lo cual
, xl con x1, opuesta a x e y y z los mismos ejes de antes (Fig. 31.10). Tomemos los elementos auxiliares γ y є definidos por
a = cos γ
b = sen γ cos є (122.10)
ζ = sen γ sen є
FIG. 31.10
Las componentes en esta base del vector de posición del observador son:
(123.10)
y las coordenadas esféricas del observador son (є, γ) con sen γ > 0 (ver Fig. 31.10).
Sustituyendo en (117.10) la expresión de η de (119.10), obtenemos
sen = (a sen N + b cos N) cos D+ ξ sen D (124.10)
y utilizando (122.10)
sen = cos γ sen N cos D + sen γ cos є cos N cos D + sen γ sen є sen D (125.10)
e introduciendo ahora los ángulos auxiliares β y λ (Fig. 32.10) definidos por
sen N cos D
= sen β
cos N cos D
= cos β cos λ
sen D
sen = sen β cos γ + cos β sen γ cos (λ - є) (127.10)
Para ver el significado de los ángulos β y λ supongamos que en la figura 32.10 P es el polo norte terrestre y el plano determinado por
En (127.10) obtendremos el valor máximo de cuando sea cos (λ -є) = 1 o sea cuando λ = є en cuyo caso
y es el plano ecuatorial. Es fácil ver que dichos ángulos representan una longitud y una latitud de P. En efecto, aplicando al triángulo esférico P Y X ’1 (Fig. 32.l0,b) rectángulo en Y las fórmulas de la trigonometría esférica, se obtienen sin dificultad las expresiones (126.10).
y obtendremos el valor mínimo de cuando cos (λ - є) = - 1 o sea λ - є = 180º, con lo cual
sen M = sen (β + γ)
sen m = sen (β - γ)
Es decir, el límite norte vendrá determinado por
= β + γ (128.10)
y el límite sur por
> 0, luego D > O (pues cos β > 0).
La expresión (128.10) nos da, pues, el límite norte de visibilidad sólo cuando la declinación de la estrella es positiva (D
> 0).
Para el límite sur, análogamente, la expresión (129.10) da el límite sur de visibilidad sólo cuando la declinación de la estrella es negativa (D
< 0).
Para cada uno de los dos casos el segundo límite de visibilidad será, evidentemente, uno de los dos puntos en los cuales las curvas límites generales norte y sur tocan a las curvas límites correspondientes al orto y ocaso, puntos en los cuales ζ = 0 y, por tanto, sen є = 0, cos є ± 1 que reducen la fórmula (125.10) a
sen
= sen (N ± γ) cos D
Si cos N es positivo, el signo superior de esta ecuación nos dará el límite norte para el caso en que la declinación de la estrella sea negativa y el signo inferior nos dará el límite sur para estrellas de declinación positiva. Recíprocamente, si cos N es negativo, el signo superior nos dará el límite sur para declinaciones positivas y el inferior nos dará el límite norte para declinaciones negativas.
10.3.5 Ocultaciones rasantes
Cuando en una ocultación de una estrella por la Luna el tiempo transcurrido entre la inmersión y la emersión estelar es inferior a 10 minutos, hecho que se produce si la estrella se oculta por una zona próxima a los polos norte o sur lunares, se dice entonces que la ocultación es rasante. En este caso, puede ocurrir que el fenómeno conste de varias inmersiones y varias emersiones debidas al relieve lunar en dicha zona.
Una ocultación rasante puede ser observada, en principio, desde un punto situado sobre los paralelos de latitud límites ya que desde tales puntos la trayectoria aparente de la estrella se observa tangente al limbo lunar. En todo caso, dicho fenómeno será visible a lo largo de una línea, denominada línea límite (norte o sur) que, debido a la variación de la declinación de la Luna, no coincidirá con el paralelo de latitud límite (norte o sur).
Recordemos que en el apartado anterior los paralelos límites han sido calculados en forma aproximada suponiendo la Tierra esférica. En el caso que nos ocupa deberemos calcular con precisión la posición de la línea límite, lugar geométrico de los puntos de la superficie terrestre desde los cuales se observa la trayectoria de la estrella tangente al limbo medio lunar. Para ello, partiremos del valor aproximado de la latitud máxima o mínima (según se quiera calcular la línea límite norte o sur) obtenida en 10.3.4 y calcularemos, para una longitud geodésica determinada, el valor exacto de la latitud de la línea límite.
