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6. DETERMINACION DE ORBITAS
Entre los numerosos problemas que resuelve la Mecánica Celeste está el de la determinación de las órbitas que describen los cuerpos celestes, problema que consiste en establecer una serie de fórmulas que permiten hallar los elementos fundamentales o parámetros que definen la órbita. Su interés práctico para la Astronomía se basa en el hecho de que continuamente se descubren pequeños planetas y cometas cuyas órbitas se han de calcular, de que sirve para el cálculo de órbitas de meteoros y actualmente de que se aplica al cálculo de órbitas de satélites artificiales y vehículos espaciales.
Sabemos que, en primera aproximación, los cuerpos del sistema solar se mueven bajo la influencia de fuerzas gravitatorias que actúan de acuerdo con la ley de Newton, y decimos en primera aproximación porque en realidad deberíamos introducir correcciones relativistas, muy pequeñas en la mayoría de los casos, o correcciones debidas a otras causas, por ejemplo, en el caso de los cometas, a la presión de radiación solar o al descenso de su masa debido al desprendimiento de gases de su núcleo, producto de su intenso calentamiento al acercarse al Sol, razones por las cuales el movimiento de algunos cometas se desvía notablemente del predicho por una teoría basada únicamente en la ley de la gravitación universal.
Por otra parte, la forma, la estructura interna y la rotación de los cuerpos celestes influye directamente en su movimiento de traslación a lo largo de sus órbitas. En realidad, sólo si los cuerpos fueran esféricos y homogéneos o si estuvieran constituidos por capas esféricas concéntricas de distintas densidades, se podría considerar que toda su masa está concentrada en su centro y que los cuerpos se atraen entre sí como puntos materiales. Sin embargo, las distancias entre los cuerpos del sistema solar son muy grandes comparadas con sus dimensiones y por eso usualmente los consideramos como puntos materiales y en una primera aproximación se supone que se mueven únicamente bajo la atracción del Sol sin estar sujetos a la influencia de ningún otro cuerpo. Si se quiere aproximar más, es necesario tener en cuenta las perturbaciones debidas a las atracciones de los grandes planetas, sobre todo en el cálculo de órbitas cometarias.
En general, para resolver el problema de la determinación de órbitas se hallan, en primer lugar, los elementos de una órbita preliminar sin tener en cuenta las perturbaciones (solución del problema de los dos cuerpos). Para ello se utilizan tres o cuatro observaciones del cuerpo en estudio que cubran generalmente un intervalo de varios días o semanas. Es interesante obtener una órbita preliminar de un cometa o de un pequeño planeta, por ejemplo, cuando se han obtenido sus primeras observaciones, para poder predecir su posición para futuras observaciones. Obtenida la órbita preliminar y después de una larga serie de observaciones, se puede corregir aquélla, lo cual se lleva a cabo en la mayoría de los casos sin tener aun en cuenta las perturbaciones. Finalmente, se calcula la órbita definitiva, entendiendo como tal aquélla cuyos puntos coinciden, sin mucho error, con las observaciones (O-C muy pequeño). Para calcular la órbita definitiva es casi siempre necesario tener en cuenta las perturbaciones, sobre todo las causadas por los planetas principales.
Hallada la órbita de un cuerpo celeste no es difícil calcular sus efemérides, las cuales pueden determinarse para una serie de años a fin de prever la posibilidad de redescubrir algún pequeño planeta o algún cometa periódico, en cuyo caso es necesario tener en cuenta las perturbaciones causadas por los planetas.
