Astronostrum IX
9. MOVIMIENTO DE LA LUNA
9.1 Rotación de la Luna. Leyes de Cassini
Es un hecho de observación corriente que la Luna presenta siempre la misma cara hacia la Tierra; dicho de otra forma, vemos los accidentes de su superficie siempre aproximadamente en la misma posición sobre el disco. Interpretamos esta observación como una prueba de la rotación de la Luna alrededor de un eje que forma con el plano de su órbita un ángulo poco distinto de 90º, siendo la duración de la rotación igual a la de su revolución sideral alrededor de la Tierra. Las leyes por la que se rige esta rotación fueron enunciadas por J.D. Cassini en 1721 quien las dedujo de la observación. Posteriormente, Lagrange y Laplace las incorporaron a la Mecánica Celeste, admitiendo que la forma de la Luna es similar a la de un elipsoide de tres ejes cuyo eje mayor está constantemente dirigido hacia la Tierra, coincidiendo el eje menor con el de rotación de la Luna. De todos modos, por diferir muy poco entre sí las longitudes de los ejes de dicho elipsoide, en el estudio de las libraciones, si interesa, se puede considerar la Luna esférica.
Sea (Fig.l.9) N el nodo descendente del ecuador lunar sobre la eclíptica. Las leyes de Cassini pueden enunciarse de la siguiente forma:
1ª) El nodo N coincide sensiblemente con el nodo ascendente medio de la órbita lunar.
2ª) La inclinación I del ecuador lunar sobre la eclíptica es sensiblemente constante ( I = 1º 32 6 ). La inclinación media del ecuador lunar sobre la órbita es i + I = 6º 41.
3ª) Si X es el punto hacia el cual va dirigido el eje mayor del elipsoide al que se asimila la Luna, la suma de los arcos y NX es aproximadamente igual a la longitud media de la Luna disminuida en 180º.
9.1.1 Libraciones físicas
Las leyes de Cassini son aproximadas. La coincidencia de los nodos no es rigurosa, de modo que en N no tenemos un punto sinó un pequeño triángulo; la inclinación I presenta fluctuaciones de amplitud muy pequeña, y la dirección del eje mayor puede separarse algunas centésimas de grado de la que hemos definido. Estas pequeñas desviaciones constituyen la libración física que se determina a partir de la teoría dinámica de la rotación de la Luna.
Sea (Fig. 2.9) x, y, z un sistema de coordenadas rectangulares selenocéntricas cuyos ejes coinciden con los ejes principales de inercia de la Luna y su origen con el centro de gravedad de la misma; el eje xorientado hacia la Tierra, el eje y perpendicular a él de modo que el sistema esté orientado en sentido directo y el eje z en la dirección del eje de giro de la Luna. Por otra parte, sean, con respecto a estos ejes, p, q, r los cosenos directores del eje de la eclíptica y l, m, n los del radio vector Tierra-Luna. p, q, m y n son pequeños mientras que r = l » 1.
Supongamos la Tierra esférica, de masa M y a una distancia R, constante, de la Luna y llamemos A, B y C a los momentos de inercia de la Luna con relación a los ejes coordenados. Sean (wx, wy, wz) las componentes de la velocidad angular de la Luna en dicho sistema x, y, z. Las dos primeras son pequeñas y sus cuadrados y productos podrán despreciarse.
Recordemos la ecuación de Euler generalizada relativa al movimiento de un cuerpo en rotación (2.6):
(1.9)
donde I es el tensor de inercia que en el caso que estamos considerando se escribe
(2.9)y el momento de las fuerzas exteriores que supondremos limitadas a la de atracción de la Tierra,
(4.9)
y despreciando cantidades pequeñas de segundo orden:
(5.9)
Consideremos la tercera ecuación de (5.9) que por contener solamente puede ser estudiada independientemente de las otras. Supongamos (Fig. 2.9) que la dirección TG forma un ángulo q con una dirección determinada y llamemos f al ángulo TGE. f nos da la medida de la libración en longitud. La dirección GE forma un ángulo q + f con la dirección fija. Una rotación positiva alrededor del eje z, wz haría disminuir el ángulo q + f, por consiguiente:
Ahora bien: por tanto, con mucha aproximación, resulta
(6.9)
Supongamos en primer lugar el caso en que la órbita de la Luna es circular, es decir, . La expresión (6.9) describirá un movimiento armónico simple de la forma: (7.9)con
(8.9)
lo cual implica que sea B > A y por consiguiente, si a, b y c son las longitudes interceptadas por la Luna sobre los ejes x, y y z respectivamente, que sea a > b. La solución de (7.9) es
(9.9)
donde a y b son constantes arbitrarias, amplitud y fase inicial del movimiento armónico que representa (9.9). Si esta oscilación pudiera ser observada, su periodo nos daría el valor de ; pero, es demasiado pequeña para ser detectada.
Consideremos ahora la órbita de la Luna no circular. Si la tercera ley de Cassini fuera exacta, sería:
con n constante; por tanto:
(10.9)Si t se cuenta desde el perigeo, ε es una cantidad pequeña, del mismo orden de f, y q representa la anomalía verdadera. Suponiendo desviaciones periódicas de la ley de Cassini, pongamos:
o también
(12.9)
En esta ecuación q - nt representa la ecuación del centro de una órbita kepleriana y por tanto se podría expresar por su correspondiente desarrollo en serie; pero, hemos de tener presente que la órbita de la Luna es una órbita perturbada y, por consiguiente, desarrollaremos el paréntesis del segundo miembro de (12.9) en una serie de la forma
que incluirá la ecuación del centro y las desigualdades periódicas del movimiento de la Luna (despreciamos la aceleración secular).
Para resolver (12.9) empecemos por considerar la ecuación
(13.9)
Supongamos una integral particular de la forma
Derivando dos veces y sustituyendo deducimos el valor de γ
Por otra parte, la solución de la ecuación sin segundo miembro es
y la integral general de la ecuación completa es:
(15.9)
Hemos dicho que la función complementaria (14.9) correspondiente a las oscilaciones libres es demasiado pequeña para ser observada. Los términos de la solución particular corresponden a las oscilaciones forzadas; para que dichas oscilaciones sean observables, en ellos debe ser o H grande o h pequeño.
