Astronostrum I

1. LA ESFERA CELESTE

1.1 Movimiento diurno de la esfera celeste

La esfera celeste es una esfera imaginaria de radio arbitrario y centro en el observador, sobre la cual se proyectan las estrellas para estudiar sus posiciones relativas.

Movimiento diurno es el movimiento aparente de rotación de la esfera celeste, de levante a poniente, debi­do al movimiento real de rotación de la Tierra de poniente a levante. De él, por tanto, participan todos los cuerpos celestes.

Eje del mundo es el diámetro alrededor del cual parece girar la esfera celeste. Su localización varia con el tiempo.

Polos celestes son los puntos de intersección del eje del mundo con la esfera celeste. Son, por tanto, los únicos puntos del cielo que no participan del movimiento diurno. De éstos el que vemos desde Barcelona (por ha­llarse sobre nuestro horizonte) es elpolo norte, P, y el diametralmente opuesto es el polo sur, P' (Fig.1.1).

Vertical de un lugar es el diámetro de la esfera celeste dado por la dirección de la plomada. Su punto de intersección con la esfera celeste situado en el hemis­ferio visible para el observador se denomina cenit. El situado en el hemisferio invisible se denomina nadir (Z y Z' en Fig. 1.1).

Horizonte astronómico o verdadero es el plano diametral ortogonal a la vertical. La intersección de dicho plano con la esfera celeste es un círculo máximo denominado también horizonte. EL horizonte astronómico divide a la esfera celeste en doshemisferios, situados por encima y por debajo del mismo, que se denominan visible e invisible respectivamente (Fig. 1.1)

a dicho ángulo, al radio me­dio de la Tierra y a la altitud sobre el nivel del mar, se verifica (Fig. 2.1):

y como

tenemos

de donde:

FIG 2.1

Ecuador celeste es el plano diametral ortogonal al eje del mundo o, también, el círculo máximo determinado por la intersección de dicho plano con la esfera celes­te (Fig.1.1).

Plano meridiano es el plano diametral determinado por el eje del mundo y la vertical. Su intersección con la esfera celeste es el meridiano del lugar (Fig.1.1).

Meridiana es el diámetro determinado por la inter­sección del plano meridiano con el horizonte verdadero. Sus intersecciones con la esfera celeste constituyen los puntos cardinales norte y sur (N y S en la Fig.1.1).

Latitud del lugar es el ángulo formado por la meri­diana y el eje del mundo (f en la Fig.1.1). Su complementario (90°‑ f) se denomina colatitud.

Perpendicular es el diámetro determinado por la in­tersección del ecuador celeste con el horizonte verdadero. Sus intersecciones con la esfera celeste constituyen los puntos cardinales este y oeste (E y W en la Fig.1.1).

Primer vertical es el plano diametral determinado por la vertical y la perpendicular. También se denomina así el círculo máximo determinado por la intersección de dicho plano con la esfera celeste.

Línea del medio cielo es el diámetro determinado por la intersección del ecuador celeste con el plano meridiano. Su punto de intersección con la esfera celeste situado en el hemisferio visible se denomina medio cielo (Q en la Fig.1.1)

Verticales son los planos que pasan por la vertical. Los círculos máximos intersección de dichos planos con la esfera celeste reciben también el nombre de vertica­les. Son verticales tanto el plano meridiano como el primer vertical.

Almucantarates son los círculos menores de la esfe­ra celeste paralelos al horizonte.

Planos horarios son los planos diametrales que pasan por el eje del mundo. Los círculos máximos determinados por su intersección con la esfera celeste se denominan círculos horarios.

Paralelos celestes son los círculos menores de la esfera celeste paralelos al ecuador.

1.2 Coordenadas horizontales y horarias

En cualquier sistema de coordenadas la localización de un punto de la esfera celeste viene dada por las componentes de su vector de posición expresadas en carte­sianas (coordenadas rectilíneas) o bien en esféricas (coordenadas esféricas). En el primer caso las componentes no son independientes, dado que sólo existen dos grados de libertad al ser el radio de la esfera celeste arbitrario, pero constante una vez fijado.

1.2.1 Coordenadas horizontales

La vertical, la meridiana y la perpendicular de un lugar determinan un triedro trirrectángulo con vértice en el observador. Tomaremos este triedro como sistema de referencia de coordenadas cartesianas y elegiremos los ejes de la siguiente forma: x en la dirección de la meridiana, sentido creciente hacia el sur; y en la di­rección de la perpendicular, sentido creciente hacia el oeste; z en la dirección de la vertical, sentido creciente hacia el cenit. El triedro estará orientado en sentido retrógrado.

Las componentes del vector de posición de un astro A en dicha base constituirán las coordenadas rectilíneas horizontales del mismo A(x,y,z).

Por otra parte, por cada punto de la esfera celeste, distinto del cenit y del nadir, pasan un único vertical y un único almucantarat que nos permiten definir las coordenadas esféricas horizontales (Fig. 3.1).

FIG 3.1

Acimut, ángulo diedro que forman el vertical que pasa por el astro con el plano meridiano. Se mide sobre el hori­zonte, desde el Sur, en sentido retrógrado, de 0º a 360º. Si lo designamos por

tenemos:

Altura, distancia esférica del horizonte al astro. Se mide en grados desde el horizonte; es positiva si el astro se ha­lla en el hemisferio visible y negativa si en el invisi­ble. Designándola por tenemos:

Distancia r es el módulo del vector de posición

; es decir, el radio de la esfera celeste.

Distancia cenital es el arco complementario de la altura; esto es, la distancia esférica del cenit al astro. Designándola por z tendremos:

Las relaciones entre las coordenadas horizontales rectilíneas y esféricas vienen dadas por (Fig.3.1):

1.2.2 Coordenadas horarias

El eje del mundo, la línea del medio cielo y la perpendicular determinan un triedro trirrectángulo con vértice en el observador. Tomaremos este triedro como sis­tema de referencia de coordenadas cartesianas, eligien­do los ejes de la siguiente forma: x' en la dirección de la línea del medio cielo, en sentido creciente hacia el medio cielo; y’ en la dirección de la perpendicular, en sentido creciente hacia el oeste; z' en la dirección del eje del mundo, en sentido creciente hacia el polo celeste norte. El triedro estará orien­tado en sentido retrógrado.

Las componentes del vector de posición de un astro A en dicha base constituirán las coordenadas rectilíneas horarias del mismo A(x', y', z').

Por otra parte, por cada punto de la esfera celeste, distinto de los polos, pasan un único paralelo celeste y un único circulo horario que definen las coordenadas esféricas horarias (Fig. 4.1).

FIG 4.1

Ángulo horario, ángulo diedro que forman el plano horario que pasa por el astro con el plano meridiano del lugar. Se mide sobre el ecuador desde el medio cielo, en sentido retrógrado, de 0h a 24 h.

Si lo designamos por H, tenemos:

Declinación, dis­tancia esférica del ecuador al astro. Se mide en grados desde el ecuador; es posi­tiva si el astro se halla en el hemisferio celeste norte y negativa si en el sur. Si la designamos por

, tendremos:

Distancia polar es la distancia esférica del polo al astro; es decir, es el complemento de la declinación,

Si la designamos por

, tendremos:

Las relaciones entre las coordenadas horarias rectilíneas y esféricas son (Fig. 4.1):

1.2.3 Paso de coordenadas horizontales a horarias y viceversa

Los triedros de referencia de los sistemas de coordenadas horizontales y horarias tienen el eje y común y ambos están orientados en sentido retrógrado, por lo que podrá efectuarse el cambio de un sistema al otro por un simple giro alrededor del eje yºy’(Fig.5.1), de ángulo 90º-f en valor absoluto (f latitud del lugar).