Como en el cálculo de una ocultación normal (llamada también ocultación total en contraposición a la rasante) tomaremos como tiempo inicial aproximado el tiempo T0 de conjunción en ascensión recta de la estrella con el centro de la Luna. Para este instante inicial, calcularemos las coordenadas besselianas (x, y) del centro de la Luna en unidades del radio ecuatorial terrestre (81.10) y el ángulo horario hE = θ + A
de la estrella a partir de
hE = θ0 + 1.00273791 T0 – λ - A
siendo θ0 el tiempo sidéreo en Greenwich a 0h de T.U. Las coordenadas del observador (ξ, η) se obtendrán de las ecuaciones (85.10) pero tomando como unidad el radio ecuatorial terrestre. Los valores de ρ sen
(130.10)
donde S y C son funciones de la latitud astronómica y H la altitud reducida del lugar (ver apartado 2.1.1). Haciendo H = 0 se obtendrá la curva límite al nivel del mar.
Las variaciones horarias x
y ρcos vendrán dados por las fórmulas
e y de las coordenadas x e y de la Luna se calculan con suficiente precisión hallando los valores de dichas coordenadas lunares para los instantes T0 + 10m y T0 – 10m y multiplicando por 3 la diferencia entre los mismos. Los valores de x
e y se toman como constantes en todo el proceso de cálculo.
Las variaciones horarias ξ
y η de las coordenadas ξ y η del observador se obtienen derivando respecto al tiempo las relaciones (85.10) expresadas en radios ecuatoriales terrestres:
(131.10)
donde hE
Introduciendo los elementos auxiliares f, g, f
es la variación horaria de la estrella que, en radianes por hora vale
, g que hemos utilizado anteriormente, la fórmula (95.10) nos proporciona el valor de sen ψ = Δ que representa la mínima distancia entre la trayectoria aparente del centro de la Luna y el observador, tomando como unidad el radio de la Luna.
Esta distancia Δ deberá ser igual al radio de la Luna (unidad en este caso) para que en el lugar de latitud , la ocultación sea rasante, es decir, la trayectoria aparente de la estrella sea tangente al limbo medio de la Luna. Si no fuera así (Δ ≠ 1), deberíamos efectuar la corrección correspondiente a la latitud del punto de observación. Dicho de otro modo, deberíamos conocer la variación de Δ con
.
En general, la variación de Δ con respecto a la posición del observador será debida a variaciones en la longitud, la latitud y la altitud del punto de observación.
En nuestro caso tomamos una longitud dada, constante, y calculamos la curva límite para H = 0. Por tanto,
(134. 10)
derivándolas con respecto a
se obtiene
que se puede escribir también de la forma:
(135. 10)
Teniendo en cuenta (130.10) y que H = 0 es
ξ = C cos sen hE
y por tanto, serà:
δξ = -C sensen hE δ+ cos sen hE δC
o sea
δξ = (C3 e2 cos2
- C) sen sen hE δ (136. 10)
De (134.10) se deduce:
sen hE δ (138.10)
De η = S sen
cos D δS + S cos cos D δ - cos sen D cos hE δC +
+ C sen sen D cos hE δ
y sustituyendo los valores encontrados de δS y δC:
δ η = (S C2 e2 sen2
+ S) cos cos D δ +
+ (C – C3 e2 cos2
resulta:
δ η = SC2 (cos
Derivando la fórmula (95.10) respecto a tendremos:
cos D + sen sen D cos hE) δ (140.10)
q = [f (cos cos D + sen sen D cos hE) + g sen sen hE] δ (142. 10)
fórmula que proporciona la variación de Δ con la latitud. Si hacemos δ = lº, obtendremos la variación de Δ por grado de variación de .
La corrección que deberá hacerse a la latitud será entonces
(143.10)
donde Δ0 = 1 si buscamos el límite norte y Δ0 = -1 si buscamos el limite sur. En efecto, si se trata de un límite norte, Δ = sen ψ es positivo y por tanto 1 - Δ representa la máxima distancia de la estrella al limbo lunar norte; luego dividiendo esta máxima distancia por la variación q de Δ con la latitud, tendremos efectivamente la corrección a aplicar a
. Si, en cambio, se trata de un límite sur, Δ es negativo y (-1 - Δ) representará asimismo la máxima distancia de la estrella al limbo lunar sur y, como antes, al dividirlo por q tendremos cómo debe variar
para que desde el nuevo punto se vea la trayectoria de la etrella tangente a dicho limbo.
