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2. LA TIERRA
2.1 Elipsoide terrestre
Debido a las irregularidades que presenta la superficie física de la Tierra, se hace necesario asimilarla a una cierta superficie más o menos ideal que reproduzca ciertas magnitudes físicas; es lo que corrientemente denominamos un "modelo".
A. – Modelo geométrico
Desde un punto de vista geométrico, la Tierra puede considerarse, en primera aproximación, como una esfera de radio 6.371 km y, en segunda aproximación, como un elipsoide de revolución. La esfera y el elipsoide son equivalentes, tanto en área como en volumen, y el radio de la esfera, llamado radio medio de la Tierra, es la media aritmética de los tres semiejes del elipsoide (aproximada al km).
Los elementos del elipsoide de revolución que fue adoptado como "elipsoide internacional" por la Asamblea General de la Unión Geodésica y Geofísica Internacional (U.G.G.I.), celebrada en Madrid en 1924, son:
radio ecuatorial: achatamiento:
de los que se deduce:
radio polar:
Como consecuencia de los resultados obtenidos mediante la observación de satélites artificiales, en la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional (U.A.I.), celebrada en Hamburgo en 1964, se recomendó trabajar con los siguientes elementos:
Ultimamente, en la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional que se celebró en Grenoble en 1976, se adoptó un nuevo sistema de constantes astronómicas, designado por IAU (1976), que entró en vigor el 1 de enero de 1984. En él se toma:
a = 6.378,140 km
B.‑ Modelo dinámico
B.‑ Modelo dinámico
El potencial creado por la Tierra no es de revolución. Ello se intenta explicar considerando que la Tierra, desde un punto de vista dinámico, se aproxima mediante un elipsoide de tres ejes cuyos elementos son:
a = 6.378,2 km
FIG 2.2
Consideremos el elipsoide como figura de referencia y un observador O situado sobre dicho elipsoide. Para este observador O, llamaremos (Fig. 2.2):
Vertical geodésica, Zg, a la dirección normal al elipsoide en O.
Horizonte geodésico, Hg, al plano tangente al elipsoide en O.
Vertical astronómica, Za, a la dirección normal al geoide que pasa por O (la dirección de la plomada).
Horizonte astronómico, Ha, al plano tangente al geoide en O.
FIG 1.2
El elipsoide de revolución es una sencilla figura geométrica de referencia, pero que se aparta algo de la forma real de la Tierra. Por eso se define el geoide relativo a un punto como la superficie ortogonal en cada punto a la dirección de la gravedad. Difiere en ±100 m del elipsoide de referencia. La figura teórica que se obtiene es una superficie que, coincidiendo con la superficie media de los mares (hecha abstracción de mareas y corrientes), se prolonga hipotéticamente por debajo de los continentes. Para ajustar el geoide real al teórico se ha de efectuar una compensación de masas.
donde f y fe son el achatamiento polar y el achatamiento ecuatorial, respectivamente.
Desde 1958, por observación de las anomalías orbitales del satélite artificial Vanguard 1958 b2, se sabe que, en cuanto se refiere a la distribución de masas, la Tierra tiene forma de pera. En la figura 1.2 la comparamos con el elipsoide.
Desviación de la vertical, , al ángulo que forman las verticales geodésica y astronómica. Su valor varia desde fracciones de segundo a un minuto de arco, lo que provoca errores de medida desde decenas de metros a 2 km.
La Tierra gira alrededor de un eje de rotación instantánea, o eje del mundo, que no coincide ni con el eje de figura del elipsoide ni con el tercer eje del elipsoide central de inercia. Sean (Fig. 3.2): O el centro del elipsoide, T el centro de gravedad de la Tierra, i el eje instantáneo de rotación, e el eje de figura del elipsoide y e' el tercer eje del elipsoide central de inercia. Se definen los siguientes elementos:
FIG 3.2
Ecuador instantáneo, Qv, plano que pasa por el centro de gravedad de la Tierra y es ortogonal al eje instantáneo.
Ecuador medio, Qm, plano que pasa por el centro del elipsoide y es ortogonal al eje de figura.
Latitud astronómica, ángulo que forma la vertical astronómica con el ecuador instantáneo.
Latitud geodésica, ángulo que forma la vertical geodésica con el ecuador medio.
En lo que sigue se considerará que el centro del elipsoide coincide con el centro de gravedad de la Tierra (O=T) y que el eje de figura coincide con el tercer eje del elipsoide central de inercia (e=e'). Esto equivale a despreciar los desplazamientos de T y de e', debido a movimientos de masas interiores, y a considerar un eje y un ecuador medios que contienen los tres ejes del elipsoide central de inercia.
2.1.1 Posición sobre la superficie de la Tierra
Entre los diversos autores, no hay un criterio unánime para definir las coordenadas geográficas. Unos consideran como geográficas las astronómicas medias mientras que otros toman como geográficas las geodésicas. Así lo haremos nosotros, llamando coordenadas geográficas a las geodésicas, considerando los meridianos y los paralelos sobre un elipsoide de revolución cuyos ejes mayores estén situados en el ecuador medio y cuyo eje menor sea el eje polar medio. La longitud geográfica ya ha sido definida en el apartado 1.7.1.
Para fijar la posición de un lugar O situado sobre la superficie de la Tierra, es necesario conocer sus coordenadas rectangulares o polares con respecto a la elipse sección del elipsoide por el meridiano del lugar. Representemos, pues, la sección meridiana del elipsoide terrestre junto con su circunferencia principal (Fig. 4.2).
FIG 4.2
Sean T el centro de la Tierra, a el radio ecuatorial y c el radio polar. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas con origen en T y ejes X sobre a y Z sobre c. Sea, además, O un punto cualquiera del elipsoide. Si trazamos la vertical geodésica Zg (ortogonal al elipsoide) en O,
representará la latitud geográfica. Asimismo, , ángulo del vector de posición de O con el eje X, se denomina latitud geocéntrica de O. La diferencia:
se llama ángulo de la vertical y, como se demostrará, es siempre v<12'.
Sea Q la intersección de la ordenada por O con el círculo principal. El ángulo u que forma TQ con el eje X se denomina latitud reducida.
Se trata de hallar las coordenadas cartesianas (x,z) y las coordenadas polares (a, r,
) del punto O, siendo el radio vector TO del punto O medido en unidades del semieje mayor (), y, posteriormente, relacionarlas con f .
Recordando que la elipse y su circunferencia principal son afines, según una afinidad ortogonal de eje el mayor de la elipse y razón c/a, podemos escribir:
y teniendo en cuenta que:
obtendremos:
(1.2)Como, además:
(3.2)
Por otra parte, recordando la pendiente de la normal a una curva, según (1.2), por definición de latitud geográfica:
(4.2)
Comparando con la anterior igualdad (3.2), obtenemos en función de :
(5.2)
según se sigue de las definiciones de achatamiento, f, y de excentricidad, e.