En la teoría lunar los términos más importantes son el primer término del desarrollo de la ecuación del centro o desigualdad elíptica, para el cual
(16.9) = 1 mes anomalísticoy la ecuación anual , para la cual
(17.9)= 1 año anomalístico
donde g es la anomalía media de la Luna, es la anomalía media del Sol y la unidad de tiempo es el día solar medio.Sustituyendo los valores (16.9) y (17.9) en los correspondientes términos del segundo miembro de (15.9), observaremos que, puesto que w es muy pequeño, el segundo de ellos, esto es, la ecuación anual, proporciona la mayor oscilación forzada. Esta puede observarse, aunque no con mucha precisión, y puede establecerse el valor de
a partir de las observaciones de su amplitud.Trataremos ahora las dos primeras ecuaciones de (5.9) sin tener en cuenta ya la variación en wz .
Sea, en la Fig. 3.9, la línea NTΠ1 la órbita de la Tierra alrededor de la Luna en la esfera celeste centrada en la Luna y N su nodo ascendente con respecto a un plano Π2 paralelo a la eclíptica por el centro de la Luna. El círculo máximo que pasa por Z (polo de Π2) y T corta a Π2 en K. El arco KT = 1 es la latitud selenocéntrica de la Tierra. Despreciando la precesión podemos escribir
donde g es la velocidad de retrogradación de los nodos.
Sea k la inclinación de la órbita de la Tierra con relación a Π2 la proyección de la retrogradación de N sobre la órbita de la Tierra durante un tiempo t será un arco , pero por ser k muy pequeño, podemos suponer que dicho arco es gt. Por tanto, suponiendo que la Tierra se mueve en una órbita circular con movimiento angular n, podremos escribir
y
y también
Por consiguiente:
(18.9)
Sean, en la misma figura 3.9, P el polo de Π1 y C el polo de Π3 (plano del ecuador de la Luna). La condición para que P, Z y C estén en un mismo círculo máximo como se requiere en virtud de la tercera ley de Cassini es
donde es el vector director de GC y es el vector director de la línea de los nodos, ya que, en efecto, si N es el polo del círculo máximo que pasa por P y Z, y C ha de estar en este mismo círculo, los vectores y han de ser perpendiculares.
Podemos calcular a partir de y indicando por y los vectores directores de GK y GZ respectivamente, suponiendo (Fig. 4.9)
Ahora bien, si designamos por el vector de posición selenocéntrico de la Tierra, es:
y recordando la propiedad del triple producto vectorial y tomando senZT = 1 es:
Por consiguiente:
es decir, desarrollando:
y multiplicando escalarmente por ,
y teniendo en cuenta que cosZT = p+v, también
(20.9)
puesto que en virtud de la segunda ley es fijo en el espacio.Desarrollando (20.9), tendremos:
(21.9)
o también, dentro de la aproximación en que nos movemos (tomamos wz = n):
(22.9)
Derivando las dos primeras respecto al tiempo y teniendo en cuenta la tercera obtenemos:
(24.9)
Haciendo para simplificar
teniendo además en cuenta que , las ecuaciones (24.9) se escribirán:
(25.9)
La solución de estas ecuaciones constará de una función complementaria, que representará las oscilaciones libres y una integral particular procedente del término en sen L, que dará las oscilaciones forzadas.
Las oscilaciones libres han de ser estables. Hallaremos las condiciones para que así sea:
Supongamos que
son soluciones de las ecuaciones (25.9) sin segundos miembros. La ecuación característica del sistema es:
y las condiciones para que sean negativas:
(26.9)Para que las oscilaciones sean estables, las dos raíces de esta ecuación, considerada como de segundo grado en s2, deben ser reales y negativas. La condición para que sean reales es
La tercera es equivalente a decir que (C - A)(C - B) > 0 o lo que es lo mismo que si C >B es C >A y si C< B es C<A.
Tanto en un caso como en otro se cumplen las otras dos. Por consiguiente el eje c en la dirección de GZ es a la vez mayor o menor que los otros dos. Es decir, el eje de rotación de la Luna o es el más largo o es el más corto de los ejes de la Luna.
Consideremos ahora las oscilaciones forzadas. Ensayemos una solución de la forma
(28.9)
ecuaciones que resueltas, eliminando los productos de pequeñas cantidades dan:
y de (29.9)
luego:
(31.9)
lo cual nos dice que hay una oscilación de pequeña amplitud alrededor de cero. A parte de esta oscilación, es nulo y P, Z y C están en el mismo círculo máximo, propiedad que confirma la primera ley de Cassini. Se deduce lo mismo si las funciones complementarias se incluyen en la evaluación de .Hemos de ver ahora cual es la condición para que Z esté entre P y C; pero, antes, calculemos el valor del arco . Teniendo en cuenta que
elevando al cuadrado
de donde
y por tanto, teniendo en cuenta (28.9) y (29.9) :
(32.9)
Luego, a parte de una pequeña oscilación, de periodo medio mes nodal, es constante, lo que prueba la segunda ley de Cassini. Esta pequeña variación en la inclinación del plano del ecuador lunar sobre la eclíptica da lugar a la llamada libración física en latitud. Los valores de la libración física oscilan entre -0.º02 y +0.º02.
Supongamos ahora que L = 90º (Fig. 3.9). La Tierra T se hallará en el círculo máximo PZC y tendremos:
Si el eje x corta a la esfera celeste en el punto A, este punto estará muy cerca del círculo máximo PZCE y puesto que CA =90º, para que Z esté entre P y C deberá ser AZ > 90º. Por tanto,
luego,
(33.9)y como que para que se verifique (33.9) ha de ser t > 0, lo cual implica que sea C-A > 0 o c < a.Nos había quedado la duda de si el eje de rotación era el más largo o el más corto de la Luna. De lo que acabamos de decir se desprende que
a> b >c
por consiguiente vemos que c es el menor de los tres ejes.
Aproximando el valor de CZ dado por (32.9) podemos escribir
(34.9)
de donde sustituyendo los valores observados = , k = y g/n=0.00402, hallamos t = 0.00061.
9.1.2 Libraciones ópticas
La observación telescópica de la Luna nos dice que los detalles de su superficie no ocupan posiciones rigurosamente invariables sobre el disco, sino que experimentan desplazamientos de cierta amplitud alrededor de una posición media. Damos a dichos desplazamientos el nombre de libración óptica.
Partamos del sistema de coordenadas x, y, z que hemos definido en el apartado anterior al cual referiremos los puntos de la superficie lunar, así como las direcciones selenocéntricas de la Tierra y del Sol. La longitud selenográfica o selenocéntrica se mide sobre el ecuador lunar, en sentido directo, a partir del punto X (Fig. 1.9); la latitud selenográfica o selenocéntrica se mide a partir del ecuador, positivamente hacia el norte. La posición del punto X está definida por la tercera ley de Cassini:
siendo Lm la longitud media de la Luna y W el argumento del nodo.