Las ecuaciones diferenciales del movimiento perturbado correspondientes al problema de tres o más cuerpos, a diferencia del problema de dos cuerpos, no admiten solución en forma finita. Se resuelven en forma aproximada ya sea con la ayuda de desarrollos en serie o por integración numérica. La solución en forma de desarrollos en serie, que dan una expresión analítica para las perturbaciones, ofrece una representación completa del carácter del movimiento del cuerpo durante un tiempo razonablemente largo; pero, en cambio, es de difícil aplicación a la mayoría de pequeños planetas y a casi todos los cometas. Los métodos numéricos para el cálculo de las perturbaciones son fáciles de aplicar y seguros pero tienen el inconveniente de que las perturbaciones sólo se pueden calcular para el tiempo limitado por las observaciones de que se dispone; es decir, si se precisa hallar perturbaciones para una serie de años el trabajo resulta extremadamente penoso. A pesar de ello, los métodos numéricos para el cálculo de perturbaciones constituyen una parte importante de la teoría del movimiento de los cuerpos celestes.
En esencia casi todos los métodos analíticos utilizados en el cálculo de órbitas derivan de los de Laplace (1780), Olbers (1797) y Gauss (1809), que nos proponemos estudiar aquí, teniendo en cuenta las modificaciones que han ido sufriendo en el transcurso del tiempo, subsiguientes al desarrollo de la teoría de la determinación de órbitas.
6.1 Introducción
El movimiento de un planeta o de un cometa alrededor del Sol, en primera aproximación, depende de seis constantes que pueden ser las coordenadas rectangulares del cuerpo en el tiempo t y las derivadas primeras de estas coordenadas (
, ) o también cantidades ligadas a las precedentes como son los seis elementos que definen la órbita ( W, w, i, a, e, T ), las constantes gaussianas A, B, C, a, b, c, o los elementos vectoriales
, , .
Tal solución da una representación satisfactoria del movimiento real del cuerpo en cuestión durante un intervalo lo suficientemente corto de tiempo
para que se pueda despreciar la acción de los otros planetas.
Es fácil ver que tres observaciones verificadas en tres instantes distintos, t1, t2, t3, son teóricamente suficientes para encontrar los seis elementos de la órbita.
Estas tres observaciones dan seis cantidades independientes, por ejemplo las coordenadas ecuatoriales geocéntricas del cuerpo Ai , Di ( i = 1, 2, 3 ), que relacionamos con dichos seis elementos. Sean, en efecto, Sel Sol, T el centro de la Tierra y P el cuerpo celeste ( planeta, cometa, etc.) del cual queremos determinar su órbita (Fig. 1.6).
FIG.1.6
Llamemos r a la distancia del centro de la Tierra a dicho cuerpo celeste, al vector unitario en la dirección de TP con origen en T, al vector de posición geocéntrico del Sol.
viene tabulado en los Anuarios y se obtiene por observación, de tal manera que, si suponemos, como hemos dicho, que trabajamos en coordenadas ecuatoriales geocéntricas, es
(1.6)
fórmula en la que quedan como incógnitas r y
.
Supongamos que efectuamos tres observaciones
en tres épocas distintas ti ( i = 1, 2, 3 ). Para cada época tenemos un ( xi, yi, zi ) y la ecuación (1.6) da lugar a:
(2.6)
que constituye un sistema de nueve ecuaciones escalares
(3.6)
con doce incógnitas: tres ri y nueve xi, yi, zi. Pero, estas últimas se expresan por los elementos de la órbita (seis) y los instantes de la observación (tres cantidades conocidas), de modo que hay tantas incógnitas independientes como ecuaciones.
Para resolver el problema es necesario, sin embargo, introducir otras relaciones. La forma de introducirlas da lugar a los distintos métodos de cálculo de órbitas .
6.2 Método de Laplace
El método de Laplace consiste en determinar por medio de las tres Ai y las tres Di ( i = 1, 2, 3 ) observadas, las coordenadas heliocéntricas
y las componentes de la velocidad del cuerpo en una época dada (por ejemplo, el momento de la segunda observación) y obtener después sus elementos orbitales a partir de
y , teniendo en cuenta que se mueve bajo la acción de una fuerza conocida (atracción solar).