Si hacemos:
y, según (4.2):
y operando:
y, según (4.2):
(8.2)
y, teniendo en cuenta (8.2):
de donde, finalmente:
(9.2)
Para hallar el ángulo de la vertical en función de O escribiremos:
y según (5.2):
y teniendo en cuenta que
y que , será:
y haciendo
queda finalmente:
lo que implica
y finalmente:
2.1.2 Corrección de coordenadas por altitud
FIG 5.2
Si el observador se encuentra sobre un punto O' situado a una altitud h sobre el elipsoide de referencia, veamos cuales serán las correcciones , Dx, Dz, Dr, Df’ que aplicadas a las coordenadas de O nos darán las coordenadas de O' (Fig. 5.2). Sea T el centro de la Tierra y TQ la proyección de TO' sobre TO. Tendremos:
y también
de donde
Si sustituimos la tangente de Df’ por el arco (v < 12', por lo que es una aproximación razonable), resulta:
y despreciando términos de segundo orden:
Si definimos la altitud reducida H=h/a, obtenemos las correcciones en coordenadas polares:
(13.2)
En coordenadas cartesianas la corrección será:
(14.2)
2.2 Paralaje diurna
Las distancias a que se encuentran los astros del sistema planetario de la Tierra no pueden considerarse como infinitas respecto a las dimensiones de ésta, y, por ello, las visuales dirigidas a un mismo astro desde lugares distintos de la Tierra no pueden considerarse paralelas. De ahí se deduce la necesidad de reducir todas las observaciones a un mismo punto con objeto de hacerlas comparables. Este punto es el centro de la Tierra. A las coordenadas así obtenidas se las llama geocéntricas, mientras que las relativas a cada observador se denominan topocéntricas. La corrección que hay que aplicar para pasar de coordenadas topocéntricas a geocéntricas recibe el nombre de corrección de paralaje diurna.
2.2.1 Coordenadas horizontales
FIG 6.2
En primera aproximación, para comprender el fenómeno, consideremos la Tierra esférica de radio medio R y estudiemos la corrección de paralaje diurna en coordenadas horizontales. Sea O el centro de la Tierra,O' el observador y M y Mh el astro cuando se encuentra en una posición cualquiera y cuando se encuentra sobre el horizonte de O' respectivamente (Fig. 6.2). El plano de la figura es el plano que pasa por O, O' y M; es decir, el vertical que pasa por M. Dicho plano contiene el cenit del lugar de observación y por consiguiente la paralaje afectará únicamente la altura y no el acimut. Sea r la distancia de M al centro de la Tierra (supuesta constante en el transcurso del día); z la distancia cenital geocéntrica de M y z' la distancia cenital topocéntrica. Sean, además, p la paralaje en altura o ángulo bajo el cual se ve desde M el radio de O' y ph la paralaje horizontal o ángulo bajo el cual se ve desde Mh el mismo radio. En el triángulo OO'M se verifica:
(15.2)
y en el OO'Mh
(16.2)
o aproximando por el ángulo:
Aplicando el teorema de los senos al triángulo OO'M, tenemos:
es decir,
y por (16.2):
(17.2)
Si exceptuamos los satélites artificiales y la Luna, dada la pequeñez de p y ph, en (17.2) podemos sustituir los senos por los arcos:
y por (15.2):
(18.2)
igualdades que constituyen la corrección de paralaje diurna en coordenadas horizontales.
2.2.2 Coordenadas horarias
Consideremos ahora la Tierra como un elipsoide de revolución y estudiemos la corrección de paralaje diurna en coordenadas horarias.
Se llama paralaje horizontal ecuatorial p0 de un astro M el ángulo bajo el cual el radio ecuatorial de la Tierra.
Se verifica:
(recordemos que a = 6.378,140 km).
En el caso del Sol, se designa por P0 su paralaje horizontal ecuatorial cuando se encuentra a una unidad astronómica de distancia (1 u.a.
km). Si se toma como unidad de longitud dicha distancia media,P0 en segundos valdrá:
FIG 7.2
Es evidente que
Si medimos P0 en radianes y las distancias en u.a., el radio del observador será, evidentemente P0r. Para la deducción de la corrección representamos la traza del elipsoide terrestre por el plano meridiano que pasa por el observador O', y trasladamos su sistema local de coordenadas horarias X’,Y’,Z’, al centro de la Tierra, conservando fijo el plano X’Y’. Tendremos el sistema X,Y,Z, donde XZ define el mismo plano que X'Z' (Fig. 7.2). Sean (r,H,D) las coordenadas horarias geocéntricas de un astro M y (r’,H’,D') las coordenadas horarias topocéntricas del mismo. f' y r se obtienen de f, l, h, supuestas conocidas.
(19.2)
donde r está contenido en el plano meridiano de O'. Expresando (19.2) por sus componentes obtenemos las relaciones
(20.2)
que constituye un sistema de tres ecuaciones que nos permite determinar las tres incógnitas r, H, D. Si el astro M se encuentra muy alejado (), pueden simplificarse los cálculos mediante el empleo de fórmulas diferenciales.
Consideremos el anterior sistema de coordenadas X,Y,Z, de centro O, y un sistema de coordenadas X’’, Y’’, Z’’ (Fig. 8.2) con centro en el astro M definido de la siguiente forma:
FIG 8.2
Eje X" tangente al meridiano de M creciente en el sentido de las declinaciones decrecientes; eje Y" tangente al paralelo de M creciente en el sentido de los horarios crecientes; eje Z" en la dirección y sentido creciente del radio vector
, estando los dos triedros orientados en sentido retrógrado. Podemos pasar de una base a otra mediante un número finito de rotaciones.
Si definimos:
(21.2)
siendo las magnitudes con tilde las topocéntricas y las otras las geocéntricas, según (19.2):
Si consideramos a como un vector libre, lo podemos situar con origen en el astro M y hallar sus coordenadas con respecto a la base X" Y" Z" que obtendremos en función de las correcciones (21.2). Representando las dos expresiones de
en esta misma base X" Y" Z" e identificando obtendremos un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas serán las correcciones (21.2).
Para ello descompongamos según sus componentes diferenciales en X" Y" Z"
(la primera componente es negativa al considerarla en el sentido de las declinaciones decrecientes). Pasemos las componentes de según XYZ a las componentes según X"Y"Z", para lo cual se precisan dos giros: uno de amplitud H alrededor de Z que transforma X Y Z en X’Y’Z’, y otro de amplitud 90º-D alrededor del eje Y’ que transforma X Y Z en X”Y”Z”.
El primero tiene lugar alrededor del tercer eje, en sentido positivo, luego se consigue aplicando R3(H); el segundo alrededor del segundo eje y también en sentido positivo, es decir, se consigue aplicando la matrizR2(90° ‑ D). Luego, tendremos:
y operando e identificando:
(22.2)
En Astronomía de posición sólo se consideran las dos primeras igualdades. Teniendo en cuenta que q=A+H, por lo que
, y que viene expresado en segundos de arco, tenemos:
(23.2)
donde r se mide en unidades astronómicas y
vendrá expresado en segundos de tiempo. Dichas igualdades también se escriben:
donde
denominándose PD factor paraláctico en declinación y PA factor paraláctico en ascensión recta.
Por definición de
(24.2)
y es:
Los factores cos y sen se pueden obtener de los Anuarios para distintas latitudes en función de S, C y (ver, por ejemplo, "Efemérides Astronómicas", Instituto y Observatorio de Marina, San Fernando (Cádiz)). Para hallar r se parte observaciones simultáneas de M desde dos puntos distintos de la Tierra. En un mismo instante será:
debiéndose obtener la misma r a partir de las ascensiones rectas y declinaciones. En el cálculo de los factores paralácticos es indiferente tomar coordenadas topocéntricas o geocéntricas.