En la Fig. 1.9, T representa la posición selenocéntrica de la Tierra en la esfera celeste. Sus coordenadas eclípticas son:
(35.9)
donde L y B son las coordenadas eclípticas longitud y latitud de la Luna. Este punto T tiene las mismas coordenadas selenográficas l y b que el punto de la superficie de la Luna que un observador geocéntrico ve en el centro del disco lunar. Es decir
(36.9)
l recibe el nombre de libración en longitud y b el de libración en latitud. La composición de estas dos libraciones da lugar a la llamada libración óptica.
Para calcular la libración óptica consideremos el triángulo NTT1 (Fig. 1.9) en el que
(37.9)
Si incrementamos el ángulo J en d J = I y suponemos que el triángulo sigue siendo rectángulo tendremos:
es decir
y
(38.9)
Pero, del mismo triángulo NTT1 deducimos:
de donde, diferenciando las dos primeras y operando teniendo en cuenta la tercera, resulta:
(40.9)
La libración en longitud puede alcanzar un valor de hasta 8º en valor absoluto y la libración en latitud hasta unos 7º.
Para obtener la libración completa sumaremos a estas cantidades las correspondientes a la libración física.
La parte principal de la libración en latitud es cuyo periodo es la revolución draconítica. (Cap. 10).
Las dos componentes de la libración óptica tienen periodos distintos lo cual hace que el punto T (Fig. 1.9) describa una curva no cerrada de aspecto parecido al de la Fig. 5.9 que nos permite conocer por una parte el desplazamiento sobre la Luna del punto que, para un observador geocéntrico, se proyecta en el centro del disco y por otra, la órbita selenocéntrica del centro de la Tierra referida al sistema de referencia x, y, z.
Un dato a tener en cuenta en el cálculo de las libraciones es el valor del ángulo de posición del eje de rotación de la Luna (ángulo C=PTR en la Fig. 6.9)
El último término de la expresión que nos da l es de segundo orden con relación a las inclinaciones I e i; en consecuencia, la libración en longitud difiere poco de las desigualdades de la longitud de la Luna L – Lm , cuya parte principal está constituida por la ecuación del centro de periodo la revolución anomalística de la Luna como veremos más adelante.
Aplicando el teorema de los senos al triángulo Polo-Polo de la Luna-Tierra en el cual es RP = i, RTP = C, RT = 90º - b, RPT= 90º + (a -W) obtenemos:
(41.9)
9.1.3 Libración diurna
Recibe el nombre de libración diurna el efecto de paralaje debido a que el observador ocupa una posición topocéntrica y, por tanto, el punto que para dicho observador se proyecta en el centro del disco lunar no coincide con el T ( l, b ).
Las rectas que unen el centro de la Luna L con el centro de la Tierra T y con el observador O forman un ángulo igual a la paralaje de la Luna (
) (Fig. 7.9). Un detalle del disco lunar que desde T se vería en M desde O se ve en M. Así pues, la libración diurna puede alcanzar el valor de aproximadamente lº.
La suma de las distintas libraciones alcanza ±9º en longitud y ±8º en latitud, gracias a lo cual podemos ver desde la Tierra 3/5 partes del hemisferio oculto de la Luna.
El cálculo de la libración diurna se reduce al de la paralaje en coordenadas ecuatoriales. Sean Dl y Db la libración diurna en longitud y en latitud y Da yDd la paralaje diurna de la Luna en ascensión recta y en declinación. Con respecto al punto T de la Fig. 1.9 el punto que representa la dirección selenocéntrica del observador tiene las siguientes coordenadas diferenciales:
(42.9)
Para pasar de un sistema de coordenadas al otro efectuaremos un giro de ángulo C alrededor del tercer eje puesto que éste es el valor del ángulo que forman los planos del ecuador de la Tierra y del de la Luna respectivamente (Fig. 6.9). Tendremos, pues:
(43.9)
de donde:
(44.9)
La libración total se obtendrá sumando Dl y Db deducidas de (44.9) a l y b respectivamente. El valor topocéntrico del ángulo C se obtendrá sustituyendo los valores topocéntricos de la ascensión recta a y la declinación d de la Luna, en lugar de los geocéntricos, en la fórmula (41.9).
9.2 Fases de la Luna
En el transcurso de una revolución alrededor de la Tierra la Luna no presenta siempre el mismo aspecto, dependiendo éste, en gran parte, de la diferencia de las longitudes celestes aparentes de la Luna y del Sol.
Si esta diferencia es de 0º tenemos luna nueva; si es de 180º, luna llena; si es de 90º, cuarto creciente, y si es de 270º, cuarto menguante. Las épocas en que la diferencia de longitudes es de 0º o 180º reciben el nombre de sicigias y aquéllas en que es de 90º a 270º, el de cuadraturas.
Ahora bien, el aspecto del disco lunar no depende únicamente de la diferencia de las longitudes celestes mencionadas, sino que depende también de la latitud celeste de la Luna y de la posición del observador en la superficie de la Tierra. Más concretamente, está determinado por el ángulo de fase (5.3.1) que en este caso definiremos como el ángulo de las direcciones selenocéntricas del Sol y de la Tierra. Según que consideremos la dirección selenocéntrica del centro de la Tierra o la del observador tendremos el angulo de fase geocéntrico o el angulo de fase topocéntrico.
y la longitud celeste y el radio vector del Sol; L y B la longitud y la latitud de la Luna y su vector de posición; L y B la longitud y la latitud heliocéntricas de la Luna y
y entre ellos se verifica la relación
su vector de posición heliocéntrica. , B < 1. Las componentes de los vectores , y son:
de donde:
(45.9)
Multiplicando la primera de (45.9) por , la segunda por y restando obtenemos
(46.9)
y multiplicando la primera por y la segunda por y sumando,
(48.9)
(50.9)
habiendo despreciado el término de segundo orden de la longitud dada la pequeñez de B.
Estas expresiones nos dan las coordenadas selenográficas del punto de la superficie de la Luna que tiene el Sol en su cenit; es el polo del hemisferio iluminado. La distancia cenital del Sol para un punto de la superficie de la Luna dado por sus coordenadas selenográficas, se obtiene calculando la distancia angular del punto correspondiente al punto de coordenadas l0, b0.
Hay que advertir que los valores de l0, b0 dados por (50.9) son aproximados y que se les debería sumar la libración física si quisiéramos trabajar con valores más exactos.