Supongamos realizada una observación y derivemos dos veces la relación (1.6) con respecto al tiempo:
La Tierra y el cuerpo celeste en cuestión se mueven sujetos a la atracción gravitatoria del Sol y sus masas pueden despreciarse comparadas con la masa del Sol. Por consiguiente (Ap. 3.2):
(4.6)
donde m = GM ( G = constante de la gravitación universal y M = masa del Sol ).
Sumando miembro a miembro las (4.6) obtenemos:
o lo que es lo mismo:
(6.6)
donde y es el ángulo entre los vectores y .
Pues bien, las fórmulas básicas del método de Laplace son:
(7.6)
Las ecuaciones (7.6) representan el aspecto geométrico y gravitacional del movimiento. Contienen el valor deducido de la observación en un instante t = t0 y sus derivadas primera y segunda en este mismo instante que deberemos calcular a partir de
.Designemos con el subíndice “cero” el valor de y sus derivadas en el instante t = t0 . Desarrollando en serie de Taylor el valor de , tendremos:
(8.6)
y despreciando los términos con potencias en t ³ 3, conocida la observación
en el instante ti ( i = 1, 2, 3 ) pueden obtenerse , , mediante el sistema:
(9.6)
Los valores que se obtienen son sólo aproximados puesto que hemos truncado la serie en los términos de segundo grado en t al necesitar sólo derivadas de hasta el segundo orden. Se podrían obtener valores más aproximados de
y tomando más términos en la serie (8.6) aunque no se necesiten derivadas de orden superior al segundo en las ecuaciones (7.6). También si se dispone de más observaciones, se pueden añadir ecuaciones y proceder a resolver el sistema por mínimos cuadrados. Pero, como que más tarde habremos de corregir de aberración, tomaremos, por comodidad, el sistema (9.6) de tres ecuaciones con tres incógnitas y lo resolveremos algebraicamente. Por otra parte, es posible escoger t0 de modo que el error sea mínimo, pero se suele tomar t0 de forma que sea el tiempo de la segunda observación.
Supongamos ahora que hemos encontrado y . Multipliquemos escalarmente la tercera de (7.6) primero por y después por. Obtendremos: (10.6)y
(12.6)
que resuelto algebraicamente nos dará las incógnitas r y p.
Es facil ver que la ecuacion que resulta al eliminar una de las incógnitas en dicho sistema es algebraica de octavo grado en la otra. Para simplificar su resolución se suele introducir el ángulo auxiliar f formado por los vectores
y (Fig. 1.6) que la reduce a una de cuarto grado. En efecto, en el triángulo PST de dicha figura 1.6 tenemos:
(14.6)con
(15.6)y teniendo en cuenta (13.6), resulta:
y desarrollando y agrupando términos:
(16.6)
Haciendo para simplificar
(17.6)
donde el signo de N se toma de modo que M sea positivo, y sustituyendo en (16.6) se obtiene:
(18.6)
que puede proporcionar a lo sumo dos soluciones f, en cuyo caso la discriminación suele hacerse tomando alguna nueva observación.
El cálculo de f se efectúa por aproximaciones sucesivas a partir de un primer valor obtenido gráficamente o por medio de tablas.
La discusión de la ecuación (18.6) puede hallarse en cualquiera de los textos de Mecánica Celeste que damos en la Bibliografía.
Si sustituimos el valor de f obtenido de (18.6) en (13.6) obtendremos r y r.
Con r la ecuación (11.6) nos dará .Hallados r y las dos primeras de (7.6) nos darán y a partir de los cuales calcularemos los elementos de la órbita.