FIG 5.1

Recordemos que las matrices que definen un giro de ángulo

son:

alrededor del eje x:

alrededor del eje y:

alrededor del eje z:

Estas matrices son ortogonales; por tanto, sus inversas coinciden con sus traspuestas:

(h = 1, 2, 3)

y además

Lo que hemos de hacer es pues un cambio de base expresado por

(1.1)

donde R₂(i) tiene las propiedades indicadas.

Para pasar de coordenadas horizontales a horarias tomaremos i=f ‑ 90°, ya que el ángulo está contado en sentido contrario al de la orientación del triedro. Por tanto, siendo:

(2.1)

y recordando el valor de las componentes de

en las bases horizontal y horaria, según (1.1).

y operando:

(3.1)

Para pasar de coordenadas horarias a horizontales, aplicando la matriz inversa de en (1.1).

y por tanto:

y operando:

(4.1)

Las fórmulas (3.1) y (4.1) de cambio de base tam­bién pueden obtenerse por aplicación de la trigonometría esférica al triángulo de posición polo‑cenit‑astro.

1.3 Movimiento ánuo del Sol

1.3.1 Generalidades

El movimiento aparente del Sol es el resultado de dos movimientos aparentes: el movimiento diurno, retrógrado, debido al movimiento de rotación de la Tierra, y el movimiento ánuo, directo, debido al movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol y 365 veces más lento que el anterior. El Sol participa del primero como todo objeto celeste; el segundo es un movimiento propio (es decir, que no experimentan los demás astros) sobre la esfera celeste.

La trayectoria aparente del Sol sobre la esfera ce­leste es la eclíptica. Dado que el Sol describe, aparentemente, una elipse con la Tierra en uno de sus focos, la eclíptica es un círculo máximo cuyo correspondiente plano diametral se denomina plano de la eclíptica.

Oblicuidad de la eclíptica es el ángulo que forman el plano de la eclíptica y el plano del ecuador (Fig.6.1). Se representa por e y su valor actual es e= 23° 26'. La oblicuidad de la eclíptica no es constante, sino que disminuye a razón de 0”47 por año.

Eje de la eclíptica es el diámetro perpendicular al plano de la eclíptica. Sus extremos constituyen los polos de la eclíptica y se denominan norte y sur según su proximidad a los polos celestes norte y sur respectivamente (

y en la Fig. 6.1).

FIG 6.1

Línea de los equinoccios es el diámetro determinado por la intersección del plano del ecuador y el plano de la eclíptica (^den la Fig. 6.1).

Equinoccios son los extremos de la línea de los equinoccios. Se denomina punto Aries, punto vernal o equinoccio de primavera y se representa por ^, el punto en el cual el Sol pasa del hemisferio celeste sur al hemis­ferio celeste norte. El punto diametralmente opuesto se deno­mina punto Libra, punto autumnal o equinoccio de otoño y se representa por d.

Línea de los solsticios es el diámetro de la eclíptica perpendicular a la línea de los equinoccios (g aen la Fig.6.1).

Solsticios son los extremos de la línea de los solsticios. Se denomina punto Cáncer o solsticio de ve­rano, y se representa por a, el solsticio situado en el hemisferio celeste norte; se denomina punto Capricornio o solsticio de invierno, y se representa porg, el situado en el hemisferio sur.

Trópicos de Cáncer y de Capricornio son los parale­los celestes que pasan por los puntos Cáncer y Capricornio, respectivamente.

Círculos polares Ártico o norte y Antártico o sur son los paralelos celestes que pasan por los polos de la eclíptica, norte y sur, respectivamente.

Coluros de los equinoccios y de los solsticios son los meridianos celestes que pasan por los puntos equi­nocciales y solsticiales, respectivamente.

Máximos de longitud son los círculos máximos (o sus correspondientes planos diametrales) que pasan por los polos de la ecliptica (P_eA P_e’ en la Fig. 6.1).

Menores de latitud son los círculos menores parale­los a la eclíptica.

Zodíaco es la zona de la esfera celeste, de 17° de amplitud, limitada por dos menores de latitud a 8,5º a ambos lados de la eclíptica. Sobre el zodiaco se observan los planetas de nues­tro sistema solar y las constelaciones zodiacales. Los antiguos dividían el zodiaco en doce regiones de 30° de amplitud, medidos sobre la ecliptica a partir del punto Aries y en sentido directo, correspondiendo a cada re­gión o signo del zodíaco una constelación zodiacal. Par tiendo del punto Aries y recorriendo el zodiaco en sen­tido directo, dichos signos son:

Hace unos 2.000 años los signos del zodiaco se co­rrespondían con las constelaciones homónimas. Pero, debido a que el punto Aries retrograda sobre la eclipti­ca a razón de 50’’,29 por año (fenómeno conocido como precesión de los equinoccios), en la actualidad no se da esta correspondencia y las constelaciones ocupan el signo del zodiaco siguiente, en sentido directo, al que les correspondia.

1.3.2 Eclíptica media y verdadera

En realidad, el Sol no describe un circulo máximo de la esfera celeste sino que se desplaza según una línea sinuosa cuyo valor medio constituye la eclíptica definida en el apartado anterior. Dos son las causas principales de dicho comportamiento: En primer lugar, no es la Tierra la que describe una elipse con el Sol en uno de sus focos sino, con mucha aproxima­ción, el centro de gravedad G del sistema Tierra‑Luna, alrededor del cual giran a su vez la Tierra y la Luna. Si M es la masa de la Tierra, T, y m la de la Luna, L; D y d las distancias del centro de gravedad G a la Tierra y a la Luna, respectivamente y D la distancia Tierra‑Luna, siendo M = 81 m y debiéndose de verifi­car (Fig. 7.1).

se tiene

FIG 7.1

Como que D ≈ 380.000 km, resulta D = 4.700 km, distancia que es menor que el radio medio de la Tierra (6.400 km), es decir: el centro de gravedad del sistema se encuentra dentro de la Tierra. Por otra parte, si i es el ángulo que forma el plano del sistema Tierra‑Luna con el plano de la eclíptica, E, mientras que el centro de gravedad del sistema describe la eclíptica, la Tierra y la Luna oscilarán a uno y otro lado de la misma, lo cual dará lugar a un efecto paraláctico que variará periódicamente, con una amplitud del or­den de 0”,6.

FIG 8.1

En efecto, siendo la distancia Tierra‑Sol de unos 150.000.000 km e i = 5°9', podemos evaluar la separación máxima, B_Máx. (Fig.8.1) que constituye la amplitud de la oscilación, sustituyendo el seno por el arco:

El periodo de oscilación es el del sistema Tierra‑Luna: 27,5 días.

En segundo lugar, los planetas, en especial Júpiter por su gran masa y Venus por su proximidad, originan perturbaciones sobre el movimiento de la Tierra. Las variaciones a que dan lugar son también periódicas, dependiendo el periodo del planeta de que se trate. A1 pertubar el movimiento de la Tierra producen desviaciones del Sol respecto a la eclíptica media, cuyo máximo es también, en valor absoluto, del orden de 0”,6.