Designemos por F el ángulo de fase geocéntrico de la Luna y por Q el ángulo de posición del Sol con respecto al centro de la Luna, contado a partir del polo norte de la Luna (Fig. 9.9); podemos obtener el valor de F y el de Q resolviendo las ecuaciones
y teniendo en cuenta que DF, Dl y Db son muy pequeños, desarrollando, sustituyendo infinitésimos y agrupando, obtenemos:
Multiplicando la segunda de estas relaciones por cosQ, la tercera por senQ y sumando tendremos:
que junto con la primera nos permitirá despejar DF:
(53.9)
donde recordemos que Da y Dd son los valores de la paralaje diurna de la Luna en ascensión recta y en declinación y C es el ángulo de posición del eje de rotación de la Luna calculado en (41.9). El ángulo C+Q es el ángulo de posición del Sol con respecto a la Luna contado desde el polo norte celeste en sentido antihorario.
En las “Efemérides Astronómicas” del Real Instituto y Observatorio de la Armada se dan las coordenadas selenográficas de la Tierra, la libración física, las coordenadas selenográficas del Sol y el ángulo de posición del eje de la Luna y del limbo iluminado. Además, se dan la edad de la Luna, o número de días transcurridos desde la última Luna nueva, y la fracción iluminada o fase que es la relación entre el área iluminada y el área total del disco lunar (recordar (48.5) de Cap. 5).
Se puede calcular el ángulo de fase sin utilizar l0 y b0. En efecto, sustituyendo en la primera de (51.9) los valores de l, b, l0, y b0 por los dados por las fórmulas (40.9) y (50.9), obtenemos en coordenadas eclípticas:
(54.9)
y si tenemos en cuenta que el primer término del segundo miembro es siempre menor que 0.00004, podremos escribir, utilizando (49.9):
La corrección DF la obtendremos de (53.9).
9.3 Movimiento orbital de la Luna
El estudio del movimiento de la Luna es uno de los problemas más difíciles de la Mecánica Celeste debido a que es el cuerpo perturbador y no el astro central el que posee la masa preponderante, lo cual hace que la órbita que describe la Luna alrededor de la Tierra se separe mucho de una órbita kepleriana y, en consecuencia, la teoría de la Luna deba de construirse de distinta manera a la que explica el movimiento de los planetas.
Ya desde la antigüedad se habían ido descubriendo empíricamente ciertas desigualdades tales como la ecuación del centro, utilizada por Hiparco; la evección, introducida por Tolomeo; la variación, corrección introducida por Tycho Brahe, y la ecuación anual. Pero, era imposible detectar de la misma manera un gran número de otras desigualdades no despreciables, aunque menos importantes, que se superponían a las desigualdades principales, las cuales se pusieron de manifiesto al estudiar la teoría del movimiento de la Luna analíticamente.
Newton se ocupó del estudio de las grandes desigualdades llegando hasta una segunda aproximación. A partir de Newton la teoría de la Luna ha sido ampliamente desarrollada, habiéndose empleado desde entonces métodos que difieren considerablemente unos de otros y que presentan sus ventajas o inconvenientes en determinados aspectos.
Se suelen distinguir tres tipos de teorías: analíticas, analítico-numéricas y numéricas. Entre las primeras podemos destacar la de Delaunay, que desarrolló completamente la función perturbatriz hasta cantidades de séptimo orden. Las analítico-numéricas empiezan con la de Laplace que mantiene las dos excentricidades y el
como parámetros y atribuye un valor numérico a . Pertenece a esta clase la teoría de Hill-Brown. Airy propuso una aproximación puramente numérica al problema de mejorar la teoría de Delaunay, pero sin éxito. Recientemente Eckert ha aplicado la técnica de Airy a la teoría de Brown del problema lunar principal, es decir, el de hallar el movimiento de la Luna bajo la acción gravitatoria de la Tierra y del Sol considerando los tres cuerpos como masas puntuales, y por otra parte, Deprit ha confeccionado analíticamente unas efemérides lunares que mejoran dicha teoría de Brown.
9.3.1 El sistema Tierra-Luna
La Luna se mueve alrededor de la Tierra en una órbita aproximadamente elíptica cuyos valores medios del semieje mayor, la excentricidad y la inclinación son
Ya hemos dicho que el movimiento de la Luna es fuertemente perturbado por el Sol. Por esta causa estos tres elementos están sujetos a variaciones periódicas alrededor de dichos valores. La excentricidad varía de 0.044 a 0.067, la inclinación oscila entre 4º 58
y 5º 19, y el eje mayor gira en sentido directo con un periodo de 8 años 310 días.
Podemos definir varios periodos de revolución de la Luna en su órbita. Llamamos revolución sinódica al intervalo medio de dos conjunciones sucesivas de la Luna y del Sol (lunas nuevas). Se calcula su duración a partir del conocimiento de épocas en que se han producido eclipses de Sol separadas por intervalos de tiempo muy largos. Su es de 29.5305883 días = 29d 12h 44m 2s.8. Es la lunación que regula las fases de la Luna y los eclipses. Constituye el mes de los antiguos calendarios lunares.
Revolución sidérea es el tiempo necesario para que la longitud media de la Luna referida a un equinoccio fijo aumente 360º . Su valor es de 27.32166150 días =27d 7h 43m 11s.5. Durante un mes sidéreo el Sol ha recorrido aproximadamente 1/12 de su órbita y, por consiguiente, al cabo de una revolución sidérea la Luna no presentará la misma fase.
El movimiento medio sinódico de la Luna es la diferencia entre el movimiento medio sidéreo nde la Luna y el movimiento medio sidéreo n del Sol y vale:
De aquí que, siendo n = 3548.1928,
Revolución trópica es el tiempo necesario para que la ascensión recta media de la Luna aumente en 24 horas. Su valor se halla dividiendo 1296000 por el del movimiento medio trópico de la Luna, referido al equinoccio medio móvil, que se obtiene sumando la precesión diurna
Si dividimos por este valor de n encontraremos el número de días de una revolución sidérea.
al movimiento medio sidéreo. Es decir,
Hemos dicho que el periodo de revolución del eje mayor de la órbita de la Luna es de 8 años 310 días. Dividiendo 1296000 por dicha cantidad hallaremos el valor del movimiento sidéreo medio del perigeo m= 400
.9167. Llamamos revolución anomalística al tiempo necesario para que la anomalía media de la Luna aumente en 360º. Por otra parte, el movimiento medio anomalístico, que referimos a su perigeo móvil, valdrá:
y por tanto, la duración de una revolución anomalística será de
También hemos dicho que la inclinación del plano de la órbita de la Luna sobre la eclíptica sufre variaciones periódicas. De ellas, la más importante tiene una semiamplitud de 9 y un periodo de 173 días. Asimismo, la línea de los nodos retrograda secularmente, siendo el valor del movimiento medio sidéreo de
n = -3 10.77 y el periodo de revolución correspondiente de 18.60 años (ver 8.7).