En cuanto a la variación en el tiempo, utilizaremos la expresión (96.10) que escribiremos en la forma
(144.10)
Pero, en las proximidades del punto de contacto de una ocultación rasante, el ángulo ψ es aproximadamente igual a 90º, por lo que puede despreciarse el primer término de (144.10) y tomar simplemente
Con los nuevos valores encontrados de la latitud ( + Δ) y del tiempo (T0 + τ) puede repetirse el proceso tomando dichos valores como aproximados, llegándose a valores más exactos de
y T.
El ángulo de posición χ del punto en que se produce la ocultación rasante se calcula, una vez efectuada la última iteración, mediante la fórmula (90.10).
Una vez efectuado el cálculo de la latitud que corresponde a una cierta longitud λ, se repiten los cálculos para longitudes distintas de la anterior obteniendo sucesivamente los distintos puntos de la línea límite (al nivel del mar).
10.3.6 Observación de ocultaciones rasantes
Cuando uno de los paralelos de latitud que limitan la zona desde la que es visible una ocultación de una estrella por la Luna pasa cerca de nuestra estación, se procede al cálculo preciso de la posición de la línea límite desde la cual la ocultación será rasante.
Una de las ventajas de la observación de ocultaciones rasantes es que puede ser efectuada con telescopios de poca abertura. Ello, no obstante, obliga a una serie de restricciones a la hora de realizar una observación. Por ejemplo, debe tenerse en cuenta la magnitud de la estrella y, sobre todo, si la ocultación se produce por el borde oscuro o el iluminado de la Luna, para lo cual debe calcularse el ángulo de posición del cuerno iluminado y compararlo con el ángulo de posición de la rasante, teniendo en cuenta la fase de la Luna (creciente o decreciente).
Una vez efectuada la predicción se procede a representar sobre un mapa, a la mayor escala posible, los distintos puntos de la línea límite, que, como hemos dicho, está calculada para el nivel del mar. En consecuencia, deberá corregirse para obtenerla sobre la superficie topográfica. Para ello se ve que (Fig. 33.10) en un lugar A, al nivel del mar, se observa el mismo fenómeno que en el lugar B, de altitud a. Por lo tanto, la línea límite habrá que desplazarla en la dirección del acimut de la Luna una distancia
b = a cot h
donde h es la altura de la estrella (o de la Luna).
FIG. 33.10
Hecho esto, se procede a trazar el perfil previsto de la zona desde la que se observa la ocultación, utilizando para ello la obra “The Marginal Zone of the Moon” de C.B. Watts (llamada cartas de Watts). Con este fin se calcula el ángulo de posición П del punto del limbo lunar por el que empieza la ocultación referido al eje de rotación de la Luna, a partir de los datos que proporcionan los Anuarios de las libraciones geocéntricas en longitud l0 y en latitud b0 y del ángulo de posición C0, o bien por cálculo directo empleando las fórmulas que hemos visto en los apartados anteriores.
A partir de l0, b0 y C0 se calculan l, b y C (valores topocéntricos) utilizando las expresiones dadas en 9.1.3. El ángulo П se obtendrá restando C de χ (recordar (100.10).
Con los datos П, l, b se hallan las correcciones por limbo correspondientes a ángulos de posición cada 0º.2 a partir del П hallado, que, llevados a escala conveniente como elevaciones o depresiones (respecto al limbo medio) según su signo, proporcionan el perfil previsto de dicha zona. Normalmente se dibujan 10º de limbo, centrados en el punto de tangencia (П) de la rasante.
Se traza el contorno del limbo medio representándolo por un arco de cosenoide. El argumento horizontal es el ángulo de posición axial, generalmente a escala 1º : 2.5 cm. El argumento vertical es la corrección de limbo, ampliada a escala 1
: 2.5 cm. Trazado así el limbo medio, la trayectoria aparente de la estrella será una línea recta tangente al limbo lunar.