2.3 Potencial terrestre
2.3.1 Expresión del campo gravitacional terrestre bajo la forma de un desarrollo en polinomios de Legendre
Sea P un punto de la superficie de la Tierra o exterior a ella, sometido a la atracción de la partícula de masa dm situada en el interior de la Tierra. Sea O, centro de gravedad de la Tierra (la cual suponemos de momento de forma cualquiera y de masa M) el origen de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares X, Y, Z;
el vector de posición de dm y el vector de posición de P, con respecto a O; sea además
el vector con origen en el elemento de masa dm y extremo en el punto P y el ángulo que forman los vectores y (Fig. 9.2). El potencial en el punto P debido a dicha masa es:
FIG 9.2
(25.2)
donde G es la constante de la gravitación universal y
con
Se tiene, sustituyendo en (25.2):
(26.2)
La expresión entre paréntesis puede ser desarrollada en serie convergente de polinomios en
, llamados polinomios de Legendre [1].
polinomios cuya expresión general es:
siendo los primeros:
El potencial V debido a la masa total M de la Tierra será, pues:
siendo (l, p, n) las componentes del vector y (x,y,z) las del vector .Pero, si el origen del sistema de referencia está situado en el centro de masas de la Tierra, es:
y por tanto,
(28.2)
Para obtener esta nueva integral, teniendo en cuenta que , hagamos:
habiéndose tenido en cuenta, para integrar, las relaciones que nos dan los momentos de inercia con relación a los ejes coordenados:
y los momentos centrífugos con relación a los planos coordenados:
siendo el tensor de inercia:
es decir, teniendo en cuenta que la traza del tensor de inercia es:
y que
resultará
o también:
(29.2)
2.3.2 Simplificaciones
Si la Tierra presentase una distribución esférica de masas, sería:
y entonces:
y por tanto
Si como caso particular tomamos como ejes coordenados X,Y,Z los principales de inercia de la Tierra con respecto a su centro de gravedad, los momentos centrífugos F, G, H son nulos y sólo quedan los momentos principales A,B,C. Si además suponemos que la distribución de masas de la Tierra es de revolución alrededor del tercer eje principal de inercia (eje Z), los momentos principales de inercia serán iguales (A=B) y entoncesI adoptará la forma
con lo que
y el potencial será:
y recordando que :
(30.2)
Para astros suficientemente alejados podemos suponer que el ecuador terrestre es el plano determinado por los dos ejes principales iguales X,Y. Entonces, el ángulo formado por la recta que une el centro de masasO con el punto P(X,Y,Z) y el ecuador es la declinación D de P, siendo
Haciendo además
(31.2)
Si hubiésemos considerado más términos de la serie (27.2), hubiésemos obtenido
J2 recibe el nombre de factor de la forma dinámica de la Tierra y es una de las constantes primarias de la Astronomía y Geodesia. Su valor actual (sistema de constantes IAU (1976)) es:
J2 = 0,00108263
Los armónicos J3 y J4 son negativos y del orden de ‑2.10-6. El primer armónico que denota la “forma de pera" de la Tierra es el J3, lo cual es debido a que P3 es impar en sen D y, por tanto, en D. Dicha forma implica que el plano ecuatorial no sea de simetría del potencial.
2.3.3 Aceleración j de la gravitación
De la expresión (31.2) podemos deducir las componentes de la aceleración total J:
(33.2)
Si la Tierra presentase una distribución esférica de densidades sería J = 0 y
FIG 10.2
Pero, J es distinto de cero, y en un punto simétrico, con declinación ‑D, la aceleración radial jr es la misma y la aceleración perpendicular jp varía de signo pues en ella figura el sen 2D. En cambio, si la declinación es complementaria la componente perpendicular es la misma:
A igualdad de distancia r, la componente perpendicular de la aceleración es máxima a los 45°. Por otra parte jp se anula en el ecuador y en los polos.
Si tenemos en cuenta (29.2):
(34.2)
El primer término es central. El tensor I aplicado al vector de componentes (X,Y,Z) es:
[1] si desarrollamos por la fórmula del binomio de Newton los coeficientes de hn son los polinomios .
2.4 Potencial de la gravedad
Si un punto P está situado sobre la superficie de la Tierra, además de experimentar una aceleración debida a su atracción experimenta una aceleración debida a su rotación. Gravedad es la resultante de la aceleración de la gravitación
y de la aceleración centrífuga .
FIG 11.2
En la Fig. 11.2 , D = f' (latitud geocéntrica). El radio de giro es r cosD y, por tanto, si llamamos w a la velocidad angular de la Tierra, la aceleración centrífuga vale
y deriva de un potencial centrífugo
(35.2)
El potencial de la gravedad será la suma de los potenciales gravitatorio terrestre y centrífugo:
(36.2)
Llamando q al cociente entre la aceleración centrífuga y la atracción en el ecuador, suponiendo la Tierra esférica de radio ecuatorial a
(37.2)
El geoide es una superficie equipotencial de la gravedad, es decir que w se mantiene constante sobre la superficie del geoide. En consecuencia, si igualamos la expresión (37.2) a una constante, tendremos en forma aproximada (pues hemos escrito para el potencial V sólo los términos hasta 2° orden), la ecuación del geoide (W = Cte.). Pero, esta ecuación es difícil de manejar, por lo que se aproxima al geoide por el elipsoide. Dado que el elipsoide difiere del geoide en ± 100 m, supondremos que coinciden, es decir, consideraremos la superficie del elipsoide como una superficie equipotencial de la gravedad. En particular, el potencial será el mismo en el ecuador que en el polo.
En el ecuador,
en el polo,
e igualando ambas expresiones:
(38.2)
y recordando que el achatamiento es
se tiene
(despreciando términos a partir de f2)y sustituyendo en (38.2):
operando y despreciando términos a partir de f2:
y, como según la observación, J y f son del mismo orden:
de donde
(39.2)
fórmula que nos dice que J puede conocerse a partir de f mediante triangulaciones geodésicas.
Por ser W el potencial de la gravedad se verifica:
siendo ortogonal al elipsoide en cada punto, por lo que su componente en la dirección del radio vector será
(40.2)
donde v es el ángulo de la vertical (radio vector normal) cuyo desarrollo en función de la latitud geodésica es
donde
luego,
y desarrollando en serie cos v:
y
(41.2)
Tengamos en cuenta que r y D no son independientes sobre el elipsoide y veamos como varía g con la declinación. Para ello, vamos a hallar una relación entre r y D. A partir de la ecuación cartesiana de la elipse
operando y considerando errores en f2:
Por tanto
que puede escribirse en la forma
(42.2)
En esta expresión (42.2) debemos determinar el valor de k, para lo cual tenemos en cuenta que en el polo D = 90° , sen D = 1 y
(43.2)por consiguiente:
(44.2)
Conoceremos, pues, k cuando calculemos el valor de la gravedad en el ecuador y en el polo.
El valor de la gravedad en el ecuador es:
y sustituyendo J por su valor (39.2), tendremos:
expresión llamada fórmula de Jeffreys. Observemos que si la Tierra no girase, q = 0, y no fuese achatada, f = 0, sería
Procediendo, análogamente que en la deducción de la fórmula de Jeffreys, podemos deducir, a partir de (41.2) el valor de la gravedad en el polo
(45.2)
expresión llamada fórmula de Claireaud, gracias a la cual podemos conocer f utilizando únicamente mediciones gravimétricas. Es decir, midiendo la gravedad con un péndulo en distintos puntos de la Tierra podremos determinar su forma.
En la práctica la fórmula de Claireaud suele darse en función de la latitud geográfica f
Veamos el error que cometemos con esta aproximación. Recordemos que
Luego:
y desarrollando en serie:
y como que D = f'
Elevando al cuadrado y considerando errores en f2 como hasta ahora:
si introducimos
en (45.2), vendrá multiplicado por un término lineal en f y por tanto, el término será del orden de f2 y lo podremos despreciar. Vemos pues que al sustituir por cometemos un error del orden de f2 que es el error en que nos movemos.
Si no despreciásemos dichos términos obtendríamos:
(46.2)
(según acuerdo de la Asamblea General de la Unión Internacional de Geodesia celebrada en Moscú el año 1971).