Se llama revolución draconítica al intervalo medio de dos pasos consecutivos de la Luna por el nodo ascendente de su órbita. La duración de una revolución draconítica es:
Este periodo rige las variaciones de la latitud celeste de la Luna y juega un papel importante en la predicción de eclipses.
9.3.2 Desarrollo de la fuerza perturbatriz
En la exposición de este apartado seguimos a Danjon cuyo desarrollo de la teoría de la Luna lleva a una primera aproximación de la teoría de Delaunay.
Supondremos, de momento, que la inclinación i de la órbita lunar es nula y que, por consiguiente, la fuerza perturbatriz está situada en su plano (i
2 = 0.008). Tomaremos la masa del Sol como unidad y llamaremos m y m a las masas de la Tierra y de la Luna, respectivamente, e y ea las excentricidades de sus órbitas, a y a
sus semiejes mayores, n y na sus movimientos medios y r y ra los radios vectores geocéntricos del Sol y de la Luna (Fig. 10.9). Los símbolos
y L representarán las longitudes geocéntricas del Sol y de la Luna. Las latitudes se supondrán nulas. Sean S, T y L los centros del Sol, la Tierra y la Luna respectivamente (Fig. 10.9); hagamos
Sean, por otra parte, O el origen de un sistema inercial de referencia y y los vectores de posición de la Tierra y de la Luna en dicho sistema. El movimiento de T vendrá definido por
(55.9)y el de L por
(56.9)
Restando estas dos igualdades miembro a miembro tendremos
(57.9)
que representa el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. El segundo término del segundo miembro es la fuerza perturbatriz debida a la atracción solar (recordar (44.7) de 7.5).
Hagamos G M=k y descompongamos en suma de dos vectores, uno dirigido de L hacia T y el paralelo a TS. Tendremos:
(58.9)
con lo que la expresión de la fuerza perturbatriz será ahora
(59.9)
o también
(60.9)
Las componentes S y P de según el radio vector y según la normal al radio vector son: (61.9)
De la misma figura 10.9 se deduce:
de donde:
Desarrollando y limitando al segundo orden con relación a r/r, obtenemos:
(62.9)
y llevando este valor a las expresiones (61.9) de S y P, haciendo k = n2a3, lo cual supone despreciar las masas de la Luna y de la Tierra frente a la del Sol, obtenemos finalmente:
(63.9)
Más adelante se introducirán en estas expresiones los elementos keplerianos; pero, hemos de observar que los elementos keplerianos del Sol se refieren, no al centro de la Tierra, sino al baricentro del sistema Tierra-Luna.
Sea el radio vector de dicho baricentro y A1 el ángulo que forma con TL (Fig. 11.9). Tendremos:
o sea:
Luego, teniendo en cuenta que G T es muy pequeño, podemos escribir con mucha aproximación:
(64.9)y
(65.9)De (64.9) deducimos:
(67.9) (68.9)
donde e y M son la excentricidad y anomalía media del baricentro y e’ y M’ son la excentricidad y anomalía media de la Luna.
El ángulo A1, diferencia entre la longitud de la Luna y la longitud baricéntrica del Sol, puede expresarse en función de los movimientos medios sidéreos n y n’ del Sol y de la Luna y de las desigualdades keplerianas periódicas de las longitudes de estos astros que designaremos respectivamente por SP y SP’.
Pondremos
(69.9)
con
(70.9)
En el desarrollo de la fuerza perturbatriz intervienen términos en senjA1 y cosjA1 donde j es un entero. Teniendo en cuenta el valor de (69.9) de A1 podemos escribir:
y desarollando en serie:
(71.9)
y análogamente:
(72.9)
Es fácil ver que sustituyendo (70.9) en (71.9) y (72.9) obtendremos en las expresiones de cosjA1 y senjA1 productos de senos de los ángulos M, M, 2M, 2M, etc. afectados de exponentes enteros. Estos productos se podrán transformar en sumas de senos y cosenos, que multiplicadas por senjs y cosjs nos proporcionarán cosjA1 y senjA1 bajo la forma de sumas de cosenos o de senos con argumentos combinaciones lineales de los ángulos s, M y M
. Pero, los desarrollos de S y P no se utilizan para estudiar las perturbaciones que dependen de e; en consecuencia, cuando interese, despreciaremos los términos en que aparezca e
y escribiremos solamente los que dependan de e.
Teniendo en cuenta todo lo expuesto queda, finalmente.
(73.9)
desarrollo que utilizaremos, como queda dicho, para el estudio de perturbaciones que no dependen de e.
9.3.3 Desarrollo de la función perturbatriz
Cuando interese estudiar las perturbaciones que dependen de la excentricidad e’ utilizaremos la función perturbatriz (recordar (74.8))
y
en el que los primeros términos despreciados son los de cuarto orden en r’/r . Si se omite el primer término, el cual no contiene los elementos de la órbita lunar y por consiguiente no intervendrá en las derivadas parciales, queda:
(75.9)
Podemos expresar R en función de e, e, a, a, s, M, My múltiplos de los argumentos s, M y M, añadiendo a los desarrollos parciales que hemos utilizado para obtener S y P
Obtendremos:
(76.9)
Si tuviéramos en cuenta la inclinación i
, a los argumentos que figuran en el desarrollo (76.9) deberíamos añadir la distancia de la Luna a su nodo ascendente, .
9.3.4 Perturbaciones independientes de la excentricidad de la órbita lunar
Para estudiar las perturbaciones independientes de la excentricidad ede la órbita de la Luna utilizaremos las ecuaciones del movimiento en la forma
(77.9)
que se deduce de las ecuaciones del movimiento en coordenadas polares
donde f representa el módulo de la fuerza central ejercida sobre la unidad de masa y C es la constante de las áreas, recordando además que si u y w son las componentes de la velocidad orbital el efecto de la fuerza perturbatriz durante el tiempo dt se puede representar por du = Sdt , dw = Pdt y de esta segunda se deduce r
dw = dC = rPdt.
La primera de las ecuaciones (77.9) expresa la aceleración radial en coordenadas polares y la segunda, la aceleración normal al radio vector.
La integración de estas ecuaciones con un grado de aproximación suficiente para establecer las Tablas de la Luna es una operación muy complicada. Sin embargo, se pueden establecer algunas reglas conducentes a la simplificación del problema:
1ª) Introduciremos sucesivamente, en las ecuaciones del movimiento, cada uno de los términos de la fuerza perturbatriz y estableceremos la perturbación correspondiente como si existiera sola.
2ª) Integraremos las ecuaciones como si los argumentos s, M y M fueran funciones lineales del tiempo y, por consiguiente, despreciando en los segundos miembros las perturbaciones de las cuales son afectados.