En definitiva, dicha desviación es la resultante de varios movimientos periódicos, de tal forma que, cuando se suman las amplitudes máximas de estos movimientos, tal desviación puede llegar a ser de 1’’,2 en valor abso­luto. Como que dicha variación es muy pequeña, en mu­chos problemas podemos considerar que el Sol describe un círculo máximo, sin incurrir en grandes errores.

1.4 Coordenadas ecuatoriales y eclípticas

En los sistemas de coordenadas ecuatoriales (o ura­nográficas) y eclípticas los triedros de referencia es­tán orientados en sentido directo y son solidarios a la esfera celeste.

1.4.1 Coordenadas ecuatoriales

En el sistema de coordenadas ecuatoriales se define el triedro de referencia tomando como eje x la direc­ción de la línea de los equinoccios, en sentido positi­vo hacia el punto Aries, el eje y situado sobre el ecuador, a 90° del anterior, en sentido directo y el eje z en la dirección del eje del mundo y en sentido positivo hacia el polo celeste norte.

Las componentes del vector de posición de un astro E en dicha base constituyen las coordenadas ecuatoriales rectilíneas del mismo E(x, y, z).

Un punto de la esfera celeste, distinto de los po­los, también queda completamente determinado por un único meridiano y un único paralelo celestes, que permiten definir las coordenadas ecuatoriales esféricas (Fig.9.1)

FIG 9.1

Ascensión recta, A, es el ángulo diedro que forman el plano meridia­no que pasa por el astro y el co­luro de los equi­noccios. Se mide en tiempo, sobre el ecuador, desde el punto Aries hasta el pie del meridiano que pa­sa por el astro, en sentido direc­to de 0 h a 24 h:

Declinación, D, es la distancia esférica desde el ecuador hasta el paralelo que pasa por el astro. Se mi­de en grados desde el ecuador, de 0° a 90°; es positiva si el astro se encuentra en el hemisferio celeste norte y negativa si en el sur:

Distancia, r, es el módulo del vector de posición.

Distancia polar, p, es la distancia esférica del polo celeste norte al astro:

Las relaciones entre las coordenadas ecuatoriales rectilíneas y esféricas vienen dadas por (Fig. 9.1):

1.4.2 Coordenadas eclípticas

En el sistema de coordenadas eclípticas definiremos el triedro de referencia tomando el eje x' idéntico al anterior x, el eje y' en la dirección de la línea de los solsticios, sentido positivo hacia el punto de Cán­cer, y el eje z' en la dirección del eje de la eclíptica, en sentido positivo hacia el polo eclíptico norte.

Las componentes del vector de posición del astro E en dicha base constituyen las coordenadas eclípticas rectilíneas E(x', y', z').

FIG 10.1

Por cada punto de la esfera ce­leste, distinto de los polos eclípticos, pasan un único máximo de longitud y un único menor de latitud que nos permiten definir las coordenadas eclípticas esféricas (Fig.10.1).

Longitud celeste, L, es el ángulo diedro que forman el máximo de longitud que pasa por el astro y el máximo de longitud que pasa por el punto Aries, contado a partir del punto Aries, sobre la eclíptica, en sentido directo, de 0° a 360°:

Latitud celeste, B, es la distancia esférica desde la eclíptica hasta el menor de latitud que pasa por el astro. Se mide en grados y es positiva si el astro se encuentra en el hemisferio norte y negativa si en el sur:

Distancia, r, es el radio de la esfera celeste.

Las relaciones entre las coordenadas eclípticas rectilíneas y esféricas son (Fig.10.1):

1.4.3 Paso de coordenadas ecuatoriales a eclípticas y viceversa

Los triedros de referencia de los sistemas de coordenadas ecuatoriales y eclípticas tienen co­mún el eje x, y ambos están orientados en sentido directo, por lo que podrá efec­tuarse el cambio de un sistema al otro por una simple rotación R₁ alrededor del eje x de ángulo e o -e (Fig. 11.1).

FIG 11.1

Si queremos pasar de coordenadas ecuatoriales a eclípticas, procediendo de manera análoga a como hici­mos en la sección 1.2.3, tendremos:

es decir:

(5.1)

El cambio inverso será:

es decir:

donde = longitud, = ascensión recta y = declinación (Fig. 12.1).

FIG 12.1

TABLA I

Se observa que A es siempre creciente y D toma sus valores máximo y mínimo en los puntos Cáncer y Ca­pricornio, respectivamente.

En un día las variaciones de A y de D son pequeñas,

suponiendo el movimiento uniforme, por lo que en muchas aplicaciones, a lo largo de un día, tanto la ascensión recta como la declinación pueden considerarse constantes e iguales a su valor medio en dicho día.

Del mismo triángulo (Fig.12.1)determinado por la posición del Sol, S, el punto Aries, , y la inter­sección del meridiano celeste que pasa por el centro del Sol con el ecuador, S₁, deducimos también las relacio­nes:

1.5 Tiempos sidéreos medio y aparente

Como ya se ha comentado en apartadas anteriores, el punto Aries no es un punto fijo en la esfera celeste sino que, debido a la precesión de los equinoccios, re­trograda sobre la eclíptica a razón de 50”,29 por año. Por lo tanto, por definición, retrograda también sobre el ecuador unos 3s por año:

Además, debido al fenómeno de la nutación, el punto Aries oscila alrededor de la posición media dada por la precesión con una semiamplitud de 17" sobre la eclípti­ca (ls sobre el ecuador) con un periodo de 18,6 años.

El punto Aries que se obtiene al considerar sólo el fenómeno de la precesión es el punto Aries medio; si además tenemos en cuenta el de la nutación obtenemos el punto Aries verdadero. Según consideremos uno u otro obtendremos, respectivamente, la ascensión recta media verdade­ra de un astro.

En primera aproximación la ascensión recta verdade­ra de una estrella ecuatorial será:

Con A_o la ascensión recta para t = 0, a = 3^s año^-1, b=1^s, w= (2p/18.6) año^-1 (t en años).

Día sideral es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos de un punto fijo de la es fera celeste por un mismo meridiano. Coincide, por tan­to, con el periodo de rotación de la Tierra.

Día sidéreo es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del punto Aries por un mismo meridiano. Si consideramos el punto Aries medio, obtendremos el día sidéreo medio; si consideramos el verdadero, obtendremos el día sidéreo aparente.

Como que el punto Aries medio retrograda 3^s año^-1 sobre el ecuador, el día sideral será 3^s/365=0^s,01 más largo que el día sidéreo.

Tiempo sidéreo medio, q_m, es el ángulo horario del punto Aries medio.

Tiempo sidéreo aparente, q_v, es el ángulo horario del punto Aries verdadero.

Ambos son locales. Sólo el primero es uniforme con mucha aproximación y es el que miden los relojes de tiempo sidéreo.