2.4.1 Corrección por altitud
La expresión (46.2) ha de corregirse de varios factores, entre los cuales el más importante es la altitud del observador. Suponiendo que la Tierra no gira (q=0) y que es una esfera de radio r (no es achatada) se tiene, según (41.2):
y diferenciando:
por lo tanto a la gravedad que hemos obtenido se le tiene que restar la corrección debida a la altitud. Si llamamos h a la altitud expresada en metros, el término correctivo vale ‑0,0003090 h cm/seg2.
2.5 Rotación libre
Consideremos la Tierra como un sólido rígido e introduzcamos dos sistemas de referencia directos: uno inercial X,Y,Z y otro solidario a la Tierra x,y,z ambos con origen en el centro de gravedad de la misma. Interesa estudiar, en los dos sistemas, la rotación de la Tierra libre de fuerzas exteriores.
Sean:
el momento cinético de la Tierra respecto al sistema inercial, la velocidad angular de la Tierra respecto al sistema inercial, el momento cinético de la Tierra respecto al sistema móvil, la velocidad angular de la Tierra respecto al sistema móvil, I el tensor de inercia de la Tierra,
el momento de las fuerzas exteriores.
En la rotación libre de un cuerpo se considera que, sobre el mismo, no actúan fuerzas exteriores al sistema, por lo que
2.5.1 Movimiento respecto al sistema inercial
En el sistema inercial se verifica
derivando esta expresión respecto al tiempo, teniendo en cuenta que al considerar la Tierra como un sólido rígido es I = cte., tenemos:
(47.2)
pero en un sistema inercial (y sólo en un sistema inercial)
por tanto, en la rotación libre, . Es decir, el momento cinético se mantiene constante con respecto al tiempo. Además, según la expresión (47.2)
(48.2)
que constituye un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas (las componentes de ), cuya matriz de los coeficientes es I. Como que el determinante de I no es nulo, la única solución del sistema (48.2) es la trivial:
por lo que también es constante. En conclusión, la velocidad angular de la Tierra se mantiene constante y su eje de rotación permanece fijo en el espacio.
2.5.2 Movimiento respecto al sistema no inercial
Sabemos que la relación entre las variaciones respecto al tiempo de un vector genérico en los ejes inerciales y en los ejes móviles es:por lo que en particular se verificará:
Pero,
y por tanto:
que es la ecuación diferencial de la rotación libre llamada ecuación de Euler.
Sabemos que si suponemos coincidentes los ejes x,y,z con los ejes principales de inercia de la Tierra y, además, suponemos que la distribución de masas presenta simetría de revolución alrededor del eje z (hipótesis muy próxima a la realidad), el tensor de inercia adopta la forma diagonal
Si designamos por p,q,r las componentes de en el sistema móvil, la ecuación de Euler se escribe:
O también:
que equivale al sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:
(49.2)
De la última ecuación se deduce directamente que la componente r de según el eje z es invariable.
Si r es constante, también lo será y sustituyendo en (49.2) tendremos
pero, según la segunda
por lo que
cuya solución es
Pero, por el teorema de Euler:
y tomando convenientemente el origen de tiempos:
cuya solución es:
por lo que
es decir, es de módulo constante.
Por otra parte, que la componente r según z de sea constante significa que el extremo de se mueve siempre sobre un plano ortogonal al eje z. Además, el extremo de la proyección sobre el plano x,y de , de coordenadas p,q describe una circunferencia de radio a, parametrizada en z, con una velocidad angular m. Se deduce, por tanto, que describe con velocidad angular m, un cono de revolución alrededor del eje z (tercer eje central de inercia o eje de figura) de semiabertura q constante puesto que como se puede observar en la figura 12.2
FIG 12.2
En suma, el eje instantáneo de rotación describe un cono de revolución alrededor del eje de figura con un periodo
Experimentalmente se ha comprobado que q es del orden de dos décimas de segundo de arco, lo que implica que y, por tanto, que , es decir:
y dado que
(realmente es un día sideral pero la diferencia es despreciable) y del valor teórico
FIG 13.2
2.5.3 Variación de la longitud y de la latitud instantáneas de un lugar
Debido al desplazamiento del polo instantáneo variarán las coordenadas instantáneas l,f de todos los puntos de la Tierra.
El eje instantáneo de rotación de la Tierra no se mantiene fijo y, por tanto, el ecuador instantáneo, plano normal a aquél, también variará con el tiempo. Al medir el ángulo formado por la vertical con el ecuador medio y con el ecuador instantáneo, se obtiene, respectivamente, la latitud astronómica media fm y la latitud astronómica instantánea f.
Interesa conocer las correcciones Df, Dl que deberán aplicarse a las coordenadas medias fm,lm, que pueden considerarse constantes, para obtener las instantáneas:
se deduce
P = 305 días sidéreos
Dicho periodo teórico, llamado período euleriano difiere del real observado por Chandler que es de 430 días sidéreos. Newcomb explicó dicha discrepancia suponiendo que la Tierra no era rígida, por lo que los momentos centrífugos no son nulos (I no es diagonal). En el cálculo utilizó los módulos de elasticidad (de Young y de Poisson) obtenidos mediante el estudio de la propagación de las ondas sísmicas. Además, existe otro movimiento periódico, de periodo un año y semiamplitud de una décima de segundo de arco, debido a causas meteorológicas. Como que los dos periodos no son conmensurables, ello motiva que, para un observador terrestre, el polo instantáneo Pi se desplace dentro de un cuadrado de lado 0"6 (unos 20 metros), centrado en el polo medio Pm (extremo del tercer eje del elipsoide central de inercia o eje de figura), siguiendo una trayectoria irregular abierta llamada polodia (Fig. 13.2).
FIG 14.2
Las coordenadas esféricas de un punto genérico M situado sobre la superficie terrestre serán (r,fm,lm) en el primer sistema y (r',f,l) en el segundo.
Sabemos que el ángulo q formado por el eje z y el z' es muy pequeño, por lo que podemos considerar que el polo instantáneo se encuentra en el plano tangente a la Tierra trazado por el polo medio. Si en dicho plano tangente introducimos unos ejes de coordenadas x,h, paralelos, respectivamente, a los ejes x e y, podremos identificar las coordenadas (x ,h) del polo instantáneo en este nuevo sistema con los ángulos que subtienden desde el centro de la Tierra O.
Para pasar del triedro x,y,z al x',y',z' es preciso realizar una rotación de ángulo ‑h alrededor del eje x (con lo que el eje z pasa a ser zl y el eje y, yl), seguida de una rotación de ángulo x alrededor del eje yl (con lo cual z1 pasa a coincidir con el eje de rotación instantánea y el eje x xl pasa a ocupar la posición x'), es decir:
Se trata ahora de expresar Df y Dl en función de la posición del polo instantáneo Pi, sobre la superficie terrestre. Para ello consideraremos dos sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares, ambos de orientación inversa, x,y,z y x',y',z', definidos de la siguiente forma: El eje z dirigido hacia el polo medio; los ejes x e y sobre el ecuador medio, de tal modo que el plano zx sea el plano meridiano de Greenwich; el eje z'dirigido hacia el polo instantáneo; el eje x' tomado en la intersección con el ecuador instantáneo del plano determinado por el eje x y el polo instantáneo; el eje y' ortogonal a los anteriores (Fig. 14.2).
que matricialmente, teniendo en cuenta que la pequeña magnitud de x y h permite sustituir el seno por el arco y el coseno por la unidad, se expresa:
al ser x y h infinitésimos de segundo orden. Además, podemos escribir:
siendo I la matriz unitaria y por lo queRecordemos ahora las fórmulas de la paralaje diurna en coordenadas horarias (2.2.2)
Como que los sistemas de coordenadas que hemos definido son de orientación inversa, al igual que el de coordenadas horarias, podemos aplicar dichas fórmulas directamente haciendo en ellas
con lo que obtenemos:
relaciones de las que sólo nos interesan las dos primeras.