3ª) Cuando en los segundos miembros aparezcan a la vez términos de largo periodo y términos de corto periodo despreciaremos estos últimos.
Los resultados que se obtienen observando estas reglas constituyen la llamada segunda aproximación de la teoria de la Luna.
a) Término constante de la fuerza perturbatriz:
En (73.9) P no contiene término constante; por consiguiente, el segundo miembro de la segunda ecuación de (77.9) es nulo y el movimiento obedece a la ley de las areas. Por otra parte, la primera ecuación de (77.9) se puede escribir, teniendo en cuenta el desarrollo de S:
y puesto que estamos suponiendo e = 0, será a= r (órbita circular) y por tanto el segundo sumando del segundo miembro será cero. La ecuación resultante, junto con la que expresa la ley de las áreas, determina un movimiento circular que se escribe
obteniéndose finalmente:
(78.9)
donde F = 1.0028. Una teoría más completa teniendo en cuenta e e i da para F el valor
El efecto de este factor es una reducción de la atracción de la Tierra sobre la Luna causada por la presencia del Sol.
b) Variación: Es una desigualdad del movimiento de la Luna, descubierta por Tycho Brahe en 1582 y de la cual Newton dio la teoría en su obra “Principios Matemáticos de la Filosofía Natural y su Sistema del Mundo”. Su periodo es de una semi-revolución sinódica; se anula en las sicigias y en las cuadraturas y toma su valor máximo en los octantes donde sobrepasa los 39
. Estas circunstancias bastan para saber que el argumento del cual depende es el doble del ángulo s definido como la diferencia entre las longitudes medias de la Luna y del Sol:
(80.9)
deducidos de (73.9) y tengamos en cuenta los resultados obtenidos en el párrafo a). Escribiremos:
(81.9)
Integremos suponiendo constantes n y a: La segunda da, por integración inmediata
de donde, siendo el valor medio de C n
a2 es
(82.9)
Despejando de (82.9) , elevando al cuadrado, desarrollando en serie y despreciando los términos en 4s , hallamos
(83.9)
valor que sustituido en la primera de las ecuaciones (81.9) nos proporciona
y si, puesto que
reemplazamos por 1 en las dos expresiones entre corchetes, resulta:
Tendremos
(85.9)y
de donde
(87.9)(recordar que n = 3548
.l928 y n= 47434.8907).
Este resultado nos dice que la Luna describe un óvalo cuyo semieje menor, r= a (1-x), está dirigido hacia el Sol (s = 0). La razón de sus ejes es:
Como consecuencia, la paralaje de la Luna es más pequeña en las cuadraturas que en las sicigias en aproximadamente 1/60.
Consideremos de nuevo la ecuación (82.9) y sustituyamos en ella
Tendremos, despreciando términos de orden superior
e integrando:
(88.9)
La desigualdad que aparece en la expresión (87.9) de la longitud de la Luna es la variación. Su coeficiente, calculado a partir de esta fórmula es
0.01022 = 35
resultando para el coeficiente de la variación la serie
cuyos dos primeros términos constituyen los de una serie lentamente convergente que estableció Delaunay de la forma:
(89.9)
cuya suma es:
Si se tuvieran en cuenta los términos que dependen de las excentricidades y de la inclinación, la variación llegaría a valer 39
30
c) Desigualdad paraláctica: es una desigualdad del movimiento de la Luna que depende del argumento s y cuyo periodo es igual a la revolución sinódica.
Los términos correspondientes de la fuerza perturbatriz son:
(91.9)
La segunda ecuación se integra inmediatamente, resultando:
de donde tomando es:
(92.9)
Eliminando entre esta ecuación y la primera de las (91.9) obtenemos
(93.9)
o, también, haciendo como antes r
= asalvo en el factor :
(94.9)
Busquemos una solución de la forma
(95.9)Será
y
Sustituyendo en (94.9) y operando obtendremos:
(96.9)de donde
x = 0.0752
A partir de (96.9) podemos desarrollar x en términos de n/n:
e integrando:
y teniendo en cuenta el desarrollo de x:
(97.9)
En la teoría de Delaunay el coeficiente de la desigualdad paraláctica se desarrolla de la siguiente forma:
(98.9)
El efecto de los términos (90.9) de la fuerza perturbatriz sobre la órbita de la Luna es una deformación sobre la misma en el sentido de que el radio de curvatura de la trayectoria perturbada es mayor en la luna nueva que en la llena y la órbita, por tanto, no es centrada, estando su centro desplazado hacia el Sol.
Debido a la deformación de la órbita, la paralaje de la Luna disminuye en 1
cerca de la luna nueva y aumenta de la misma cantidad en la luna llena. La variación correspondiente de la distancia a la Tierra es, en media, de ±110 km.
La observación de ocultaciones de estrellas por la Luna proporciona el valor del coeficiente (98.9) con mucha precisión, ya que la desigualdad paraláctica retrasa las ocultaciones en 3m 48s en cuarto creciente y las avanza otro tanto en cuarto menguante.
d) Ecuación anual: Es una variación periódica del movimiento medio de la Luna de periodo anual. Está ligada a la variación de la fuerza perturbatriz del Sol, que depende de l/r3 y de M. Fue descubierta, como la variación, por Tycho Brahe.
En (73.9) el desarrollo de S contiene un término en M y el desarrollo de P no lo contiene. La constante de las áreas puede por tanto considerarse aquí como invariable y las ecuaciones del movimiento (77.9) pueden escribirse en la forma:
(99.9)
Eliminemos entre estas dos ecuaciones:
(100.9)
Busquemos una solución de la forma
(101.9)de donde
y
Hagamos como siempre fuera del paréntesis en (100.9). Tendremos: o tambien:
(103.9)El coeficiente de esta desigualdad es de unos -12.5 y su desarrollo (104.9)tiene por primer término
; no contiene término en y el término en no puede deducirse de la teoría que estamos desarrollando.Delaunay obtiene el siguiente desarrollo del coeficiente de la ecuación anual:
cuya suma es -11
2.