Ecuación de equinoccios es la diferencia entre el tiempo sidéreo aparente y el sidéreo medio:

(el término "ecuación" procede de la palabra árabe que significa "dife­rencia"). Se de­signa por N por coincidir con la nutación en ascensión recta, según veremos en el próximo capítulo, y soluciona el paso de un tiempo sidéreo al otro me­diante una simple suma algebraica. El concepto de tiempo sidéreo permite relacio­nar los sistemas de coordenadas solidarios al observador con los solidarios a la esfera celeste. En efecto, siendo la declinación una coordenada común a los sistemas de coordenadas horarias y ecuatoriales, para las otras dos, ángulo horario H y ascensión recta A de un as­tro E (Fig.13.1), observando los sentidos en que se mi­den los ángulos, se tiene la relación fundamental:

q=A+H (7.1)

que se verifica tanto para los valores medios q_m y A_m como para los verdaderos q_v y A_v.

FIG 13.1

1.6 Movimiento diurno del Sol

1.6.1 Generalidades

Decimos que un astro está en su orto cuando atraviesa el horizonte, pasando del hemisferio invisible al visible. Decimos que un astro está en su ocaso cuando atraviesa el horizonte, pasando del hemisferio visible al invisible. El orto y el ocaso son simétricos con respecto al plano meridiano, por lo que sus acimutes serán opuestos.

Culminación es el paso de un astro por el meridiano del lugar. Si el paso ocurre a altura máxima la culminación se denomina superior y si a mínima inferior.

En el caso del Sol la culminación superior marca el mediodía y la inferior la medianoche. El intervalo de tiempo que transcurre desde el orto del Sol hasta su culminación superior recibe el nombre de mañana y al que transcurre entre el mediodía y el ocaso le llama­mos tarde.

Arco semidiurno, H, es el ángulo horario del ocaso. Su opuesto es el ángulo horario del orto. Si el arco semidiurno es H, 2H será la duración del día de luz (desde el orto al ocaso del Sol), de ahí el nombre.

Muchas veces en lugar de considerar el acimut del orto o del ocaso, se considera la amplitud, que se define como la distancia angular del orto (o del ocaso) al punto E (u W) contada negativamente cuando el orto está entre el E y el S, y positivamente cuando el orto está entre el E y el N; negativamente cuando el ocaso está entre el W y el S, y positivamente cuando el ocaso está entre el W y el N. La amplitud del orto se denomina amplitud ortiva y la del ocaso, occídua, siendo ambas iguales

1.6.2 Duración del día según la época del año

En el día del equinoccio de primavera (o del equinoccio de otoño), el Sol está en el punto Aries (o en el punto Libra) y su declinación es nula. Este día, si­guiendo el movimiento diurno, el Sol saldrá exactamente por el este y se pondrá exactamente por el oeste, des­cribiendo el ecuador. Permanece 12 horas por encima y 12 horas por debajo del horizonte, es decir, la dura­ción del día de luz, es la misma que la duración de la noche (12 horas) de ahí el nombre de "equinoccio" (Fig.14.1).

FIG 14.1

En días posteriores a su paso por el punto Aries, la declinación del Sol va aumentando debido al movimiento ánuo directo sobre la eclíptica. Entonces, siguiendo el movimiento diurno, el Sol saldrá y se pondrá cada vez más hacia el punto norte, aumentando la amplitud y el arco semidiurno.

Cuando, en su movimiento ánuo, el Sol llega al punto Cáncer (solsticio de verano) alcanza su máxima declina­ción (Fig.15.1). En este instante, tanto la amplitud como el arco semidiurno son máximos. Es el día del año con más horas de luz y el Sol, en su movimiento diur­no, describe el trópico de Cán­cer. Desde el punto Cáncer al punto Libra se invierte el proceso anterior: la declinación del Sol disminuye, saliendo y poniéndose ca­da día menos ha­cia el norte, hasta llegar a salir otra vez por el este y ponerse por el oeste (equinoccio de otoño).

FIG 15.1

Cuando el Sol, en su movimiento ánuo, se encuen­tra entre el punto Libra y el punto Capricor­nio, la declina­ción es negativa y aumenta su va­lor absoluto. El Sol sale y se pone cada vez más hacia el sur, disminuye la am­plitud y el arco semidiurno. En el solsticio de invierno la de­clinación del Sol es mínima, así como la amplitud y el arco semi­diurno. Es por tanto, el día con menos horas de luz. El Sol describe el trópico de Capricornio en su movimiento diurno (Fig.l6.1). Desde el punto Capricornio hasta el punto Aries se invierte el proceso anterior. La declinación del Sol aumenta, saliendo y poniéndose cada día menos hacia el sur hasta llegar a hacerlo nue­vamente por el este y el oeste (equinoccio de primave­ra). Resumimos lo dicho en la tabla II.

FIG 16.1

Según lo que acabamos de exponer, la duración del día de luz en el solsticio de verano debería ser la misma que la de la noche del día del solsticio de invierno y en los equinoccios el día de luz debería durar igual que la noche. Sin embargo, no es así, debido a la refracción causada por la atmósfera sobre la imagen del Sol, la cual implica una variación entre las coordenadas verdaderas del Sol y las que observamos o aparentes como veremos en el capítulo siguiente.

TABLA II

1.6.3 Refracción astronómica

Debido al fenómeno de la refracción la atmósfera influye sobre las posiciones de los astros. En esta sección se procederá a una primera introducción al tema, que se ampliará en secciones posteriores.

Consideremos la Tierra plana. Las superficies de igual densidad serán planos paralelos al suelo y coincidirán con las superficies de igual índice de refrac­ción (tanto la densidad como el índice de refracción disminuyen con la altitud). Según la ley de Snell, cuando un rayo luminoso pasa de un medio a otro de mayor índi­ce de refracción el rayo se acerca a la normal. Entonces, teniendo en cuenta que en la atmósfera la variación del índice de refrac­ción con la altu­ra es una función continua, tendre­mos que la trayectoria de un rayo de luz procedente de un astro E será una curva plana, con su con cavidad dirigida hacia el suelo, cuya asíntota nos determina la dirección del astro. La tangente a la curva en el observador O nos determinará la dirección aparente E' del astro (Fig. 17.1).

FIG 17.1

La diferencia:

donde h' es la altura aparente y h la altura verda­dera, se denomina refracción astronómica.

También puede expresarse en función de las distancias cenitales verdadera z y aparente z':

Así pues, a consecuencia de la refracción aumenta la altura aparente de los astros y disminuye su distancia cenital; sin embargo, no varían sus acimutes. Para z=0°, R=0 y para z = 90°, R es máxima. Para el Sol en las Efemérides Astronómicas se toma el valor 34' para la R máxima.

1.6.4 Crepúsculos

La difusión por la atmósfera de los rayos luminosos del Sol da lugar a que veamos luz solar cuando el Sol no ha salido todavía, aurora o crepúsculo matutino, y sigamos viéndola cuando el Sol ya se ha puesto, crepúsculo vespertino. Dicha difusión alarga pues el día de luz.

Distinguiremos tres clases de crepúsculos:

Crepúsculo civil, tiempo que media desde la puesta del Sol hasta que la altura de su centro es de ‑6°. A1 finalizar el mismo empiezan a ser visibles las estrellas de primera magnitud.

Crepúsculo náutico, tiempo que media desde que la altura del centro del Sol es de ‑6° hasta que es de ‑12°. Al finalizar el mismo empiezan a ser visibles las estre­llas de segunda magnitud.

Crepúsculo astronómico, tiempo que media desde que la altura del centro del Sol es de ‑12° hasta que es de ‑18°. Al finalizar el mismo empiezan a ser visibles las estrellas de sexta magnitud (las visibles a simple vista).

Estas mismas definiciones nos pueden servir, invir­tiéndolas, para los crepúsculos matutinos.