Teniendo en cuenta que
podemos escribir dichas relaciones de la forma:
y, en definitiva:
En particular, de la segunda fórmula se deduce que la longitud instantánea de Greenwich no es nula, aunque si muy pequeña, lo que nos autoriza a tomar
, , y como , se tendrá:
de lo cual es una cota superior
2.6 Rotación forzada
Hemos visto en el apartado anterior que tomando como origen el centro de gravedad de la Tierra, podemos considerar dos sistemas de referencia: uno de ejes móviles con la Tierra x,y,z, y otro X,Y,Z, fijo en el espacio. Según el teorema del momento cinético, designando, como antes, por
el momento cinético de las fuerzas exteriores en el sistema móvil, se tiene ahora
(51.2)
donde supondremos que no es nulo y que, en particular, es debido a la interacción gravitatoria con un astro, que consideraremos puntual, de masa m' y radio vector .FIG 15.2
Sobre cada elemento de masa dm de la Tierra de vector de posición y distancia p al astro, actúa una fuerza
Así pues, sobre la Tierra actúa un sistema de fuerzas que sabemos que siempre puede reducirse a una resultante general y a un momento resultante. La resultante será:
(V potencial terrestre)
y el momento resultante
es decir
y teniendo en cuenta que , obtenemos para el momento de las fuerzas exteriores en el sistema móvil:
pero
; y, si suponemos la Tierra rígida, I es constante, por lo que , es decir:
ecuación diferencial que recibe el nombre de ecuación de Euler generalizada. Para resolverla procederemos análogamente al apartado anterior. Consideraremos que los ejes x,y,z son los ejes principales de inercia de la Tierra y que la distribución de masas de ésta presenta simetría de revolución alrededor del eje z. Con esto reducimos el tensor I a su forma diagonal con los dos primeros elementos de la diagonal principal iguales
FIG 16.2
Si las componentes de
en x,y,z son y las de son , la ecuación generalizada de Euler adopta la forma:
(53.2)
Como en la rotación libre, también ahora es constante la componente r de la velocidad de rotación .
Realicemos ahora un cambio de la base x,y,z a la base x',y',z' definida de la siguiente forma:
x' determinado por la intersección de los planos XY y xy; z'=z; y' ortogonal a los anteriores en sentido directo. Para ello efectuaremos un giro de ángulo ‑j alrededor del eje z=z'
de manera que si
se verifica, por ejemplo, que
es decir:
y derivando:
o sea:
dado que como ya se ha visto en el apartado anterior, el eje instantáneo de rotación es muy próximo al eje z y, por lo tanto,
resultando
Sustituyendo en las dos primeras ecuaciones de (53.2) las expresiones anteriores, resulta:
sistema que es equivalente a:
(55.2)
que resulta de multiplicar primero la primera ecuación de (54.2) por cosj y la segunda por senj y restar de la primera la segunda y después multiplicar la primera por sen j y la segunda por cos j y sumar.
Experimentalmente se demuestra que p y q varían muy lentamente, por lo que también variarán muy lentamente p' y q', y en una primera aproximación, podremos considerar nulas sus variaciones
, , obteniendo
(56.2)
que constituye la solución buscada y donde
con , constante que recibe el nombre de achatamiento dinámico de la Tierra.
2.6.1 Ángulos de Euler
La posición del triedro móvil x,y,z con respecto al inercial X,Y,Z suele darse mediante los ángulos de Euler. De entre las diversas convenciones existentes la más común en Astronomía es la indicada en la Fig. 17.2, donde:
y = ángulo de precesión
q = ángulo de nutación
j = ángulo de rotación propia
FIG 17.2
Si el único movimiento fuese el de rotación de la Tierra alrededor del eje z, variaría sólo j, sería su velocidad angular y y y q se mantendrían constantes. Pero, supongamos que varían los tres ángulos: wserá la rotación instantánea del triedro x,y,z (ligado a la Tierra) cuyas componentes en dicho triedro móvil son , las cuales expresaremos en función de los ángulos y, q y j . w será la suma de las rotaciones debidas a cada ángulo: . Proyectaremos sobre los ejes x,y,z y sumaremos las proyecciones:
(57.2)como que
y , la última componente queda reducida a
Nos interesa obtener en la referencia x',y',z'. Para ello proyectaremos sobre estos ejes y sumaremos. Obtendremos:
FIG 18.2
La teoría del movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol suministra y y K por las relaciones
(58.2)
2.7 Precesión y Nutación
2.7.1 Movimientos de los planos fundamentales a los que se refieren las coordenadas de los astros
La acción perturbatriz del Sol, la Luna y los planetas sobre la Tierra da lugar a que, en el transcurso del tiempo, cambien de posición en el espacio los planos fundamentales, eclíptica y ecuador, definidos por los movimientos de traslación y rotación de la Tierra con respecto a un sistema de referencia fijo.
Para definir las posiciones de la eclíptica E y el ecuador Q en una cierta época, suelen referirse éstos a un plano de referencia xo yo y una dirección origen en él (que puede ser, por ejemplo, la eclíptica y el punto Aries en una época determinada) dando la longitud del nodo y y la inclinación K de E respecto a xo yo, y la longitud del nodo ‑w y la inclinación ‑e de Q con respecto a E (Fig. 18.2).
cuyos segundos miembros constan de una parte de variación secular, en potencias crecientes de t, y de otra parte periódica P y Q.
Asimismo, la teoría del movimiento de rotación de la Tierra suministra directamente w-y y e en la forma:
cuyos segundos miembros constan también de una parte secular y una parte periódica P1 y Q1.
Tomando como plano de referencia x0 y0 el de la eclíptica E0 en la época en que se empieza a contar el tiempo, y despreciando los términos periódicos P y Q, dada su pequeñez, las relaciones anteriores toman la forma:
(59.2)
ya que, en efecto, ello equivale a hacer K=0, sen K=0 y para t=0, despreciando P y Q, queda p0=0, q0=0, siendo además, para t=0, w=y y por tanto, también, h0=0.
En términos generales, recibe el nombre de precesión las variaciones de la eclíptica, el ecuador y el equinoccio representadas por los términos seculares de (59.2) y el de nutación las variaciones de la eclíptica, el ecuador y el equinoccio representadas por los términos periódicos P1 y Q1.
En particular, los términos seculares de h reciben el nombre de precesión general en longitud y los de e la denominación de oblicuidad media de la eclíptica. El coeficiente h1 es la constante de precesión general en longitud y su valor por siglo juliano en la época J 2000,0 es h = 5029",0966. El valor de e0 en la época J 2000,0 es e0 = 23º 26' 21",448.
Los términos periódicos P1 y Q1 se denominan, respectivamente, nutación en longitud y nutación en oblicuidad.
2.7.2 Precesión y nutación solares
Como hemos indicado, la precesión y la nutación son debidas a la acción que sobre la Tierra producen los momentos de los astros perturbadores. Pueden ser de origen solar, lunar o planetario.
Estudiaremos en primer lugar la precesión y la nutación de origen solar.
FIG 19.2
Consideraremos un sol ficticio " que describa la eclíptica con velocidad angular n constante y con un radio R igual a la distancia media de la Tierra al Sol:
La longitud L de este sol ficticio crece proporcionalmente al tiempo, siendo L = nt si empezamos a contar el tiempo cuando el Sol pasa por el punto Aries.