6.2.1 Corrección de aberración
FIG. 2.6
Recordemos que debido a la finitud de la velocidad de propagación de la luz los astros no se ven desde la Tierra en la posición que ocupan en el instante de la observación (Ap. 4.2). Por tanto, obtenido un primer valor de r tendremos que corregir de aberración planetaria. Esta corrección afectará las coordenadas observadas y tendremos que volver a plantear el problema a partir de (7.6). En la práctica lo que se hace es corregir los tiempos de las observaciones. Sean Ti ( i = 1, 2, 3) las posiciones del centro de la Tierra en los instantes ti de las observaciones. El cuerpo P pasa por los puntos P1, P2, P3 (Fig.2.6) no en los tiempos t1, t2, t3 sino en dichos tiempos disminuidos en el tiempo ti en que la luz tarda en ir de Pi a Ti ( i = 1, 2, 3). Para hacer estas correcciones a los tiempos de observación es necesario conocer las distancias TiPi = ri ( i = 1, 2, 3). Teniendo en cuenta que conocemos un primer valor de r y
, podremos escribir con suficiente aproximación
Supongamos que C representa la velocidad de la luz. Las épocas en que el cuerpo P estaba en P1, P2, P3 son:
( i = 1 ,2,3 )
Estas correcciones deben introducirse en el sistema (9.6) con lo cual obtendremos unos nuevos valores de y que nos conducirán a nuevos valores de r y . Si éstos no difieren mucho de los encontrados anteriormente se podrá seguir el cálculo. Si no, deberemos realizar todavía una nueva corrección de aberración.
6.2.2 Corrección de los elementos. Método de Leuschner
Aunque efectuemos la corrección de aberración a la que nos acabamos de referir, una vez calculados los elementos orbitales a partir de los
y correspondientes a la época de la segunda observación y calculada una efemérides para las épocas primera y tercera, encontraremos discrepancias entre observación y cálculo para dichas épocas. Esto es debido a las aproximaciones que conlleva el método que estamos empleando. Deberemos pues, corregir los elementos de la órbita. Leuschner (1902) introdujo, basándose en trabajos realizados anteriormente por Harzer (1896), un procedimiento para hallar
, y , correspondientes a las épocas primera y tercera a partir de las y de la segunda observación, y una vez hallados poder corregir , antes de obtener los elementos orbitales, lo cual simplifica muchísimo el proceso de cálculo.
Seguiremos indicando con el índice “cero” todos los valores correspondientes a la segunda observación. Si
es el vector de posición en la época t, podemos expresarlo mediante desarrollo en serie de potencias de t en la forma:
(19.6)
Definamos las cantidades s, t, w por
(20.6)
Derivándolas y utilizando la ecuación del movimiento
(21.6)para eliminar tendremos:
y multiplicando escalarmente por
(21.6) y dividiendo luego por :
con lo que será:
Finalmente:
multiplicando ahora por (21.6) obtenemos:
y por otra parte el segundo término de es
con lo que:
En resumen, pues, nos quedan las relaciones:
Sustituyendo estas expresiones en (19.6) obtendremos, finalmente:
(23.6)donde:
(24.6)
Estas series, llamadas simplemente series f y g, convergen rápidamente para valores pequeños de t y nos permiten hallar
conocidos los valores y correspondientes a la segunda observación.
Para mejorar los valores
y .
Con y obtendremos r1 y r3 de las fórmulas
y hallados los módulos de y , podremos calcular:
Estos
y son calculados. Nosotros teníamos los vectores proporcionados por la observación, de modo que si llamamos a los primeros y a los segundos, tendremos:
De aquí que, si llamamos, en general, a este será
de donde
que podremos escribir para 1 y 3.
De esta forma tendremos unos nuevos valores de
correspondientes a la primera y tercera observaciones:
Por otra parte, si de
(25.6)
despejamos
y , tendremos: (26.6)
y si en
y en (26.6) escribimos y , respectivamente, obtendremos valores más aproximados de y con los cuales volveremos a recalcular s, t, w, f1, f3, g1, g3, r1, r3, y
, y con el sistema (26.6) obtendremos nuevos valores, más aproximados, y .Cuando observemos que los últimos valores hallados no difieren sensiblemente de los anteriores podemos ya proceder a calcular con ellos los elementos orbitales.