1.6.5 Semidiámetro aparente

Dado que el Sol es un objeto celeste extenso, pode­mos definir su diámetro aparente, s, como el ángulo ba­jo el cual se ve desde la Tierra el radio del Sol (Fig. 18.1).

FIG 18.1

Sean:

T el centro de la Tierra, S el centro del Sol, r el radio del Sol, r la distancia entre los centros del Sol y de la Tie­rra.

De la Fig.18.1 se desprende:

Y por ser s muy pequeño:

Como que la Tierra describe una elipse con el Sol en uno de sus focos, r y, en consecuencia, s variarán en el transcurso del año; pero, como que la excentrici­dad de dicha elipse es muy pequeña, con mucha aproxima­ción, s puede considerarse constante. Se suele tomar s = 16'.

Se dice que el Sol sale (o se pone) cuando su borde superior aparece (o desaparece) por el horizonte. Recordando que el valor de la refracción en el horizonte es de R = 34', resulta que la distancia cenital del centro del Sol, tanto en los ortos como en los ocasos aparentes del mismo, será de:

y por tanto su altura de (Fig. 19.1):

h= -50’

FIG 19.1

Tanto la refracción como el semidiámetro solar alargan la duración del día de luz. En consecuencia, la du­ración del día de luz del solsticio de verano es mayor que la de la noche del día del solsticio de invierno.

1.6.6 Movimiento diurno desde distintas latitudes

Hasta ahora hemos considerado la latitud fija. Vea­mos que ocurre desde distintas latitudes.

Observador en el ecuador (f = 0°): El eje del mundo y la meridiana coinciden, así como los polos celestes y los correspondientes puntos cardinales Norte y Sur. El Sol sale y se pone según una trayectoria perpendicular al horizonte todos los días del año (de ahí la menor duración del crepúsculo en zonas de baja latitud). El día de luz tiene siempre la misma duración que la noche, desprecian­do la refracción y el semidiáme­tro. El día del equinoccio, el Sol recorre el primer vertical. El día del sols­ticio de verano la amplitud vale e y el día del solsticio de invierno vale –e (Fig.20.1).

FIG 20.1

Observador en el polo (f = 90°): La vertical coincide con el eje del mundo y el horizonte coincide con el ecuador. Así pues, no están definidos ni el plano meri­diano ni la perpendicular; es decir, en el polo no es­tán definidos los puntos cardinales El Sol en su movimiento diurno describe almucantarates (que coinci­den con los para­lelos celestes) y su altura es igual a su declinación. En su movimiento diurno, el día de luz dura desde que el Sol se encuentra en el punto Aries hasta que se encuentra en el punto Libra (despreciando la refracción y el semidiámetro). En los equinoccios el Sol describe el horizonte. El día del solsticio de verano, alcanza la altura máxima e (oblicuidad de la eclíptica) y el día del solsticio de invierno al­canza la altura mínima ‑e (Fig. 21.1).

FIG 21.1

Observador en el trópico (f = e): En el trópico de Cáncer el Sol pasará por el cenit sólo el día del sols­ticio de verano. En el trópico de Capricornio pasará por el cenit el día del solsticio de invierno.

Observador en la zona tórrida (|f| < e): El Sol pasará por el cenit dos veces al año. En primavera y verano, si 0 < f < e y en otoño e invierno, si – e < f < 0.

Observador en un círculo polar (|f| = 90º- e): En el círculo polar ártico el Sol no llega a salir, pero roza el horizonte, en el solsticio de invierno. En el solsticio de verano el Sol describe un paralelo celeste tan­gente al horizonte; así pues, a media noche el Sol se encontrará en el horizonte (Sol de media noche). Efectivamente, en el día del solsticio de verano, la declina­ción del Sol vale e, y su distancia polar 90º-e, que es la latitud del círculo polar ártico. En el círculo polar antártico dicho fenómeno ocurre en el solsticio de invierno (Fig.22.1).

FIG 22.1

Hay que señalar que existen lugares de la Tierra en los cuales, al menos una noche al año, no habrá noche cerrada. Pa­ra ello bastará con que la depre­sión del Sol en la culminación inferior sea menor de 18° (crepús­culo astronómico). El caso más favo­rable será el de altura máxima (solsticio de verano en el hemisferio norte) y así, para D=e, será (Fig.23.1):

FIG 23.1

Es decir, para f ³ 48°,5, como es el caso de París, por ejemplo, no habrá noche cerrada el día del solsticio de verano.

1.7 Tiempos solares verdadero y medio

Día solar verdadero es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos del centro del Sol por el meridiano del lugar.

Tiempo solar verdadero es el ángulo horario del centro del Sol. Ahora bien, hemos visto anteriormente que, debido a la ley de las áreas, el Sol no recorre la eclíptica con velocidad angular constante. La falta de uniformidad en la longitud se refleja en la variación de su ascensión recta, tampoco uniforme, lo cual impli­ca que los días solares verdaderos no tengan igual duración. Por consiguiente, el día solar verdadero no cons­tituye una buena unidad de tiempo.

Para evitar este inconveniente y poder utilizar las observaciones del Sol para la medida del tiempo, se de­fine un Sol ficticio como un sol imaginario (una direc­ción) que describe la eclíptica con velocidad angular constante en un tiempo igual al que tarda el Sol verda­dero en recorrerla. Coincide con el Sol verdadero en el perigeo y, por tanto, también en el apogeo, según la ley de las áreas.

Se llama ecuación del centro a la corrección que hay que aplicar a la longitud L del sol ficticio para obtener la longitud del Sol verdadero:

(8.1)

Si P es la duración del año, la velocidad angular con que el sol ficticio describe la eclíptica, o movi­miento medio, será:

No obstante, el sol ficticio tampoco nos sirve para definir la unidad de tiempo: hemos de componer dos velocidades angulares, la del sol ficticio sobre la eclíptica y la de la esfera celeste alrededor del eje del mundo; las dos son constantes, pero su composición no lo es al estar referida a ejes distintos. Ello hace que el ángulo horario del sol ficticio no crezca proporcionalmente al tiempo, lo cual nos lleva a introducir un Sol medio, sol ideal que recorre el ecuador, en sentido directo, con velocidad angular constante e igual al movimiento medio, coincidiendo con el sol ficticio en el punto Aries (y por tanto también en el punto Libra). Por definición el sol medio gira alrededor del eje del mundo, por lo cual el ángulo horario del sol medio crece proporcionalmente al tiempo. Abatiendo el sol ficticio sobre el ecuador, obtenemos el sol medio (Fig. 24.1).

FIG 24.1

(9.1)

Llamamos reducción al ecuador a la corrección que hay que aplicar a la longituddel Sol verdadero para obtener su ascensión recta A_v:

(10.1)

Día solar medio es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del sol medio por el meridiano del lugar.

Tiempo solar medio es el ángulo horario del sol me­dio. A pesar de todas las consideraciones anteriores, el día solar medio no se toma actualmente como unidad de tiempo, por razones que veremos más adelante.