Consideremos dos sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares con, origen común en el centro de gravedad de la Tierra: X,Y,Z tal que el plano fundamental X,Y sea el plano de la eclíptica y Z en la dirección del polo de la eclíptica; x',y',z' tal que x',y' sea el plano del ecuador, con x' hacia el punto Aries (Fig. 19.2), los dos orientados en sentido directo. Las coordenadas ecuatoriales del Sol son:
(60.2)
Sustituyéndolas en las relaciones (58.2) del apartado 2.6.1 teniendo en cuenta que ahora q =‑e, tendremos:
(61.2)
Como que e varía muy lentamente podemos considerarla constante (=e0) en los segundos miembros de (61.2) y con L=nt
donde
(m=masa del Sol)
Al integrar tendremos:
Con c1=y0.
Observemos que e, oblicuidad de la eclíptica, varía periódicamente con un periodo de medio año (T=365,25/2 , ya que 2n=2p/T)
El término recibe el nombre de nutación en oblicuidad.
En y aparece un término lineal en t que es la precesión en longitud y uno periódico que es la nutación en longitud. Esto implica que, con el tiempo, el punto Aries va retrogradando sobre la eclíptica, ya que el coeficiente del término secular es negativo, y que al mismo tiempo que retrograda, va oscilando alrededor del Aries medio que es el obtenido teniendo en cuenta sólo la precesión en longitud.
Naturalmente las hipótesis admitidas de que la distancia R del Sol a la Tierra permanece constante, como también que la longitud L del Sol varía uniformemente con el tiempo, están muy lejos de la realidad, y ello hace que la nutación debida a la atracción solar no quede perfectamente expresada por los términos
. A estos términos es preciso agregarles otros, también de carácter periódico, en que intervendrá la posición del Sol respecto al apogeo; términos que, aunque de menor importancia que los citados, no son completamente despreciables.
2.7.3 Precesión y nutación lunares
La Luna sigue una órbita media con una inclinación I respecto a la eclíptica que oscila entre 5º y 5º 18', es decir, en media I=5º 9'. Se denomina línea de los nodos a la intersección del plano de la órbita lunar con el plano de la eclíptica. Al punto N por el cual la Luna pasa del hemisferio celeste sur al hemisferio celeste norte se le llama nodo ascendente y al punto diametralmente opuesto nodo descendente.
En primera aproximación, la órbita de la Luna es una elipse con una excentricidad del orden de 1/20. Supongamos que es una circunferencia de radio R1 igual a la distancia media de la Tierra a la Luna, recorrida con velocidad media constante n1:
FIG 20.2
y = y1 medido sobre el ecuador
q = -e1
Procederemos análogamente al apartado anterior, tomando como plano x,y el del ecuador (que llamaremos x', y') y como plano x', y' el de la órbita lunar (que llamaremos x1', y1') con x1' dirigido hacia 1a intersección de la órbita lunar con el ecuador, g1. Si R1 es el radio vector de la Luna, L, los ángulos de Euler serán (Fig. 20.2):
j = L1 = medido sobre la órbita lunar
La longitud media de la Luna crece proporcionalmente al tiempo, siendo L1 = n1t si empezamos a contar el tiempo cuando la Luna pasa por g1.
Estamos pues en una situación completamente paralela a la del apartado anterior, por lo que sustituyendo en las mismas fórmulas (58.2) obtendremos:
(62.2)
con
siendo la razón entre c1 y c
Integrando (62.2) obtendremos:
= longitud del nodo lunar (t en años)
= longitud de la Luna sobre su órbita = (t en días)E1 nodo ascendente retrograda a lo largo de la eclíptica dando una vuelta completa en 18,6 años, fenómeno que recibe el nombre de retrogradación de la línea de los nodos de la órbita lunar y es debido a las perturbaciones gravitatorias que ejerce la Tierra sobre la Luna.
Al poner L1=n1t en función de W y V se obtiene en e1 una suma de términos periódicos (cosW, cos2W, cos2V ) que constituyen la nutación lunar en oblicuidad. En y1 se obtiene un término secular en t, la precesión lunar en longitud y una suma de términos periódicos (senW, sen2V, sen2W ), la nutación lunar en longitud.
2.7.4 Precesión y nutación luni‑solares
Como su nombre indica, son debidas a la acción gravitatoria combinada del Sol y la Luna. Se obtienen sumando término a término (precesión con precesión, nutación con nutación) las precesiones y nutaciones solar y lunar:
yLS = y + y1 precesión y nutación luni-solar en longitud.
eLS = e + e1 nutación luni-solar en oblicuidad.
obteniéndose:
donde t viene dado en años de 365,25 días.
Al factor 50",39 se le llama constante de la precesión luni‑solar y al factor 9",21 constante de la nutación (no se especifica que sea luni‑solar dado que es el término nutacional en oblicuidad más importante de todos los que seguirán).
2.7.5 Precesión y nutación planetarias
Los planetas, en especial Júpiter (por su masa) y Venus (por su proximidad), producen un avance del punto Aries de 0",11 por año, precesión planetaria en longitud. Además, aparece una precesión planetaria en oblicuidad de ‑0",47 t + ... que corresponde, realmente, al primer término del desarrollo en serie de una nutación de periodo muy largo (40.000 años). También aparecen términos nutacionales en G y G’ (longitudes de los perigeos solar y lunar, respectivamente). Como era de esperar, los efectos son mucho menores que los debidos al Sol y la Luna.
2.7.6 Precesión y nutación generales
Son debidas a la composición de todos los efectos anteriormente estudiados:
y = y0 - 50",29 t + …+ (términos nutacionales)
e = eo ‑ 0",46815 t ‑ 0",00000059 t2 + ... + (términos nutacionales)
Al término secular en longitud ‑50",29 se le llama constante de la precesión general. Implica que el punto Aries retrograda sobre la eclíptica a razón de 50",29 por año, recorriéndola, por tanto, aproximadamente, en unos 26.000 años.
2.7.7 Correcciones
Existe una corrección relativista de la precesión en longitud de +0",02 por año, que se considera englobada en la luni‑solar.
Por otra parte, el suponer constantes e y e1 en los segundos miembros de las ecuaciones diferenciales, se ha introducido un error que provoca que las constantes de precesión y nutación no sean realmente constantes. Teniendo en cuenta este hecho, tales "constantes" valen para la época J 2.000,0:
constante de la precesión general = 50",291 + 0",00022 t
constante de la nutación = 9",206 + 0",000009 t
(t en años de 365,25 días).
2.8 Posiciones medias y verdaderas
Debido a la precesión, en longitud y en oblicuidad, la eclíptica se desplaza girando y variando el ángulo que forma con un plano fijo. Considerando únicamente estos movimientos precesionales, obtenemos laeclíptica media: plano definido por el centro del Sol, el centro de gravedad del sistema Tierra‑Luna y la velocidad de este centro de gravedad.
Si corregimos de nutación la eclíptica media, obtenemos la eclíptica verdadera: plano determinado por el centro del Sol, el centro de la Tierra y la velocidad de la Tierra.
También el ecuador experimenta variaciones debidas a la precesión y nutación lunisolares. En cada instante cabe considerar un ecuador verdadero, que pasa por el centro de gravedad de la Tierra y es ortogonal al eje instantáneo de rotación en dicho instante. Este plano se obtiene corrigiendo de precesión y nutación.
Si sólo corregimos de precesión obtenemos un ecuador medio.
La intersección del ecuador medio y la eclíptica media es la línea de los equinoccios media y el nodo ascensional de la eclíptica es el punto Aries medio o equinoccio medio.