Para la obtención de los elementos orbitales a partir de
y remitimos al lector al Apartado 3.11.4.
6.3 Método de Gauss
En el método de Gauss, al igual que hicimos en el de Laplace, distinguiremos dos partes. En la primera, veremos cómo pueden calcularse tres posiciones heliocéntricas del cuerpo cuya órbita tratamos de calcular a partir de tres posiciones geocéntricas. En la segunda, estudiaremos la forma de obtener los elementos orbitales a partir de dos de las tres posiciones heliocéntricas.
6.3.1 Determinación de las áreas triangulares
FIG. 3.6
la posición geocéntrica del Sol y la posición heliocéntrica de Pi.
Puesto que suponemos que la órbita es kepleriana, los vectores ( i = 1, 2, 3 ) son coplanarios, cumpliéndose:
(27.6)
donde c1, c2, c3 son tres escalares no simultáneamente nulos.
Multiplicando vectorialmente (27.6) primero por por la izquierda y después por por la derecha, tendremos:
(28.6)
sistema que podemos escribir en la forma:
(29.6)
Si tomamos como sistema de referencia el de coordenadas P, Q, R, que hemos considerado ya otras veces (Ap. 3.11.3), con origen el Sol, resulta que los productos vectoriales que aparecen en los denominadores de (29.6) tienen, todos ellos, la dirección y sentido de un vector unitario
tomado sobre el eje R en el sentido positivo del mismo. Por otra parte, podemos expresar mediante los llamados corchetes de Gauss el área del triángulo determinado por los vectores ( i, j = 1, 2, 3).En consecuencia, podremos escribir:
(31.6)
De la Fig. 3.6 deducimos
(33.6)
ecuación vectorial que equivale a un sistema de tres ecuaciones escalares en las componentes de
(32.6)
y multiplicando por ci y sumando teniendo en cuenta (27.6), obtenemos:
, con las incógnitas ri, ci ( i = 1, 2, 3).
FIG.4.6
Para determinar las ci (razones entre las áreas) supondremos la órbita referida a los dos ejes rectangulares heliocéntricos P,Q situados en su plano. Sean P0 y P1 las posiciones del cuerpo P en los tiempos t0 y t0 +q;
el área del triángulo P0SP1 y S el área del sector curvilíneo limitado por los radios vectores y y el arco de órbita (Fig. 4.6)
Tendremos:
siendo c la constante de las áreas.
Escribiremos el desarrollo de
en función del tiempo q, basándonos en el desarrollo de en función del tiempo q en el entorno de : (34.6)
Multiplicando vectorialmente por la izquierda por : (35.6)
cuyos coeficientes calcularemos de la siguiente forma:
Para el primero, recordaremos que, según la ley de las áreas es
(36.6)
Para el segundo, multiplicaremos por por la izquierda la ecuación del movimiento: (37.6)
El tercero, lo calcularemos derivando esta última expresión:
es decir:
(38.6)
Y, volviendo a derivar, obtendremos el cuarto:
de donde:
(39.6)
Derivando la ecuación del movimiento y multiplicando por :
y sustituyendo en el segundo término del segundo miembro de (39.6), obtenemos, finalmente:
(41.6)
Apliquemos este resultado a las áreas triangulares determinadas por las tres posiciones sucesivas de P, P1, P2, P3, para las épocas tl, t2, t3. Sean , y los respectivos vectores de posición. Hagamos, por otra parte
y tomemos como origen de tiempos t2 con lo cual será y . Tendremos:
(42.6)
y si ahora tomamos como origen t1 con lo que será , podremos escribir:
(43.6)
6.3.2 Fórmulas aproximadas de Encke
Hagamos las hipótesis simplificativas siguientes:
FIG 5.6
1) Supongamos que la velocidad entre Pl y P2 (Fig. 5.6) es .