La observación de una ocultación rasante adquiere importancia cuando se dispone de varios equipos establecidos a distintas distancias de la línea límite. Según cual sea la distancia del punto de observación a la línea límite, la trayectoria aparente de la estrella cortará al perfil previsto a una u otra distancia de la trayectoria tangente al limbo medio. Los puntos de observación deben elegirse teniendo en cuenta el perfil previsto en cada caso. Para ello, se eligen sobre el mismo, las trayectorias aparentes que se pretende ver y se mide su distancia Δ a la trayectoria tangente (en segundos de arco). Entonces, para observar estas trayectorias, deberemos desplazarnos sobre la línea límite, una distancia que nos vendrá determinada por el valor de q (142.10) pues su inversa nos da la variación de latitud que deberemos efectuar correspondiente a una variación Δ de distancia de la Luna. Si se toma esta distancia igual a 1
(en radios lunares rL sen 1/RL) obtendremos la variación de latitud en grados, fácilmente transformable en metros o en kilómetros.
10.3.7 Reducción de observaciones rasantes
Los resultados de la observación de una ocultación rasante son únicamente los tiempos de contacto registrados desde los distintos puntos de observacion.
Conocida la posición de los puntos de observación se efectua la reducción de los puntos de contacto calculando para cada tiempo de contacto el ángulo de posición χ y la separación Δσ respecto del limbo medio (ecuaciones (90.10) y (99.10) respectivamente). Representando los contactos como puntos sobre el limbo medio, estos puntos deberían coincidir sobre el perfil previsto. En caso contrario, puede estudiarse cual debe ser la corrección al ángulo de posición П o a la separación Δσw correspondiente al perfil previsto para mejorar la coincidencia de éste con los contactos observados.
La corrección en ángulo de posición es el llamado H.P.C. (Horizontal Profile Correction) -bien estudiado- que nos corrige el argumento de entrada П de las cartas de Watts. Morrison asigna un valor promedio de -0º.25 como corrección al ángulo de posición П de las cartas de Watts, obtenido a partir de la observación de muchas ocultaciones rasantes.
La corrección a la separación Δσw es el llamado V.P.C. (Vertical Profile Correction). Este V.P.C. no tiene un valor definido, sinó que depende de la zona de la Luna en que se produzca la ocultación rasante. La existencia de este V.P.C. condiciona la localización de la línea límite, por lo cual se acostumbra a incluir su efecto en las predicciones tomando para ello un V.P.C. previsto, deducido de anteriores observaciones de ocultaciones rasantes en dicha zona de la Luna.
Como se ve, la observación de ocultaciones rasantes sirve para corregir las cartas de Watts. Por otra parte, por la segunda ley de Cassini del movimiento de la Luna sabemos que hay una zona de la misma que no es visible nunca iluminada. Por esta razón, las cartas de Watts, obtenidas a partir de fotografia, no dan correcciones para esta zona. Las ocultaciones rasantes producidas en dichas zonas oscuras permitirán “construir” el perfil lunar en ellas.
A partir de la observación de gran número de observaciones rasantes pueden determinarse ciertas fluctuaciones en el movimiento de la Luna y establecerse las diferencias entre los patrones de tiempo (tiempo de efemérides o dinámico y universal).
10.4 Pasos de Mercurio y Venus por delante del Sol
Los pasos de los planetas Mercurio y Venus por delante del disco del Sol pueden calcularse mediante la teoría general de los eclipses de Sol sustituyendo la Luna por el planeta. El valor del radio lunar se sustituirá por k = 0.3897 para Mercurio y por k = 0.9975 para Venus. No repetiremos, por tanto, la teoría expuesta en los apartados 10.1. Haremos únicamente algunas consideraciones que nos pueden ayudar a conocer mejor el fenómeno.