Si se añadiesen los términos que dependen de la excentricidad e, su valor sería de -118.Debido a la ecuación anual, del 2 de enero al 2 de julio la Luna está retrasada sobre la Luna media y esta avanzada del 2 de julio al 2 de enero siguiente. A principios de abril los eclipses y las ocultaciones se retrasan en más de 20 minutos y se adelantan en la misma cantidad a principios de octubre.
a) Aceleración secular: En 1787 Laplace demostró que la variación secular de la excentricidad e de la órbita de la Tierra tiene como consecuencia una aceleración secular del movimiento medio de la Luna. En efecto, la distancia media del Sol a la Tierra tiene por expresión
(105.9)
variando, por tanto, en el mismo sentido que la excentricidad; por consiguiente, la fuerza perturbatriz, no periódica, ejercida por el Sol sobre la Luna, varía también secularmente, dando lugar al fenómeno, que había sido observado ya por Halley en 1693, por el cual el movimiento medio de la Luna obtenido comparando observaciones de eclipses reseñados por Tolomeo (siglo II) y de eclipses observados por los árabes (siglo IX) era menor que el que se deducía de comparar estos últimos con las observaciones de eclipses contemporáneos. Lalande fijó en 10
Hemos dicho en el apartado a) que el valor k(m + m) dado por (78.9) es constante. Ahora bien, en el segundo miembro de dicha expresión figura la excentricidad e que decrece secularmente; por tanto, los elementos de la órbita lunar n
por siglo el valor de esta variación, dándole el nombre de aceleración secular de la Luna.
y a han de ser variables. Por otra parte, la expresión de la componente P de la fuerza perturbatriz (recordar 73.9) no contiene más que términos periódicos, y en consecuencia, la constante de las áreas
y teniendo en cuenta que
es invariante, tendremos:
con relación a la excentricidad e:
(108.9)Tomemos
entonces,
de donde, tomando sólo el término en h:
e integrando
y
(109.9)
Tomando en el coeficiente de t2 los valores de e0 y h de la teoría de Newcomb, se deduce para la aceleración secular:
estando el tiempo t expresado en siglos.
El desarrollo del término b dado por Delaunay es
(110.9)siendo b = 6
.
Hoy en día se evalua en 12
.36 el valor de b exigido por las observaciones.
En realidad, la aceleración secular de la Luna es una desigualdad periódica de periodo muy largo ya que actualmente la excentricidad de la órbita de la Tierra está decreciendo y lo continuará haciendo durante 24.000 años aproximadamente; pasará entonces a crecer y la variación correspondiente del movimiento medio de la Luna cambiará de sentido.
Siendo invariante el producto n
2 a3, y conocido el aumento secular del movimiento medio n, se deduce la disminución correspondiente de la distancia a, resultando ser de menos de 2m por siglo.
9.3.5 Perturbaciones que dependen de la excentricidad de la órbita
lunar
Para estudiar las variaciones que dependen de la excentricidad e
de la órbita de la Luna utilizaremos, como indicamos en 9.3.3, la función perturbatriz R que sustituiremos en las ecuaciones de Gauss (119.8) adecuadas a nuestro caso. Supondremos nula la inclinación de la órbita y despreciaremos los términos en el cuadrado de la excentricidad, con lo que dichas ecuaciones tomarán la forma:
(111.9)
Los únicos términos de la función perturbatriz que intervienen en las derivadas de e
y de w son los que contienen uno u otro de estos dos elementos. Por tanto, a partir de (76.9) escribiremos:
(112.9)
En el desarrollo que utilizaremos sólo consideraremos los términos no periódicos y los de periodo muy largo que son los que separan al máximo el cuerpo perturbado de su lugar medio.
El periodo de los términos en M
es próximo a un mes. El de los términos en 2s - Mtambién es próximo a un mes ya que 2s -M= 2(n-n)t-nt = nt-2nt y teniendo en cuenta que /día y /día, la diferencia es de 11º/día ; por tanto 360º/11º32 días. El periodo de los términos en 2M es de aproximadamente 14 días. Los de los términos en 2s + M y en 2(s + M) son respectivamente de unos 9 y 7 días. Veamos cual es el del término 2(s - M
):
Si suponemos fijo el perigeo de la Luna, el periodo es de seis meses, o sea, mucho mayor que los otros.
Limitaremos, pues, la función perturbatriz a los siguientes términos:
(113.9)
Sustituyendo esta expresión de R en las ecuaciones (111.9) tendremos:
(114.9)puesto que al no figurar en (113.9) la longitud de la Luna. Esto nos dice que el semieje mayor no sufre perturbaciones que dependan del argumento2(s -M
).
(115.9) (116.9)
a) Movimiento secular del perigeo: Para estudiar el movimiento del perigeo pongamos
y derivemos respecto al tiempo teniendo en cuenta (116.9):
(117.9)Integremos efectuando el cambio de variable tanj = x y haciendo ; tendremos: y sustituyendo en (117.9):
de donde:
e integrando
Luego,
(118.9)Hagamos
(119.9)
siendo el primer término despreciado en sen 4y.
Podemos escribir, pues, la expresión que da la longitud del perigeo de la siguiente forma
o también:
y haciendo
sustituyendo el valor de p y agrupando los términos en t, queda finalmente:
(120.9)
Vemos pues que el perigeo presenta un movimiento secular cuya velocidad angular media es
o, lo que es lo mismo:
(121.9)
expresión aproximada que da para el movimiento medio del perigeo el valor de 351
siendo la serie dada por Delaunay:
cuya suma es 400
.4688.Si se tienen en cuenta otros términos que dependen de las excentricidades y de las inclinaciones se halla m = 400
m la longitud media del perigeo y despreciamos la excentricidad de la órbita terrestre, podemos escribir (120.9) de la forma:
(122.9)
El coeficiente de la desigualdad es
(123.9)Sustituyendo p por su valor y desarrollando en serie encontramos, en nuestro estudio, que sólo el primer término es válido
, podemos escribir
o también:
(125.9)
ecuación diferencial a variables separables que se integra inmediatamente, teniendo en cuenta que, a menos de un factor -2 el numerador es la derivada del denominador. Por tanto:
es decir,
es
con constante. Luego, podemos escribir o sea
(126.9)con
(127.9)
Siendo la excentricidad media e
0 = 0.0549, la excentricidad e varía entre
e
(128.9)
no siendo perturbado el eje mayor a’ (114.9).
Calculemos ahora la ecuación del centro de esta órbita deformable. Sea M’p la anomalía media perturbada de la Luna:
(129.9)
donde
o también
(130.9)
donde M’ es la parte secular de M’p:
De (130.9) deducimos:
(131.9)
y llevando los valores de e
y senMp a la expresión (129.9) obtenemos:
de donde, despreciando los términos de segundo orden
El término senM representa la ecuación del centro en una órbita elíptica de magnitud invariable (primer término del desarrollo de la ecuación del centro), en la que la línea de los ápsides giraría uniformemente en sentido directo con velocidad angular m. El término a sen(M-2y) representa una desigualdad que se suma a la ecuación del centro y que depende del seno del argumento M
-2y; recibe el nombre de evección y su descubrimiento se atribuye a Ptolomeo. Teniendo en cuenta el significado de M-2y vemos que el tiempo interviene en la ecuación bajo el factor
n
-2n +m = 40739.42
correspondiendo a un periodo de 31.81 días.