FIG 25.1

Es fácil establecer la relación que existe entre el día solar medio y el día sidéreo medio. Consideremos que un día determinado el sol medio y el punto Aries culmi­nan al mismo tiempo. En este instante son las O^h tanto de tiempo sidéreo medio como de tiempo solar medio. Am­bos puntos avanzan debido al movimiento diurno; pero, debido al movimiento propio del Sol en sentido directo, éste se retrasa respecto al punto Aries, de modo que el día siguiente llegará al meridiano después que dicho punto, de tal forma que cuando el sol medio se encuentre sobre el meridiano, el punto Aries habrá recorrido ya el arco S_m^_m. El día solar medio se compone pues de un día sidéreo más una fracción de día equivalente al arco S_m^_m (Fig.25.1), incremento de una ascensión recta del sol medio en un día solar medio, es decir:

Como que el año tiene 365,2422 días solares medios, el adelanto diario de Aries sobre el Sol será

Dicho de otro modo: el punto Aries sale cada día solar medio 3m 56s t.s.m. antes que el día anterior; de ahí la antigua denominación de "aceleración de las fi­jas" (las estrellas) con que se designaba el Da_m.

1.7.1 Tiempo civil y longitud geográfica

Llamamos tiempo civil al ángulo horario del sol me­dio aumentado en 12 horas.

(11.1)

Empezamos a contar el tiempo civil doce horas antes de que el sol medio pase por el meridiano superior del lugar. Será mediodía medio a las doce horas de tiempo civil.

Longitud geográfica de un lugar es el ángulo diedro que forma el meridiano del lugar con el meridiano de Greenwich. Se mide en horas para usos astronómicos y en grados para usos geográficos, habiéndose tomado negati­va desde el meridiano de Greenwich hacia el este y positiva hacia el oeste, hasta el año 1982 en que la Asam­blea General de la Unión Astronómica Internacional que tuvo lugar en Patras (Grecia) recomendó que "todas las efemérides nacionales y otras publicaciones astronómi­cas adoptasen tan pronto como fuera posible el convenio según el cual la longitud terrestre fuera contada positivamente hacia el este". Así pues, desde entonces, se toma positiva desde el meridiano de Greenwich hacia el este y negativa hacia el oeste. También se suele indi­car con las iniciales de dichos puntos cardinales. Por ejemplo:

1 Observatorio Fabra = 0^h 8^m 30^s,2 = 0^h 8^m 30^s,2 E

Para hallar la relación existente entre la longitud de un lugar y el tiempo civil en él, supongamos dos lugares cualesquiera A y B y proyectemos sus planos meridia­nos sobre el ecua­dor terrestre (Fig. 26.1).Sean l_A y l_B las longitudes de A y B, respectivamente, S_m la direc­ción del sol medio, H_A y H_B los tiempos solares medios en A y B.

FIG 26.1

Se verifica:

es decir,

1.7.2 Tiempo Universal

Por definición, llamamos tiempo universal, T.U., a dicha constante para todo el globo, en un instante dado:

(12.1)

Evidentemente, el T.U. es el tiempo civil en el meridiano de Greenwich.

Hora legal es la que resulta de la división del globo terrestre en 24 husos horarios. La hora legal de un lugar es el T.U. más un número entero de horas correspondiente al huso en que se encuentra dicho lugar respecto al de Greenwich. Dichas horas se tomarán positivas des­de Greenwich hacia levante y negativas hacia poniente.

Hora oficial es la hora del huso rectificada según las conveniencias de cada país. España pertenece al hu­so de Greenwich y su tiempo oficial lleva una hora de adelanto al T.U. en invierno y dos horas en verano. Es el tiempo por el que se rige la vida civil de un país.

1.7.3 Ecuación de tiempo

Recibe el nombre de ecuación de .tiempo la diferencia entre el ángulo horario del Sol verdadero y el ángulo horario del sol medio:

(13.1)

También se puede definir en función de las ascensiones rectas, teniendo en cuenta la relación (7.1) entre el tiempo sidéreo, la ascensión recta y el ángulo hora­rio aplicada a cada uno de los soles:

y por tanto, según (8.1), (9.1) y (10.1), sustituyendo, también:

(14.1)

es decir: la ecuación de tiempo cambiada de signo es el resultado de sumar la ecuación del centro y la reduc­ción al ecuador.

La ecuación de tiempo viene tabulada en los Anuarios Astronómicos, día por día, y, como se verá más adelante, es

A partir de la ecuación de tiempo podemos hallar la diferencia entre la duración del día solar medio y la del día solar verdadero. En efecto, dado que, según (13.1):

para un día solar medio:

donde

según veremos más adelante. Luego, la máxima diferencia que puede haber entre un día solar medio y un día solar verdadero es de unos 30s.

Estudiemos ahora la influencia de la ecuación de tiempo en la duración de la mañana y de la tarde. Transcurre la mañana desde el orto del Sol verdadero hasta el paso del sol medio por el meridiano del lugar (me­diodía medio). Transcurre la tarde desde el mediodía me­dio hasta el ocaso del Sol verdadero.

Recordemos que el arco semidiurno de un astro es el ángulo horario de su ocaso. Si el Sol verdadero y el Sol medio coincidiesen, dada la simetría del movimiento diurno con respecto al plano meridiano, las duraciones de la mañana y de la tarde serían iguales al arco semidiurno. Pero, según (13.1):

y cuando el Sol verdadero pasa por el meridiano, H_v = 0, falta E para que sea mediodía medio:

Por tanto, si H es el arco semidiurno del Sol verdade­ro, tendremos:

Duración de la mañana: D _m= H + E

Duración de la tarde: D_t = H – E

Además, restando ordenadamente:

D_m - D_t = 2E

y, por tanto:

el día que la ecuación de tiempo es máxima la mañana dura 32^m 48^s más que la tarde.

A medida que transcurre el otoño, H disminuye y, por tanto, D_t también disminuye. A partir de primeros de diciembre, la tarde va alargando a pesar de que el Sol to­davía no ha alcanzado su declinación mínima (momento en el cual el arco semidiurno es mínimo). Ello es debido a que a partir del 3 de noviembre la ecuación de tiempo va disminuyendo y, al principio, la disminución del arco semidiurno es mayor que la disminución de E, pero a partir de primeros de diciembre sucede lo contrario y la tarde se alarga. De idéntica manera se explica que al empezar el invierno, siga acortando la mañana: el aumento del arco semidiurno es menor que la disminución de la ecuación de tiempo.

1.8 Problemas del movimiento diurno

1.8.1 Paso por un vertical de acimut a

Para determinar H consideraremos las fórmulas de paso de horarias a horizontales (Fig. 27.1):

que divididas ordenadamente dan:

Podemos resolver esta ecuación tranformándola en una algebraica de segundo grado en senH o cosH, o bien mediante la introducción de un ángulo auxiliar M, ha­ciendo:

con lo que se obtiene

es decir:

(15.1)

fórmulas que permiten resolver el problema. Obtenemos así dos determina­ciones no simétri­cas (según corte el vertical hacia po­niente o hacia le­vante), a partir de las cuales podemos calcular el tiempo sidéreo de paso re­cordando (7.1).

Para determinar h procederemos análogamente a partir de la fórmula de paso de horizontales a horarias:

Introduciendo el ángulo auxiliar N mediante las fórmulas:

obtenemos:

(16.1)

resultando, también, dos determinaciones.