En el caso de Mercurio, el Sol pasa por el nodo ascendente de su órbita el 10-11 de noviembre y por el nodo descendente el 8-9 de mayo. Los pasos de Mercurio por delante del Sol se producen pues necesariamente en estas fechas aunque debido a la variación secular de la longitud del nodo dichas épocas se retrasan en un poco más de un día por siglo. El valor del segundo miembro de la fórmula (5.10), cuando la Tierra y Mercurio se hallan cerca de la línea de los nodos de la órbita de este último, es de unos 978
Supongamos que un paso de noviembre sea central y se haya producido en una época t0; en la época t0 + 54 D, por ejemplo, Mercurio se encuentra en conjunción con el mismo nodo, pero faltan 2.028 días para que la Tierra llegue también a él. Según las condiciones anteriores vemos que el paso tendrá lugar, pero no será central. Los intervalos obtenidos se combinan para dar lugar a una periodicidad irregular como puede observarse en la adjunta tabla que abarca los pasos ocurridos en este siglo y los que se producirán los años 2003 y 2006.
en noviembre y 963 en mayo. Por otra parte, los límites superiores de los intervalos de tiempo que separan los pasos de Mercurio y de la Tierra en cada uno de los nodos son: ± 3d.97 en noviembre y ± 1d.88 en mayo. Vemos pues que es mayor la probabilidad de que se produzca un paso en noviembre que en mayo, diferencia debida a la excentricidad de la órbita del planeta.
Estudiemos ahora la periodicidad del fenómeno que nos ocupa. Teniendo en cuenta la precesión de la línea de los nodos de la órbita de Mercurio, el periodo de revolución de la Tierra con respecto a dicha línea es T = 365d.25422 mientras que el de Mercurio con respecto a esta misma línea (revolución draconítica) es
D = 87d.96913. Supongamos que en una época dada ha tenido lugar un paso; el fenómeno se reproducirá cuando el Sol, Mercurio y la Tierra vuelvan a ocupar, aproximadamente, las mismas posiciones relativas, habiendo transcurrido entre los dos pasos mD = nT días, siendo m y n números naturales. Los valores de m y n que verifican esta igualdad con una mejor aproximación son:
Año
1907
1914
1924
1927
1937
1940
1953
1957
1960
1970
1973
1986
1993
1999
2003
2006
Fecha
12 nov.
7 nov.
7 mayo
8 nov.
10 mayo
12 nov.
13 nov.
6 mayo
6 nov.
9 mayo
10 nov.
13 nov.
6 nov.
15 nov.
7 mayo
8 nov.
Periodicidad
13 años
7 años
10 años
3 años
10 años
3 años
13 años
4 años
3 años
10 años
3 años
13 años
7 años
6 años
4 años
3 años
En el caso de Venus las condiciones de posibilidad son todavía más restrictivas debido, en parte, a que Venus no entra en conjunción con cada uno de sus nodos más que 163 veces por siglo. El Sol pasa por el nodo ascendente de su órbita hacia el 9 de diciembre y por el nodo descendente hacia el 8 de junio. Los pasos de Venus por delante del Sol se producirán, pues, en estas fechas. El valor del segundo miembro de la fórmula (5.10) es de unos 2015
en diciembre y 1955 en junio. Para estudiar la periodicidad del fenómeno, teniendo en cuenta las variaciones del nodo y de la excentricidad, partiremos de los valores T y D de los periodos de revolucion de la Tierra y Venus respectivamente con relación al nodo de la órbita de Venus:
T = 365d.25155, D = 224d.69889. Análogamente al caso de Mercurio, si en una época dada ha tenido lugar un paso el fenómeno se reproducirá cuando el Sol, Venus y la Tierra vuelvan a ocupar, aproximadamente, las mismas posiciones relativas habiendo transcurrido entre los dos pasos mD = nT días. Los valores de m y n que verifican esta igualdad con una mejor aproximación son
m = 13 n = 8 mD - nT = - 0d.92683
m = 395 n = 243 mD - nT = - 0.06510
En la tabla adjunta damos los pasos desde 1769 hasta 2490. En ella se advierte que cuando en junio o diciembre hay un paso al cabo de 8 años hay otro en el mismo mes y que el intervalo entre dos pasos en distinto mes es de 105 o 122 años, reproduciéndose los pasos cada 243 años.
Año
1769
1874
1882
2004
2012
2117
2125
2247
2255
2360
2368
2490
Fecha
8 junio
8 dic.
6 dic.
7 junio
7 junio
10 dic.
8 dic.
9 junio
8 junio
9 dic.
9 dic.
8 junio
Periodicidad
8 años
105 años
8 años
122 años
8 años
105 años
8 años
122 años
8 años
105 años
8 años
122 años
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