El coeficiente de la evección es
cuyo valor es de 57
.4.
La serie obtenida por Delaunay es
Obsérvese que los coeficientes son grandes debido a qué la excentricidad es relativamente grande.e) Reduccíón a la eclíptica: No es propiamente una perturbación sinó una reducción, análoga a la reducción al ecuador (4.7.2), que fue introducida en la teoría de la Luna por Tycho Brahe y que expresa la diferencia entre la longitud celeste y la longitud sobre la órbita. Viene dada por
donde l es la longitud celeste, i la inclinación de la órbita de la Luna sobre la eclíptica y h el argumento de latitud L - W.
Resumimos a continuación los resultados obtenidos que afectan a la longitud:
aceleración secular
ecuación del centro
variación
desigualdad paraláctica
ecuación anual
evección
reducción a la eclíptica
9.3.6 Desigualdades que dependen de una perturbación ortogonal al
plano orbital de la Luna
Hasta ahora hemos supuesto la fuerza perturbatriz sobre el plano de la órbita lunar; pero, en realidad está situada en el plano que contiene los centros del Sol, de la Tierra y de la Luna. Admite pues, además de las componentes S y P , una componente T perpendicular al plano de la órbita.
En la expresión (60.9) de la fuerza perturbatriz intervienen dos términos el primero de los cuales representa un vector dirigido según el radio vector de la Luna y el segundo un vector paralelo al radio vector Tierra-Sol. Recordemos que, tomando el sentido positivo hacia el Sol, este último es
(132.9)y su módulo
(133.9)
Si limitamos el desarrollo (133.9) a su primer término y despreciamos las excentricidades este módulo es
(A
s, r’a’, ).La proyección sobre la normal al plano de la órbita es la componente ortogonal buscada.
FIG. 12.9
Representemos sobre la esfera celeste la eclíptica E, la órbita de la Luna L, el Sol S, el nodo ascendente de la órbita de la Luna N y el polo norte PL del plano de la órbita de la Luna (Fig.12.9).
Pongamos
NL=h
y sean, por otra parte, i la inclinación de la órbita de la Luna sobre la eclíptica, W la longitud del nodo y s la distancia SL. En primera aproximación tendremos:
La componente ortogonal T tiene por expresión
(el signo menos indica que se proyecta hacia la parte negativa de la normal).
Ahora bien,
sen SS = sen isen NS = sen isen ( h-s )
luego,
Es decir:
(134.9)
FIG. 13.9
Veamos cuales son los efectos de una perturbación ortogonal instantánea. Supongamos que la órbita de la Luna es circular. Sea la velocidad de la Luna en su órbita y compongamos esta velocidad con .La velocidad resultante, que representa la velocidad perturbada continúa siendo perpendicular al radio vector y forma con un ángulo dw. La perturbación hace girar el plano de la órbita, alrededor de , un ángulo dw; el nodo pasa de N a Ndesplazándose dW y la inclinación de la órbita varía en di.Por ser dw muy pequeño podemos escribir
(135.9)
donde Tdt y V son los módulos de y .Por otra parte, sean PL y PL
los polos de las órbitas lunares no perturbada y perturbada y Pe el polo de la eclíptica. En el triángulo se verifica:
(136.9)
de donde
y teniendo en cuenta (135.9)
y desarrollando y operando el segundo miembro:
o también, operando el segundo miembro:
(139.9)
El periodo de los términos en es del orden de 6 meses y es el más largo. Los términos en tienen un periodo igual a la semirrevolucion sinódica y el de los términos en es de una semirrevolución draconítica.Consideraremos sólo los términos de periodo largo y escribiremos:
. Hallaremos para la longitud del nodo:
(141.9)
con
(142.9)
El movimiento medio sidéreo del nodo es, en primera aproximación
(143.9)
serie cuya suma es -193.8. El valor observado es de -190.77.
La serie obtenida por Delaunay es:
La longitud del nodo afectada de su principal desigualdad es
(144.9)
donde W
m es la longitud media y .
El periodo de esta desigualdad es de 173.31 días y su semiamplitud es, teniendo en cuenta el valor de p:
b) Desigualdades de la inclinación: Para estudiar las desigualdades de la inclinación partamos de la segunda ecuación de (140.9) y del valor de dj/dt que se deduce de hacer . Tendremos
(145.9)
Eliminando dt entre estas dos ecuaciones resulta
ecuación diferencial a variables separables que podemos resolver haciendo
Es decir,
ecuación del mismo tipo que la (125.9) cuya integral es, una vez restablecido el valor de la variable,
Vemos pues que la inclinación está afectada de una desigualdad del mismo periodo que el nodo, 173.31 días, y su semiamplitud es b sen = 8.2.
9.3.7 Desigualdades de la latitud celeste de la Luna
Calcularemos la latitud celeste de la Luna mediante la ecuación
(146.9)
la cual contiene las desigualdades correspondientes a la longitud de la Luna y las desigualdades correspondientes al nodo y la inclinación.
Despreciemos las desigualdades de la inclinación y del nodo y pongamos
(147.9)
donde h crece uniformemente con el tiempo y representa las desigualdades periódicas de la longitud de la Luna y se escribe
(149.9)
forma general del desarrollo del seno de la latitud supuesto fijo el plano de la órbita.
Las desigualdades de la latitud que se obtienen como consecuencia de las del nodo y de la inclinación son pequeñas a excepción de la que recibe el nombre
de gran desigualdad de la latitud . Si el plano de la órbita no sufre otra perturbación que la retrogradación del nodo, salvo desigualdades periódicas, la latitud toma el valor
(150.9)
y sustituyendo las desigualdades por sus expresiones
se obtiene:
(151.9)
El tercer término de esta expresión (151.9) contiene únicamente el argumento de latitud de la Luna L-W’m y puede englobarse en la inclinación siendo este valor corregido de el que se determina por observación. Los otros dos términos de (151.9) son términos semejantes y por tanto se pueden sumar. La parte secular de su argumento es
Luego, el desarrollo de B es:
(152.9)
Vemos pues que aparece una desigualdad de la latitud celeste cuya amplitud es de 17 38.
Si se tiene en cuenta que L está afectada por la variación puede escribirse
valor que afecta al desarrollo de la latitud (152.9), obteniéndose la gran desigualdad de la latitud en la forma:
El tiempo interviene en su argumento con el coeficiente
que corresponde a un periodo de 32.28 días. La amplitud de la gran desigualdad es de 21 10.