FIG 27.1

Para conocer la correspondencia entre las determinaciones de H y las de h, usaremos la relación:

Discusión: El problema no tiene siempre solución. Si en el triángulo esférico polo‑cenit‑astro de la Fig. 27.1. aplicamos la analogía de senos, siendo

el ángulo paraláctico tendremos:

es decir:

desigualdad que sólo se verificará si el problema tiene solución. Para comprender esto hemos de tener en cuenta que si el astro culmina al sur del cenit, el paralelo que describe corta a todos los verticales (en los dos hemisferios, visible e invisible); pero, si culmina al norte del cenit, su paralelo sólo cortará a los verticales de acimutes comprendidos entre unos valores mínimo y máximo, correspondientes a los verticales tangentes al paralelo del astro (Fig. 28.1). Si a_m es el acimut mínimo y a_M el acimut máximo, el problema tendrá solución si el acimut dado, a, verifica la acotación:

por simetría con respecto al plano meridiano.

FIG 28.1

Casos particulares

a)Máxima digresión: Decimos que un astro presenta máxima digresión occidental (oriental) cuando pasa por el vertical de acimut mínimo (máximo). Por lo tanto, sólo pueden presentar máxima digresión los astros que culminan al norte del cenit.

Cuando tiene lugar la máxima digresión es recto el ángulo paraláctico y aplicando al triángulo polo‑cenit‑astro las fórmulas de los triángulos rectángulos deducimos (Fig. 27.1):

(17.1)

relaciones que nos dan el ángulo horario a, H, el acimut, y la altura, h, correspondientes a la máxima disgresión. También podremos conocer el tiempo sidéreo local en esta posición a partir de H y de A.

Si la máxima digresión ocurre cerca del meridiano, H es pequeño y queda mal determinado por el coseno. Es conveniente, entonces, efectuar la transformación:

por lo que

Con la determinación positiva obtenemos el horario de la máxima digresión occidental y con la negativa el de la oriental.

Por otra parte, si una estrella presenta máxima digresión (culmina al norte del cenit), se verifica:

Pero sabemos que las estrellas circumpolares, perpétuamente visibles, cumplen que pº90°‑D<f. Por tanto, si f<45° (caso de Barcelona) todas las estrellas cirumpolares presentan máxima digresión. Si f>45º sucede al revés; ambos conjuntos coinciden si f= 45º (como ocurre, aproximadamente en París).

b ) Paso por el meridiano: En este caso H=0^h y a=0° ó 180°, según que el astro culmine al sur o al norte del cenit, respectivamente. En cuanto a las altu­ras se tiene (Figs. 29.1):

FIG 29.1

Los pasos por el meridiano se observan con el círculo meridiano, anteojo que sólo puede moverse alrededor de un eje que coincide con la perpendicular. E1 tiempo sidéreo local del paso nos proporciona la ascensión recta del astro y la altura la declinación.

c) Paso del Sol por el meridiano: Consideremos ahora un caso ligeramente distinto del anterior, dado que el Sol presenta diámetro aparente. Por este motivo, se mide el paso del borde del Sol por el meridiano y se reduce posteriormente al paso de su centro.

FIG 30.1

Para efectuar dicha reducción se considera el trián­gulo PBA como esférico (Fig.30.1); en él, P es el polo celeste, A el centro del Sol y B el punto de tangencia del círculo PB. Se verifica:

(18.1)

con s, semidiámetro aparente del Sol, aproximadamente igual a 16'. Sustituyendo en (18.1) los senos por los arcos, resulta:

Si q_o es el tiempo sidéreo de paso del centro del Sol por el meridiano y q es el tiempo sidéreo de paso del borde del Sol por el meridiano, del H halla­do por las fórmulas anteriores, se desprende:

con el signo más o menos según consideremos el paso del borde anterior o posterior. Esta reducción se aplicará siempre que el astro considerado presente diámetro apa­rente (caso de la Luna y de los planetas).

Dado que la declinación del Sol es variable, no presenta la máxima altura cuando pasa por el meridiano. Se demuestra que el ángulo horario de su culminación viene dado por:

En nuestra latitudes f>D y, por lo tanto, tanf-tanD>0. Cuando dD/dH>0 (invierno y primavera) la culminación se verifica después del paso por el meridiano y cuando dD/dH<0 (verano y otoño) la culminación se verifica después de dicho paso.

d)Paso por el primer vertical: En este caso consideramos el paso por el vertical de acimut 90º. Del triángulo polo-cenit-astro, rectángulo en Z, obtenemos (Fig. 31.1):

(19.1)

fórmulas que nos proporcionan dos determinaciones opuestas para el ángulo horario, pero una única determinación de la altura en los pasos oriental y occidental.

FIG 31.1

En el caso de que H sea pequeño, podemos transformar la fórmula (19.1) como hemos hecho en a) y obtener una mejor aproximación de su valor:

Conocida la declinación del astro, los pasos por el primer vertical permiten hallar la latitud, f, mediante la fórmula (19.1) (método de Struve).

1.8.2 Paso por un almucantarat de altura h

E1 problema tendrá solución bajo las siguientes condiciones según que el astro culmine al sur o al norte del cenit (Fig. 32.1):

FIG 32.1

FIG 33.1

Aplicando la fórmula de Borda:

al triángulo polo-cenit-astro (Fig. 33.1), tendremos:

donde las dos determinaciones, positiva y negativa, se corresponden e indican que el paso es occidental u oriental, respectivamente.

Casos particulares

a)Paso por el horizonte: En este caso se suelen considerar como incógnitas el arco semidiurno, H, y la amplitud, a' (recordar (1.6.1). Para un astro de declinación fija las amplitudes ortiva y occídua son iguales. E1 triángulo polo‑cenit‑astro es rectilátero y permite resolver el problema (Fig. 34.1):

FIG 34.1

Procediendo como en casos anteriores, si H es pequeño:

Si el problema tiene solución, la raiz nunca es imaginaria. En efecto, si el astro no es circumpolar, 90° ‑ D > f por lo que cos (f + D) > 0. Y como:

restando ordenadamente, resulta:

y, por tanto,

Además, como que 90° ‑ D > f , tomando cosenos y recordando que el coseno es una función decreciente:

a’ sólo posee una determinación (la menor de 90°) y H posee dos, según se considere el orto o el ocaso (negativa o positiva respectivamente).

FIG 35.1

b) Orto y ocaso del Sol: Para el caso del Sol (como para el caso de la Luna) es necesario considerar una corrección DH al arco semidiurno H, debido a que cuando el Sol está en su orto o en su ocaso la altura de su centro es de ‑50' (Fig. 35.1) (re­cordar1.6.5). Para obtenerla diferenciaremos la fórmula de conversión de coordena­das horarias a horizontales,

con lo cual obtendremos:

Considerando la dh como un incremento, teniendo en cuenta que cos h

1 y que 50' = 200s, resulta:

habiéndose obtenido H mediante la fórmula hallada en el apartado anterior, Dicha corrección siempre es aditiva, dado que su signo ya viene dado por sen H.

1.9 Refracción astronómica

1.9.1 Primera aproximación

La luz se propaga en línea recta en el vacío o en los medios transparentes homogéneos. Como que la atmós­fera terrestre no es homogénea, al propagarse en ella, la luz experimenta una desviación. La dirección según la cual observamos los astros forma con la dirección en la que deberíamos observarlos, si no existiera el fenómeno de la refracción, un ángulo llamado refracción astronómica (ver 1.6.3).

Podemos dar una teoría de la refracción, suficiente en la mayoría de las aplicaciones, suponiendo:

1°) que la densidad del aire decrece con la altitud y no depende más que de la altitud.