En cambio, si consideramos el ecuador verdadero y la eclíptica verdadera, obtenemos el Aries verdadero o equinoccio verdadero.
Se suelen considerar como elementos de referencia medios los relativos al principio de un año astronómico. El año astronómico, como veremos más adelante, empieza cuando la longitud media del Sol, corregida de aberración, es igual a 280°. Se indica en la forma 1950,0 o 2.000,0.
El ángulo que forma el ecuador medio con la eclíptica media en una fecha es la oblicuidad media en dicha fecha. La oblicuidad media de la eclíptica, contada en años de 365,25 días a partir de la época J 2.000,0 vale:
e = 23º 26' 21",448 ‑ 0",46815 t ‑ 0",00000059 t2 + 0",00000000181 t3
(para la época actual t es negativo)
La oblicuidad verdadera en una fecha es el ángulo que forma la eclíptica verdadera con el ecuador verdadero en dicha fecha.
Si referimos la posición de un astro a la eclíptica y al equinoccio medios tenemos las coordenadas celestes medias del astro. De análoga forma se definen las coordenadas celestes verdaderas. Así, las coordenadas ecuatoriales medias son las referidas al ecuador medio y las ecuatoriales verdaderas las referidas al ecuador verdadero.
2.8.1 Variación de los polos celestes
A consecuencia de los movimientos de precesión y de nutación el polo celeste se desplaza. Despreciemos la pequeña variación secular de la oblicuidad de la eclíptica, es decir, consideremos que las eclípticas verdadera y media coinciden. Debido a la precesión, el punto Aries medio, gm retrograda a lo largo de la eclíptica, por lo que, al ser la línea de los equinoccios media siempre perpendicular al plano que determinan el centro de la esfera celeste, el polo de la eclíptica Pe y el polo celeste medio Pm, el eje del mundo describirá un cono de revolución alrededor del eje de la eclíptica, de semiabertura igual a la oblicuidad de la eclíptica, en sentido retrógrado y con una periodicidad de unos 26.000 años.
FIG 21.2
Debido a la nutación, el punto Aries verdadero oscila a uno y otro lado del Aries medio y además, la oblicuidad de la eclíptica varía periódicamente. En consecuencia, el polo verdadero describe una pequeña elipse alrededor del polo medio; si nos limitamos a su parte principal, los semiejes de dicha elipse son la constante de la nutación 9",21 y 6",84.
Resumiendo: el eje del ecuador medio describe un cono de revolución alrededor del eje de la eclíptica y el eje verdadero un cono elíptico alrededor del eje medio (o lo que es lo mismo, el polo del ecuador medio describe un círculo menor alrededor del polo de la eclíptica y el polo verdadero una elipse alrededor del polo medio).
Estudiemos con detalle estos desplazamientos. En la Fig. 21.2 tenemos:
FIG 22.2
EE' eclíptica media de una época
QQ' ecuador medio de una época
QvQv’ ecuador verdadero de una época
Pe polo de la eclíptica media
Pm polo del ecuador verdadero
gm Aries medio
g Aries verdadero (aunque no lo hemos definido exactamente así, consideraremos la intersección de la eclíptica media con el ecuador verdadero dada la poca variación de la primera).
Consideremos las coordenadas eclípticas de los polos ecuatoriales medio y verdadero:
Polo verdadero
Polo medio
(63.2)
(64.2)
donde Dy es la nutación en longitud, e’ la oblicuidad verdadera y De la nutación en oblicuidad.
Estudiemos la variación del polo verdadero en el plano tangente a la esfera celeste por el polo medio y en el sistema de referencia (x,h) de la Fig. 22.2 El ángulo diedro formado por los máximos de longitud del polo medio y del polo verdadero es L’‑L. Debemos reducirlo al círculo menor multiplicando para ello por cos B. De (63.2) y (64.2) obtenemos:
Como que en latitud trabajamos sobre un círculo máximo, no es necesario hacer ninguna reducción, y por tanto:
Por consiguiente, las coordenadas (x , h) del polo verdadero P' en el sistema considerado serán:
(65.2)
Sabemos que los términos principales de los efectos nutacionales causados por la Luna, son:
ecuaciones paramétricas de una elipse de semiejes 6",84 y 9",21. El eje mayor es el que tiene la dirección del máximo de longitud. El periodo con que se realiza este movimiento es de 18 2/3 años.
Si tenemos en cuenta que el Aries medio se mueve a lo largo de la eclíptica de modo que en un año retrograda de 50”,29, en el mismo intervalo de tiempo el polo medio se desplazará a lo largo del círculo menor correspondiente de
Y así, mientras que en un año el polo medio se ha desplazado 20”,0 sobre el eje x el polo verdadero habrá descrito sólo una pequeña parte de la elipse, aproximadamente 1/18.
De acuerdo con lo que acabamos de decir, la estrella polar no será siempre la misma. Todas las estrellas que tengan una latitud de alrededor de 67º serán, alguna vez, polares en el transcurso de unos 26.000 años. Actualmente la estrella polar es la a de la Osa Menor y su distancia al polo es de alrededor de 1º. Esta distancia va disminuyendo en la actualidad y alcanzará su valor mínimo en el año 2.105. Dentro de 12.000 años la estrella polar será a Lirae (Vega), estrella de primera magnitud Hace 6.000 años era g Draco, de tercera magnitud, que era la que usaban como polar los astrónomos chinos.
FIG 23.2
2.8.2 Corrección de precesión y nutación de las coordenadas ecuatoriales
Los catálogos nos dan la posición de los astros referida, usualmente, a la base media (ecuador y equinoccio medios) del 1950,0 o del 2000,0. Si interesa conocer la posición media de la fecha es necesario corregirla de precesión y, si lo que interesa obtener es la posición verdadera (referida al ecuador y equinoccio verdaderos) deberemos corregir además de nutación.
Para deducir la corrección consideraremos, al igual que en el apartado anterior, que las eclípticas verdadera y media coinciden y son fijas (realmente la eclíptica media varía muy lentamente, con términos en t2 ); por tanto, las latitudes de las estrellas se mantendrán invariables y sólo deberán corregirse de precesión y nutación las longitudes:
(66.2)
donde las coordenadas B' y L' son las verdaderas finales y las B y L las medias iniciales.
El término Dy es debido a la nutación y el término pt a la precesión, siendo p la constante de la precesión general en longitud:
p = 50'',2910 + 0'',000222 t
y t, medido en años, la fracción de año transcurrida desde el comienzo del año astronómico en cuestión. El término precesional es aditivo, pues al retrogradar Aries, aumenta la longitud de los astros. Además, debido únicamente a la nutación, varía la oblicuidad de la eclíptica en De.
Para hallar
Diferenciando la tercera:
y teniendo en cuenta las otras dos:
y dividiendo ambos miembros por cos D, expresando las diferenciales por incrementos:
(67.2)
Diferenciando ahora la primera:
Teniendo en cuenta la relación y la ecuación del cambio de coordenadas inverso:
obtenemos:
simplificando y haciendo igual que antes d=D
(68.2)
Teniendo en cuenta (66.2) e introduciendo para simplificar la precesión general en ascensión recta
y la precesión general en declinación
(69.2)
Introduzcamos ahora los llamados números de Bessel o besselianos que son generales para toda la esfera celeste y vienen dados en los Anuarios día por día:
y las constantes estelares , dependientes de la estrella de que se trate
(70.2)
Estas ecuaciones (70.2) nos permiten calcular las coordenadas verdaderas (A',D') para una fecha dada, cuando se conocen las coordenadas medias (A,D) para el principio del año.
Si quisiéramos obtener las coordenadas medias de la fecha no consideraríamos los términos nutacionales:
obteniendo:
(71.2)
fórmulas que nos darían las posiciones medias de la fecha a partir de las posiciones medias de principio de año.
Esta transformación se efectúa en dos fases: recordemos que el catálogo de estrellas nos da las coordenadas medias del comienzo de un año astronómico. Primero se obtienen las coordenadas del principio del año astronómico en curso, o sea se hace la llamada reducción al año, y luego, a partir de las coordenadas reducidas al año, se obtienen las coordenadas de la fecha o reducción al día (t es en este caso la fracción de añotranscurrida desde el principio del año astronómico).
Para obtener las posiciones verdaderas de la fecha, se hallan las posiciones medias al principio del año astronómico en curso (igual que en el caso anterior), reduciéndose posteriormente al día, considerando ahora los términos nutacionales, mediante las fórmulas (70.2).
Las fórmulas (71.2) nos sirven también para hallar las coordenadas medias al principio de un año conocidas las coordenadas medias al principio de un año anterior siendo ahora t el número de años transcurridos (m y n están dados en los Anuarios y se toman para el año de partida). Ahora bien, esto solamente es correcto si el intervalo de tiempo t es pequeño (poco menos de 5 años).
En la obtención de las posiciones medias en una época T, conocidas las posiciones medias en una época To (reducción por precesión) suele emplearse otro método: sean las componentes del vector de posición
FIG 24.2
de un astro S en el sistema de coordenadas ecuatoriales medias en la época T0, (X0,Y0,Z0), estando el eje X0 dirigido hacia el punto Aries medio, el eje Z0 hacia el polo celeste medio P0 y el eje Y0 formando triedro directo con los anteriores.
Consideremos, por otra parte, el sistema de coordenadas ecuatoriales medias en la época T, (X,Y,Z) con el mismo origen, y sean las componentes del vector de posición del astro S en dicho sistema. El paso del sistema X0,Y0, Z0 al X,Y,Z se realiza mediante tres rotaciones, en función de los elementos precesionales x0,q ,z siendo 90°-x0 la ascensión recta del nodo ascendente N del ecuador E de la época T sobre el ecuador E0 en la época T0 calculada desde el equinoccio de T0, q la inclinación del ecuador en la época T sobre el ecuador en la época T0 y 90º+z la ascensión recta del nodo contada desde el equinoccio de T. De modo que:
donde la matriz de precesión P es
P = R3(-90º-z) R1(q) R3(90º-x0)
cuyos elementos son:
(72.2)
estando los parámetros x0, q y z definidos por:
(73.2)
Para su cálculo se han tenido en cuenta las constantes astronómicas del sistema IAU(1976) y están referidos a la época J 2000,0. T0 es la fracción de siglo del catálogo inicial y T es la fracción de siglo transcurrida desde el año a que está referido el catálogo. En el caso particular de tomar como época inicial el año J 2000,0 (lo que sucederá al utilizar el catálogo fundamental FK5), deberán usarse las expresiones que resulten de hacer T0 = 0 en las (73.2) donde T será el número de siglos julianos de 36525 días que separan la fecha en cuestión del año J 2000,0 cuya fecha juliana correspondiente es 2451545,0 y que equivale a 2000 enero 1,5.
Los valores numéricos de los elementos de la matriz de precesión han sido calculados, para pasar de T0=B 1950,0 a T= J 2000,0 , entre otros autores por J.H. Lieske (1979), obteniendo:
En enero de 1998 la Unión Astronómica Internacional (IAU) adoptó el nuevo sistema de referencia ICRS (Internacional Celestial Reference System). Como consecuencia de ello, actualmente los elementos de esta matriz de precesión están siendo revisados por varios autores.
2.8.3 Ecuación de equinoccios
Según vimos en el primer capítulo (1.5), la ecuación de equinoccios es:
N = qV - qm
Es decir, proyectando sobre el ecuador (Fig. 25.2) vemos que representa la nutación en ascensión recta, puesto que, la ascensión recta del Aries medio es cero, mientras que la del Aries verdadero es N.
FIG 25.2
Si consideramos como plano el triángulo gV gm C de la Fig. 25.2 b) teniendo en cuenta que Dy es muy pequeño:
N = Dy cos e
y tomando en Dy el término de mayor contribución:
que implica que la parte principal de la ecuación de equinoccios oscila con una periodicidad de 18,6 años y una amplitud de algo más de 1s.
2.9 Variaciones de la velocidad de rotación de la Tierra
A lo largo de todo este capitulo hemos supuesto que la velocidad angular w de rotación de la Tierra era constante. Ello es válido en primera aproximación pues, si bien w varia con el tiempo, la magnitud de la variación es muy pequeña. Para apreciar esta variación han sido precisos los relojes de cuarzo y los atómicos.
En un sistema inercial se verifica que:
donde es el momento cinético y el momento de las fuerzas exteriores. Si se supone que la distribución de masas de la Tierra presenta simetría esférica, es
I = A U
siendo U el tensor unidad y A el momento de inercia respecto cualquier diámetro, obteniéndose:
y
Si además consideramos que y tienen la misma. dirección, la anterior ecuación podrá escribirse: (74.2)
expresión que nos permitirá analizar las causas de la variación de la velocidad angular de la Tierra.
2.9.1 Distintos tipos de variaciones
Las causas de la variación de la velocidad angular de la Tierra pueden ser regulares, irregulares y periódicas. Analizaremos cada una de ellas.
a) Regulares: Debido a las mareas provocadas por el Sol y la Luna, la superficie del mar adopta la forma de un elipsoide de revolución de eje mayor dirigido hacia el astro en cuestión. El consiguiente rozamiento causado por las aguas genera una fuerza, en mares poco profundos, que origina un momento que tiende a oponerse a la rotación de la Tierra. Si consideramos que la eclíptica, la órbita lunar y el ecuador coinciden, dicho momento (que llamaremos K) será de la misma dirección y de sentido opuesto a pudiéndose aplicar, por tanto, (74.2):
Si suponemos que K es constante y que la Tierra es rígida (A=cte.) obtenemos:
e integrando:
es decir: w disminuye proporcionalmente al tiempo. O lo que es lo mismo, el día solar medio aumenta su duración en el transcurso del tiempo. Dicho aumento es del orden de 0s,00164 por siglo.
b) Irregulares: también puede variar debido a cambios bruscos e imprevisibles en la distribución de masas del interior de la Tierra que provoquen una variación de A. Efectivamente, en ausencia de momentos exteriores (74.2) nos queda:
es decir:
(75.2)
por lo que una variación de A se traducirá en una variación de w, en el sentido de mantener invariante el producto anterior. Por ejemplo, en 1955 la rotación de la Tierra se retrasó repentinamente en 41s.
c) Periódicas: Son debidas a variaciones periódicas de origen estacional del momento de inercia de la Tierra que, también según (74.2) causan una variación periódica de w. Desde noviembre hasta junio la velocidad angular de la Tierra aumenta respecto a la media, por lo que los relojes se retrasan. Dicho retraso es máximo a últimos de mayo y alcanza 0s,042. El resto del año el efecto es inverso, adelantando, a últimos de septiembre, 0s,023.
De lo dicho se desprende que el movimiento de rotación de la Tierra no es uniforme, por lo que día solar medio y, por tanto, el tiempo universal, no es constante. La búsqueda de una unidad astronómica de tiempo que sea constante lleva, como veremos en el capítulo 4, a sucesivas correcciones (T.U.1, T.U.2) al tiempo universal (T.U.O) y a la definición de tiempo de efemérides (T.E.), sustituido en 1984 por el tiempo dinámico terrestre (T.D.T.)
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