2) En la expresión dada por el teorema del coseno
(44.6)
despreciemos .3) Teniendo en cuenta que de (44.6) obtendremos:
y elevando ambos miembros a -3/2, desarrollando el segundo miembro por la fórmula del binomio de Newton y tomando sólo dos términos del desarrollo:
podremos escribir, finalmente:
(47.6)
expresiones que nos dan, a menos de un factor constante, los valores de las incógnitas ci en función de r2.
Las fórmulas (47.6) son poco prácticas al contener la derivada . Por este motivo, se suelen despreciar los términos a partir del que contiene el factor , inclusive, con lo que queda: (48.6)
que son las llamadas fórmulas aproximadas de Encke
6.3.3 Cálculo de las ri y de las posiciones heliocéntricas
(49.6)
ecuación de la forma
(50.6)con
Resolviendo el sistema formado por la ecuación (50.6) y
(52.6)
ecuación vectorial que equivale a tres ecuaciones escalares de las cuales obtendremos r1 y r3.
Finalmente, sustituyendo sucesivamente r1, r2 y r3 en
(51.6)se obtienen r2 y .
Al despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones (50.6) o (51.6) y sustituirla en la otra, se obtiene una ecuación de octavo grado análoga a la que hemos encontrado al estudiar el método de Laplace (Ap. 6.2, fórmula 18.6).
Hallados r2 y r2 , sustituyendo el valor de r2 en (48.6) obtendremos -c3/c2 y -c1/c2.
Dividiendo (33.6) por -c2, obtendremos:
obtendremos las tres posiciones heliocéntricas , y .
6.3.4. Corrección de aberración y de los parámetros c1/ c2 , c3 /c2 .
La órbita que calculemos a partir de las posiciones heliocéntricas que hemos encontrado deberá ser corregida. En primer lugar, tengamos en cuenta que una vez hallado un primer valor de r deberemos corregir de aberración (ver 6.2.1). Corregido el tiempo de aberración y obtenidos nuevamente c1/c2 y c3/c2 , una primera corrección de dichos parámetros puede obtenerse calculando las razones
donde es el área del sector limitado por los radios vectores , y el arco de órbita entre las posiciones Pi y Pj , y el área del triángulo SPiPj. En efecto,
o sea:
y, análogamente:
Estos cocientes nos proporcionarán, a partir de (52.6) valores más aproximados de r1 y r3 y en consecuencia de y .
6.3.5 Cálculo de los elementos de una órbita por dos posiciones heliocéntricas
FIG. 6.6
FIG 6.6
sistema de dos ecuaciones en las incógnitas i, W que nos darán estos dos elementos orbitales sin ambigüedad puesto que conocemos el cuadrante en que se halla i.
Supongamos conocidas dos posiciones heliocéntricas P1 y P2 en las épocas tl y t2 por sus coordenadas ecuatoriales heliocéntricas: ( , A1, Dl; tl ), (, A2, D2; t2 ).
Si t2 es posterior a t1 el movimiento será directo respecto al plano ecuatorial si A2 >Al y retrógrado si A2 < A1. En el primer caso será i < 90º y en el segundo 90º < i < 180º.
Del triángulo P1P1’ N de la Fig.6.6 y su análogo para la posición P2, deducimos:
También es inmediato el cálculo de los argumentos y por cualquiera de las fórmulas
o sus análogas
y puesto que se verifica
podremos calcular la diferencia entre las anomalías verdaderas de las posiciones P2 y P1.
Supongamos que la órbita es elíptica: Sean E1 y E2 las anomalías excéntricas correspondientes a y . Hagamos:
En resumen, el problema que tratamos de resolver quedará reducido, a partir de ahora, a calcular los elementos a, e, w, T de una órbita de la que se conocen los radios vectores y correspondientes a dos épocas t1 y t2 y la diferencia V2 - V1 de sus anomalías verdaderas.
y recordemos las siguientes fórmulas del movimiento elíptico:
De la segunda, resulta:
y despejando :
Restando de 1 y sumando 1 a los dos miembros de esta última igualdad, resulta:
Cambiando 1- ecosE por r/a y extrayendo la raiz cuadrada nos queda para cada una de las posiciones P1 y P2:
fórmulas de las que se deducen, por simples transformaciones, las igualdades
es decir:
(53.6)
o sea:
(54.6)
o sea:
(55.6)
es decir, dividiendo los dos miembros por :
(57.6)
constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con las incógnitas a,e,g y G. Eliminando entre la primera y la tercera y entre la primera y la cuarta, nos queda el sistema: (58.6)
e introduciendo una nueva variable h definida por cualquiera de las expresiones equivalentes
(59.6)
(obtenida la segunda sustituyendo
(60.6)
Finalmente, si llamamos m y l a las constantes
(64.6) (65.6)y hallemos:
(66.6)Deduciremos de (65.6), haciendo:
y derivando respecto a g los dos miembros de la igualdad:
de donde:
es decir:
(67.6)
Para calcular haremos
de donde
(69.6)
Todavía podemos expresar en función de x:De (64.6) obtenemos:
de donde:
(70.6)
Para integrar la ecuación diferencial (70.6) procederemos por desarrollo en serie, para lo cual escribiremos:
(71.6)
y derivando respecto a x:
(73.6)
Identificando coeficientes en (73.6) obtendremos:
El desarrollo de converge más rápidamente que el de X, por cuyo motivo se utiliza
o lo que es lo mismo:
con
(75.6)y eliminando x entre ellas
o también:
y llamando
será:
de donde, verificando operaciones, se deduce
(76.6)
ecuación que también se halla tabulada.
El proceso de cálculo es el siguiente:
Se toma
y se calcula
Se lleva h0 a (76.6) y se clcula h.
Calculada h, la primera ecuación del sistema (75.6) nos dará x.
Con x el desarrollo (74.6) nos dará un valor de x con el cual calcularemos una nueva h.
Una vez obtenido h con suficiente aproximación, (64.6) nos dará g, quedando resuelto el sistema (63.6).
obtenemos E1 y E2
De la ecuación de Kepler, M1 = E1 - e sen E1, obtenemos M1 y de M2 aplicando
M1 = n (t1- T)
obtenemos finalmente T.
6.3.6 Resumen de fórmulas y proceso de cálculo
primer valor à h
à
à x
à
con se vuelve a h.
Cuando se tiene
con suficiente aproximación se hace:
à a
à p
p = a (1-e2) à e
r1 + r2 = 2a - 2ae cos G cos g à
à E1 y E2
M = E – e sen E à M
M = n (t - T) à T
6.4 Método de Olbers
En 1797 Olbers publicó un trabajo que tituló “Un ensayo sobre el método más fácil y más conveniente de calcular la órbita de un cometa”. En el transcurso del tiempo se han introducido algunos cambios en el método de Olbers que no afectan a su concepto básico, quedando plenamente justificado el título con el que lo presentó el autor.
Partiendo de tres posiciones de un cuerpo en su órbita, Olbers supone, tal como había hecho Newton, que la cuerda que une las primera y tercera posiciones queda dividida por el radio vector correspondiente a la segunda posición en dos partes que son proporcionales a los intervalos de tiempo entre las observaciones y obtiene una ecuación que liga las distancias geocéntricas de las primera y tercera observación. Otra relación entre ellas la obtiene de la Ecuación de Euler. Una vez halladas las distancias del cuerpo a la Tierra, el cálculo de los elementos orbitales no presenta ninguna dificultad.
6.4.1 Teorema de Lambert para el movimiento elíptico
Sean E1 y E2 las anomalías excéntricas de dos posiciones P1 y P2 en una órbita elíptica de modo que E2 > E1 (Fig. 7.6).
Llamemos:
y
FIG.7.6
Si y son los radios vectores heliocéntricos de Pl y P2, teniendo en cuenta que
y
se verificará:
(77.6)
obtendremos para el cuadrado de la distancia entre los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2)
Sea c la longitud de la cuerda que una P1 con P2. Recordando que si tomamos como ejes de referencia los ejes de la elipse, las coordenadas de un punto de la misma son:
(78.6)
y haciendo:
(79.6)
resulta, agrupando términos en (78.6):
y
(80.6)
También con este mismo cambio (79.6), es:
(81.6)
Hagamos ahora:
(82.6)
(83.6)
Si t es el tiempo que emplea el cuerpo para pasar de la posición P1 a la P2, t = t2 - t1, en virtud de la ecuación de Kepler tendremos:
La relación
(84.6)
se conoce con el nombre de teorema de Lambert y ha sido deducida para el movimiento elíptico.
e y d vienen dadas en función de r1 + r2, c y a por las fórmulas (82.6) y (83.6); pero, no están definidas unívocamente. Se demuestra (Plummer, 1960; p.51) que para un arco pequeño basta tomar el menor valor positivo que satisface las ecuaciones (82.6) y (83.6).
6.4.1 Fórmula de Euler
Si el movimiento fuera parabólico, al aplicar (81.6) con
, teniendo en cuenta que el primer miembro es finito, el factor debería tender a cero, o lo que es lo mismo, el producto
(85.6) (86.6)
donde
, y .Ahora bien, si en (84.6) reemplazamos n por y desarrollamos en serie y , obtendremos:
(88.6)
que recibe el nombre de fórmula de Euler y en la que se toma el signo menos si y el signo más si .
6.4.2 Movimiento de cometas
La fórmula de Euler se puede aplicar al estudio del movimiento de cometas; pero, si es , puede ocurrir que c no quede bien determinada. En este caso se recurre a una sencilla modificación.
Supongamos tres posiciones P1, P2, P3, del cometa en su órbita parabólica y sean V1, V2, V3 las respectivas anomalías verdaderas.
Si podremos escribir (88.6) en la forma (89.6)
donde c es ahora la longitud de la cuerda que une las posiciones P1 y P3.
Despejaremos c de esta ecuación. Para ello, sacando factor común , tendremos: y haciendo
(90.6)resultará
(91.6)
A partir de (91.6) podremos hallar el desarrollo de en potencias impares de h. En efecto, supongamos:
y sustituyamos en (90.6). Será:
de donde, identificando, encontramos los coeficientes a3, a5, … y el desarrollo de resulta ser:
o también
(92.6)donde
El valor de g se halla tabulado en función de h . Algunas veces se da directamente el valor de gh en función de h. Otra posibilidad de hallar c es resolver directamente la ecuación (89.6).
Consideremos de nuevo el triángulo determinado por el Sol, la Tierra y el cometa (Fig. 1.6). La órbita se supone plana (movimiento no perturbado) y por consiguiente los vectores de posición heliocéntricos son coplanarios. Se verifica, por tanto:
Dividamos por -c2 y llamemos al vector que obtengamos:
(93.6)
Sea
un vector coplanario con y . Multipliquemos (93.6) escalarmente por . Tendremos: es decir:
de donde
o también, llamando
es
(94.6)Por otra parte,
(95.6) (96.6)y
(97.6)
Si suponemos
podemos construir una tabla de diferencias como función de . Buscaremos por interpolación cual es el valor que hace Una vez obtenido un valor fiable de hallaremos y y con la fórmulas (94.6), (95.6) y (96.6).
6.4.4 Cálculo de los elementos orbitales
Recordemos las fórmulas del movimiento parabólico (3.9).
Podemos escribir
donde q vendrá dado por
siendo c la constante de las áreas. Por consiguiente:
siendo
y
Si hacemos
las componentes heliocéntricas x, h de una posición cualquiera son
y la ecuación que rige el movimiento parabólico
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