2°) que las superficies de igual densidad, también superficies de igual índice de refracción, son planos horizontales. Se desprecia la curvatura de la Tierra.

FIG 36.1

Para simplificar el razonamiento sustituyamos esta atmósfera, cuyo índice de refracción decrece de manera continua, por una atmósfera formada por capas homogéneas muy delgadas, separadas por superficies refringentes planas y horizontales. La capa índice n tiene encima una capa de índice n+dn (siendo dn negativo) y el rayo luminoso que procede del suelo y va a parar al pun­to B de la superficie de separación, formando un ángulo de incidencia z, se refracta con un ángulo de refracción z+dz (Fig. 36.1). Apliquemos la ley de Descartes:

La cantidad nsenz se mantiene constante a lo largo del rayo luminoso y esta propiedad se conserva si se au­menta indefinidamente el número de capas. Admitiremos que dicha constancia se mantiene aun con una variación continua del índice de refracción.

FIG 37.1

Cuando nos separa­mos del suelo si­guiendo el rayo luminoso, n decrece y por consiguiente z aumenta: el rayo vuelve su concavi­dad hacia el suelo (Fig. 37.1). Supon­gamos que parte de un punto O en el cual el índice de refracción es n_o y que forma con la vertical en O un ángulo z₀. El rayo se mantiene siempre en el plano vertical que contiene su tangente en O: No hay refracción en acimut. Sigamos al rayo luminoso hasta su salida de la atmósfera refringente, es decir, hasta donde la curvatura se hace despreciable y el índice de refracción del medio es la unidad. La tangente al rayo luminoso, que se ­confunde con su asíntota, forma entonces un ángulo z₁ con la vertical en el punto O (Fig. 37.1). Se llama refracción astronómica la diferencia:

Supongamos ahora que el rayo proviene de un astro E cuya distancia cenital verdadera es z₁. E1 observador situado en O ve este astro en la dirección de donde le llega la luz, es decir en la dirección de la tangente en O al rayo luminoso, siendo z_o la distancia cenital observada: la refracción astronómica acerca los astros al cenit. Puesto que el producto nsenz es constante, tenemos:

de donde:

(19.1)

R es lo suficientemente pequeño como para que, en primera aproximación, se pueda confundir su seno por el arco expresado en radianes y reemplazar su coseno por la uni­dad. La ecuación (19.1) es entonces:

y haciendo

también:

(20.1)

fórmula aproximada para z₀ £ 60°.

En condiciones normales de temperatura y presión (0°C, 76 cm de mercurio), el índice de refracción del aire es n_o = 1,00029255 para una longitud de onda de 0'',575, para la cual en general las lentes son acromáticas. Se tiene pues, en tales condiciones:

valor de la refracción normal para z₀ = 45°.

A la temperatura t y a la presión P, se tiene, ad­mitiendo la Ley de Gladstone:

En estas condiciones, para un lugar de observación a la temperatura t (en grados centígrados) y la presión P (en centímetros de mercurio), la refracción valdrá, se­gún (20.1):

(21.1)

1.9.2 Fórmula de Laplace

La fórmula (21.1), válida con buena aproximación cerca del cenit, no puede utilizarse para astros que se hallen cerca del horizonte. Entonces no pueden despre­ciarse la curvatura de la Tierra ni la de las superficies de igual índice de refracción, ya que el rayo luminoso recorre una distancia mucho mayor por la atmósfera re­frigente.

Se demuestra que el invariante de la refracción adopta ahora la forma nrsen z=cte., donde r es la distancia al centro de la Tierra, y que la refracción viene dada por la fórmula de Laplace:

(22.1)

con bo=l₀/r₀, donde l₀ es la latitud que tendría una atmósfera homogénea cuyo peso especifico fuera el del aire en O y que ejerciera en O la misma presión que la atmósfera real y r₀ es el radio del observador. Calculando los valores de los coeficientes de tan z₀ y tan³ z₀ de la fórmula (22.1), en condiciones normales se obtiene para R:

fórmula válida hasta alrededor de los 80° de distancia cenital.

1.9.3 Refracción en las proximidades del horizonte

Con una buena aproximación, la fórmula de Laplace nos da la refracción astronómica para valores no muy grandes de la distancia cenital, sin hacer ninguna hipótesis sobre la ley de distribución de las densidades en la atmósfera. Si se diera a priori una tal ley, se po­dría prolongar la fórmula de Laplace y obtener un desa­rrollo alternado según las potencias impares de tan z₀ (que dejaría de ser convergente en el horizonte) de la forma:

(23.1)

La refracción normal vendría dada entonces por la fórmula:

Los dos primeros términos de (23.1) nos dan la fórmula de Laplace (22.1) válida para la astronomía meridiana, pues las medidas precisas de las distancias cenitales no se realizan más allá de los 60°.

Hay fórmulas finitas que permiten establecer la refracción cerca del horizonte. Por ejemplo:

donde

y Y representa la función

Si en ella tomamos a₀ = 60'',343 y a = 0,0011078 obtenemos, en condiciones normales:

siendo en el mismo horizonte:

La ley empírica, puesta en evidencia con ocasión de la fórmula de Laplace, según la cual la refracción astronómica es prácticamente independiente de la ley de densidad de la atmósfera se verifica de una manera muy satis­factoria hasta la distancia cenital de 85°. Es solamen­te a partir de observaciones realizadas de 2° ó 3° del horizonte cuando se podrá esperar deducir la ley de densi­dad. Pero, entonces, las refracciones anormales que se manifiestan con tanta frecuencia a la salida y puesta del Sol, que deforman el disco de un modo tan aparente, res­tarán mucha precisión a las mediciones.

En el Anuario de San Fernando se da para la refrac­ción la fórmula:

donde el factor R' = R₀ (1 + Aa) se denomina refracción corregida de temperatura y donde R₀ es la refracción normal calculada para una latitud de 45°, una altitud de cero metros, una temperatura de cero grados centígra­dos, una presión de 1 tor (a 0°C) y una presión de vapor de agua de 6 mm de mercurio. R_o está tabulada en fun­ción de la distancia cenital. Los parámetros A, B, a, b, también tabulados, son tales que: A es función de la temperatura, B es función de la presión, a es función de la distancia cenital z₀ si 45° £ z₀ £ 81° y ade­más de la temperatura si z₀ ³ 81° (si z₀ < 45° se toma a = 1), b es función de R' si z₀ > 60° (si z₀ < 60° se toma b = 1).

1.9.4 Corrección de refracción en coordenadas horizontales y horarias

En coordenadas horizontales la refracción sólo modifica la altura, no el acimut. Si el índice o designa las coordenadas observadas y el 1 las corregidas tenemos:

FIG 38.1

Esta situación cam­bia al considerar un sistema de coordenadas horarias. Sean E la posición real de un astro y E₀ la posición aparente debida a la refracción. E y E₀ se encuentran sobre un mismo vertical y la diferencia de sus alturas constituye la refrac­ción astronómica R (Fig.38.1) . Si trazamos por E₀ un paralelo celeste, y llamamos F a su intersección con el horario que pasa por E, obtenemos dos triángulos no esféricos (un paralelo no es, en general, un círculo máximo). No obstante, al ser R pequeño, podemos considerar PFE₀ como un triángulo esférico y FEE₀ como un triángulo plano, con lo que si llamamos: