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7. PROBLEMA DE LOS N-CUERPOS
Conocemos con el nombre de problema de los n-cuerpos la descripción del movimiento de un sistema de n puntos materiales (n
2) que se atraen dos a dos con una fuerza newtoniana.
El caso n=2 ha sido ya estudiado en el Cap. 3
Newton fue el primero en formular el problema de los n-cuerpos de una forma precisa, enunciándolo como sigue: Dadas en un instante las posiciones y las velocidades de tres o más partículas que se mueven bajo la acción de sus atracciones gravitatorias mútuas, siendo conocidas las masas de las partículas, calcular sus posiciones y velocidades para otro instante.
El problema se complica si se han de tener en cuenta la forma de los cuerpos y su constitución interna, como en el caso del sistema Tierra-Luna-Sol (n=3).
Vimos que para el caso n=2 el problema es totalmente integrable. Veremos en este capítulo que el de los n-cuerpos (n
3) no lo es en un caso general. Quizás sea éste el hecho de que tantos matemáticos y astrónomos eminentes se hayan dedicado a su estudio en las últimas tres centurias, habiéndose expuesto, en consecuencia, varios trabajos, todos ellos condicionados por las diez integrales primeras del movimiento que fueron conocidas ya por Euler; las únicas que se conocen desde entonces y probablemente las únicas que existen.
En el caso del problema de los tres cuerpos Lagrange halló soluciones particulares , las cuales existen cuando se dan ciertas relaciones entre las condiciones iniciales.
Posteriormente, se ha progresado principalmente en el estudio de problemas especiales en los que se han utilizado aproximaciones de varios tipos. Por ejemplo, en el problema de los tres cuerpos restringido circular en que dos masas puntuales se mueven en órbitas circulares no perturbadas alrededor de su centro de masas común mientras atraen una partícula de masa tan pequeña que no puede afectar apreciablemente sus órbitas, del cual se hace aplicación actualmente al estudio del movimiento de un satélite artificial en el espacio Tierra-Luna.
7.1 Ecuaciones del movimiento
Consideremos n puntos materiales (n > 2) Pi ( i=1,2,...,n) de masas respectivas mi (i=1,2,...n) referidos a un sistema de coordenadas cartesianas fijo al que asociamos la variable tiempo t de manera que las posiciones de los puntos Pi estén definidas por los vectores
de componentes rij (i= 1,2,...,n; j=1,2,3). Supongamos que la acción mútua entre dos puntos Pi, Pk tiene por dirección la recta que los une y por módulo G mi mk |f(rik)|, donde G es la constante de la gravitación universal, rik la distancia entre Pi y Pk y f(rik) una cierta función de dicha distancia, estando el sentido de la fuerza que Pk ejerce sobre Pi. definido por el vector
con rik=| rik |. Incluiremos en la función f(rik) el signo correspondiente que será negativo para las fuerzas repulsivas y positivo para las atractivas.
Las ecuaciones del movimiento del punto Pi serán:
(1.7)
habiendo hecho G=1 con el consiguiente cambio de la variable tiempo que seguiremos llamando t.
Introduzcamos las funciones escalares energía cinética T y función de fuerzas U dadas por las expresiones
(2.7) (3.7)
donde
(4.7)
Si derivamos parcialmente la función U con respecto a una cualquiera de las componentes rij tendremos:
(5.7)
que nos da para el gradiente , teniendo en cuenta (1.7), la expresión
(6.7)
La función lagrangiana
L = T + U
verifica, evidentemente las ecuaciones
(7.7)
A partir de (7.7) podemos obtener la formulación canónica del problema. En efecto, sea el momento correspondiente a ,
se obtienen las igualdades
que constituyen las ecuaciones canónicas del movimiento
(9.7)
llamadas ecuaciones de Hamilton-Jacobi, equivalentes a las (1.7) y (6.7).
7.2 Las diez integrales clásicas
Las ecuaciones (1.7) constituyen un sistema de 3n ecuaciones escalares diferenciales de segundo orden. Por tanto, el sistema es de orden 6n y se necesitarían para resolverlo completamente 6n constantes de integración, es decir, 6n funciones de
, , t que permanecieran constantes durante el movimiento. Se conocen si n=2; pero, en el caso general sólo se conocen 10.
Sumando las ecuaciones (1.7), teniendo en cuenta que , obtenemos (10.7)e integrando dos veces:
(11.7)y
(12.7)
expresiones que constituyen seis integrales primeras cuyas seis constantes de integración son las componentes de los vectores y .
(14.7)
Multiplicando vectorialmente las ecuaciones (1.7) por y sumando se obtiene:
(16.7)Pero,
y
por consiguiente, en el segundo miembro de (16.7) se van destruyendo los términos dos a dos y en consecuencia queda:
(17.7)
e integrando, teniendo en cuenta la igualdad
se obtiene
(18.7)
expresión que aporta tres nuevas integrales primeras al problema que reciben el nombre de integrales de las áreas o del momento angular. El vector
es el momento angular y sus componentes constituyen otras tres constantes de integración.
La ecuación (18.7) nos dice que el momento angular de las masas en el sistema es constante. El vector
define un plano llamado plano invariante de Laplace inclinado 1,5º respecto al plano de la eclíptica y situado entre los planos orbitales de Júpiter y Saturno.
Para hallar la décima constante de integración multipliquemos escalarmente la ecuación (6.7) por y sumemos con respecto al índice i. Obtendremos: (19.7)e integrando:
(20.7)o lo que es lo mismo (ver (2.7)):
(21.7)
expresión que constituye la llamada integral de la energía siendo la constante de integración h la energía del sistema.
El primer miembro de la ecuación (21.7) es la energía cinética del sistema, mientras que -U es la energía potencial. Por consiguiente, dicha ecuación (21.7) establece que la energía total del sistema de los n cuerpos es constante. Dicho de otra forma, el sistema es conservativo.
Las expresiones dadas por (11.7), (12.7), (18.7) y (20.7) se denominan integrales clásicas del problema de los n cuerpos. De momento no se conocen más. Bruns y Poincaré demostraron que, aparte de las diez encontradas, no existen otras integrales del problema de los n cuerpos que den ecuaciones que contengan sólo funciones, algebraicas o integrales, de las coordenadas y velocidades de los cuerpos válidas para todas las masas y que satisfagan las ecuaciones del movimiento.
Es posible reducir el orden del problema utilizando las diez integrales clásicas; el origen de coordenadas puede trasladarse al centro de masas del sistema y con la ayuda de las integrales del área y de la energía se obtiene un sistema de orden (6n - 10).
7.3 Teorema del virial
Sea J el momento de inercia del sistema definido por
(22.7)y derivemos dos veces con respecto al tiempo. Obtenemos:
(23.7)
o bien, teniendo en cuenta (2.7) y (6.7)
(24.7)
Pero,
y teniendo en cuenta (21.7), también:
(26.7)
En particular, para el caso newtoniano (l = -2) se tiene:
(27.7)
identidad que recibe el nombre de Lagrange-Jacobi.
En (27.7) T y U son positivos, de modo que si h es positiva, es positivo y crece indefinidamente, de modo que por lo menos una de las debe crecer hasta el límite del sistema de los n-cuerpos, lo cual es equivalente a decir que por lo menos uno de los cuerpos escapa del sistema. Para que el sistema sea estable es necesario que
sea negativa y tal que haga negativo. De todos modos esta condición no es suficiente para que el sistema sea estable.
7.4 Coordenadas relativas
Sean n cuerpos Pi(i = 1,2,...,n) de masas respectivas mi referidas a un sistema de coordenadas cartesianas (O; X,Y,Z) (Fig. 1.7). Sean sus posiciones.
FIG. 1.7
Tomemos el cuerpo Pn como origen de un nuevo sistema de coordenadas x,y,z. Si designamos por el vector de posición del cuerpo Pi en este nuevo sistema, será:
(29.7)
Aislando los términos para k=n en la primera sumación y para k=i en la segunda, resulta:
o también:
(30.7)Haciendo
y
Por consiguiente:
y
(31.7)
Luego:
(32.7)
Los primeros términos del segundo miembro son las atracciones directas sobre el cuerpo de masa mi debidas a los cuerpos perturbadores. Los segundos términos reciben el nombre de términos (o atracciones) indirectos.
7.4.1 Aplicación al Sistema Solar
Consideremos las ecuaciones del movimiento de un cuerpo de masa despreciable (un cometa, por ejemplo) en el Sistema Solar. Si tomamos como origen de coordenadas relativas el Sol y llamamos
al vector de posición del cometa y (k = 1,2,...,9) los vectores de posición heliocéntricos de los planetas, según (32.7), tendremos:
representa la sumación sobre los nueve planetas en orden de distancias medias crecientes del planeta al Sol. Debido al movimiento propio de los cometas el término de mayor contribución en el segundo miembro es el relativo a Júpiter, m5, pudiendo ser los efectos de los demás planetas relativamente pequeños. En la práctica, por consiguiente, la fórmula (33.7) se puede simplificar; pero, en cada caso, las simplificaciones deberán ser justificadas. Así, a menos que el cometa se mueva en su órbita muy cerca de Plutón, el término k = 9 se puede despreciar puesto que tanto las atracciones directas como las indirectas de (33.7) son muy pequeñas. No sucede lo mismo en el caso de Mercurio en que dichos términos no son despreciables.
El término indirecto debido a Mercurio es:
(33.7)
donde M representa la masa del Sol, mk las masas de cada uno de los planetas (recordemos que G = 1).
Si llamamos al centro de masas del Sol y de Mercurio, tendremos:
lo que da lugar a:
Por consiguiente, después de estas consideraciones podemos escribir (33.7) en la forma
(34.7)
Observamos que despreciar un término indirecto afecta, parcialmente, a un cambio de origen del sistema de referencia. En trabajos prácticos sobre perturbaciones cometarias conviene muchas veces despreciar los planetas Mercurio, Venus, La Tierra y Marte debido a la pequeñez de sus perturbaciones directas. Las perturbaciones indirectas son absorbidas por un cambio de origen al centro de masas del Sol y los cuatro planetas citados. Si el vector de posición de dicho centro de masas es
escribiremos:
(35.7)
está tabulado en “Planetary coordinates for the years...”
Si el cometa es tal que |r| » |rk| (k=l,2,3,4) entonces
y haciendo
es
Por otra parte, si tomamos:
(36.7)podemos escribir (35.7) en la forma:
A la suma (36.7) se la llamaba antiguamente “caída de los planetas dentro del Sol”. La fórmula (37.7) nos da el movimiento del cometa con respecto al baricentro rº4 en función de las posiciones heliocéntricas de los planetas Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.
7.5 Problema de los tres cuerpos
Llamaremos problema de los tres cuerpos al caso particular del de los n-cuerpos para n = 3.
El sistema (1.7) en el caso newtoniano se escribirá:
(38.7)y equivaldrá a un sistema de nueve ecuaciones escalares diferenciales de segundo orden. El orden del sistema será, por tanto, 18, lo cual quiere decir que se precisarán 18 constantes de integración para que quede completamente determinado el movimiento de los tres cuerpos.
De la misma manera que en 7.2 se pueden obtener también aquí diez integrales primeras: las seis del momento lineal
(39.7) (40.7)las tres del momento angular
(41.7)y la de la energía
.
Conocidas estas integrales el orden del sistema puede reducirse a 18 — 10 = 8. También se consigue una reducción de dos órdenes más aplicando lo que se llama la eliminación de los nodos, que consiste en eliminar la variable tiempo y elegir como una de las coordenadas de posición del sistema el ángulo formado por la normal al plano de los tres cuerpos y un eje fijo. Esta reducción, que ya estaba implícitamente contenida en los trabajos de Lagrange, fue desarrollada por primera vez con toda precisión por Jacobi en 1842.
Sundman en 1912 obtuvo una solución general del problema de los tres cuerpos; pero, su expresión es tan complicada y las series utilizadas tan lentamente convergentes que la hacen impracticable. Las únicas integrales primeras con las que se puede contar, por el momento, son las diez mencionadas, llamadas integrales clásicas. Sin embargo, existen, como veremos, situaciones especiales en que el problema se puede resolver analíticamente.
7.5.1 Caso en que r12 « r13 y r12 « r23
Supongamos tres cuerpos de masa m1, m2, m3 y sean (Fig. 2.7) y . Sería, por ejemplo, el caso de la Tierra (m1), la Luna (m3) y un satélite artificial de la Tierra (m2).
Para simplificar haremos:
, ,
FIG. 2.7
Sustituyendo en las dos primeras ecuaciones del sistema (38.7) explicitando el valor de G, tendremos:
(43.7)y restando miembro a miembro:
o también, haciendo G(m1 + m2) = μ
(44.7)que expresa el movimiento del satélite artificial alrededor de la Tierra perturbado por la presencia de la Luna. El segundo término del segundo miembro es la fuerza perturbatriz que interesa expresar en función de
y para estudios posteriores.
(45.7)
(46.7)o también:
de donde:
y teniendo en cuenta que r « R y por tanto :
que desarrollado en serie da
y si r
Esta fórmula, ya de por sí muy sencilla, se puede simplificar todavía más si se considera que durante una revolución del satélite en torno a la Tierra, la Luna se desplaza menos de 1º y por tanto se puede tomar
R todavía
constante en una vuelta.
7.5.2 El problema restringido circular
En este caso se supone despreciable la masa de uno de los cuerpos, por ejemplo la masa m3, respecto a las masas m1 y m2 de los otros dos cuerpos, de modo que m1 y m2 perturban el movimiento del cuerpo de masa m3 pero m3 no influye en el movimiento de los cuerpos de masas m1 y m2.
Supondremos m1 > m2 y que la órbita relativa de m2 respecto a m1 es una circunferencia. Se tratará pues de estudiar el movimiento de tres cuerpos de los cuales dos de masa finita giran uno alrededor del otro en órbitas circulares mientras un tercer cuerpo de masa infinitesimal se mueve en su campo. Esta situación que fue estudiada principalmente por Poincaré y Hill entre otros, se halla con alguna aproximación en el Sistema Solar.
Tomemos el sistema (38.7) y escribámoslo para este caso:
(47.7) Restando las dos primeras ecuaciones y haciendo resulta:
(48.7)
con μ = G (m1+ m2).
La ecuación (48.7) expresa el movimiento relativo del cuerpo de masa m2 con respecto al de masa ml. La tercera ecuación de (47.7) nos da el movimiento del tercer cuerpo de masa m3.
Supongamos que O es el centro de gravedad de los cuerpos de masas ml y m2 (Fig. 4.7). Puesto que m3 es infinitamente pequeña se puede suponer que O es también el centro de gravedad de los tres cuerpos.
FIG. 4.7
Tomemos dos sistemas de coordenadas con origen en O definidos: uno de ellos, x, y, z, móvil, de modo que el eje x coincida con la recta que une los cuerpos de masas m1 y m2, el eje y esté situado en el plano de la órbita que describe el cuerpo de masa m2 alrededor del de masa m1 y el eje z formando triedro trirrectángulo con ellos; el otro ξ, η, ζ, que no gire con los cuerpos, es decir, fijo en el espacio y tal que ζ = z.
Para pasar de la base ξ, η, ζ, a la base x, y, z utilizaremos la matriz
(50.7)
Para simplificar el problema podemos considerar un espacio más reducido (plano) y definir los vectores
con lo cual la tercera ecuación de (47.7) se escribirá:
(49.7)donde es el ángulo que forman los ejes ξ y x en cada instante.
Estudiaremos el movimiento del cuerpo de masa m3 respecto a los ejes móviles. Por comodidad en la notación haremos:
y la matriz de giro
que aplicada a
nos dará
Con este convenio la equivalente a la ecuación (50.7) será:
(51.7) Recordemos las siguientes propiedades de la matriz M():
Luego,
(52.7)
y derivando dos veces:
(53.7) (54.7)Ahora bien, teniendo en cuenta la definición que hemos dado de
, si n es el movimiento medio del cuerpo de masa m2 y es un valor inicial de será
de donde
(55.7) (56.7) (57.7)
y multiplicando por la izquierda por M(
) teniendo en cuenta el valor de dado por (57.7) y que
obtenemos:
(58.7)y como que el tercer eje es común:
(59.7)
En el sistema de ejes móviles las coordenadas de los cuerpos de masas m1 y m2 son respectivamente (x1, 0, 0) y (x2, 0, 0); por tanto, los vectores y que figuran en (58.7) serán
(62.7)siendo
La ecuación (62.7) se puede integrar fácilmente multiplicando sus dos miembros escalarmente por :
(63.7)
pero,
y por tanto, podemos escribir (63.7) en la forma
de donde
(64.7)
expresión que recibe el nombre de integral de Jacobi o de la energía relativa y que nos da el módulo de la velocidad del cuerpo infinitesimal en cada posición en el sistema móvil.
La integral de Jacobi se puede expresar también en función de las coordenadas y las componentes de la velocidad en el sistema de coordenadas fijo, obteniéndose:
(65.7)siendo v la velocidad del cuerpo de masa m3 en el sistema fijo.
7.5.3 Criterio de Tisserand
Una aplicación de la ecuación de Jacobí es el criterio de Tisserand para la identificación de cometas.
Si un cometa se aproxima mucho a Júpiter, o a otro de los planetas, su órbita puede resultar muy perturbada y, a menos que alguna propiedad de su órbita heliocéntrica no se vea afectada por la perturbación planetaria, en su nuevo paso será difícil identificarlo.
Tisserand consideró la situación Sol - planeta – cometa como un ejemplo del problema restringido circular de los tres cuerpos en que el cometa juega el papel de cuerpo de masa infinitesimal. El planeta es generalmente Júpiter, de gran masa y distancia al Sol grande, y cuya órbita, aunque no circular, de excentricidad suficientemente pequeña para poderse despreciar. En la integral de Jacobi, aunque el cometa sea perturbado por Júpiter, la constante C se conservará invariante y dicha invariancia permitirá identificar el cometa.
Utilizaremos para sustituir en (65.7) los elementos orbitales de los dos posibles cometas en lugar de las coordenadas y velocidad de los mismos.
En el caso de Júpiter y el Sol es , de modo que el centro del Sol puede tomarse como origen sin error sensible. Si y son el radio vector heliocéntrico del cometa y la constante de las áreas en el problema de los dos cuerpos Sol - cometa, i, a y e son respectivamente la inclinación de la órbita del cometa con respecto al plano de la órbita de Júpiter alrededor del Sol, el semieje mayor y la excentricidad de la órbita del cometa, la integral de la energía del cometa nos da
y la integral de las áreas
con
y
Sustituyendo estas expresiones en (65.7) obtenemos:
(66.7)( = distancia Júpiter-cometa).Ahora bien, si designamos por A la distancia de Júpiter al Sol es
de donde,
y sustituyendo en (66.7) y operando, teniendo en cuenta que m2/m1
(68.7)es muy probable que se trate de un mismo cometa; pero, si los dos miembros de (68.7) son muy distintos, podemos asegurar que se trata de dos cometas distintos. Tal es el criterio de Tisserand válido sólo aproximadamente. Debemos observar que aun que en la deducción de la fórmula (67.7) se ha utilizado la inclinación de la órbita del cometa respecto a la de Júpiter, en la práctica, y sin error notable, en la fórmula (68.7) se utiliza la inclinación de la órbita del cometa respecto a la eclíptica.
7.5.4 Superficies de velocidad relativa nula
La ecuación (64.7) es una relación entre el cuadrado de la velocidad y las coordenadas del cuerpo infinitesimal referido a los ejes que giran. Por consiguiente, cuando se ha determinado la constante de integraciónC numéricamente, por las condiciones iniciales, dicha ecuación determina la velocidad con que el cuerpo infinitesimal se moverá en todos los puntos del espacio que gira; y, recíprocamente, para una velocidad dada, la ecuación (64.7) da el lugar de puntos del espacio relativo donde puede estar el cuerpo de masa infinitesimal.
En particular, si en (64.7) hacemos V = 0, nos queda
2 U= C
o teniendo en cuenta el valor de U:
(67.7)
Si observarnos, pues, el paso de los que parecen ser dos cometas y los elementos orbitales que intervienen en la fórmula (67.7) del primero son a0, e0, i0 y del segundo a1, e1, i1 y se verifica
0.001, resulta, suprimiendo los términos afectados por dicho cociente
y tomando A=1, ml +m2 =1, m2/(ml+m2) = v, ml/(ml+m2) = 1-v, finalmente:
(70.7)donde
Para un dado valor de C (70.7) será el lugar de puntos situados en la superficie representada por la misma fórmula (70.7) y para distintos valores de C tendremos el lugar de superficies en el espacio definidas por (70.7).
La ecuación (70.7) define, para un dado valor de C los límites de las regiones en que el cuerpo de masa m3 puede moverse. Es evidente que estas regiones son aquellas para las cuales es 2U > C pues de lo contrario V2 sería negativo y resultarían valores imaginarios para la velocidad. Dicha ecuación recibe el nombre de superficie límite de Hill y no nos dice nada acerca de las órbitas que la partícula describe en el espacio en que se puede mover. Para obtenerlas es preciso conocer otras integrales del problema.
Las superficies expresadas por la ecuación (70.7) corresponden a las superficies de potencial constante ya que 2U = C.
Puesto que en (70.7) y y z figuran sólo elevadas al cuadrado, resulta que las superficies límites de Hill son simétricas respecto al plano xy y respecto al plano xz, y cuando v = 1/2 también con respecto al planoyz (si v = 1/2 los puntos x1 y x2 están situados simétricamente respecto al origen). Las superficies para
pueden considerarse como deformaciones de aquellas para las cuales v = 1/2.
Para tener una idea aproximada de la forma de estas superficies estudiaremos la de las curvas que resultan al cortar por los planos de referencia.
La ecuación de las curvas de intersección de las superficies con el plano xy se obtiene haciendo z = 0 en (70.7) y de la fórmula es
(71.7)
Para valores muy grandes de x y de y que satisfagan esta ecuación, el tercer y cuarto términos no son demasiado importantes y la ecuación puede escribirse
donde
es una cantidad pequeña. Esta ecuación representa un círculo de radio ; por consiguiente, una rama de la curva en el plano xy es aproximadamente un óvalo circular asintótico al cilindro de eje el eje z y radio
en el interior del cual están contenidas las superficies. En efecto, cuando , la ecuación (70.7) tiende a convertirse en la x2 + y2 = C. Cuanto mayor sea C, mayores son los valores de x y de y que satisfacen la ecuación y más pequeño es
, y el óvalo es más circular.
Para valores pequeños de x y de y que satisfacen (71.7) el primer y segundo términos son poco importantes y la ecuación puede escribirse
(72.7)
ecuación de la curva equipotencial para los dos centros de fuerza 1 - v y v. Si C es grande, se compone de dos óvalos cerrados alrededor de cada uno de los centros 1 – v y v (a,b Fig. 5.7). Para valores pequeños de Cestos óvalos tienen tendencia a unirse entre sí. Hay un valor determinado de C para el cual los óvalos que envuelven 1 - v y v se encuentran en un punto doble L2 en el cual tienen una tangente común. Si el valor de C se hace más pequeño, los óvalos se unen para formar una superficie única con un cuello estrecho, indicada por C en la Fig. 5.7, por donde es posible que la partícula escape de la proximidad de una de las masas finitas hacia la otra, pero todavía no es posible que escape a la otra región. Para un nuevo decrecimiento de C, la región interior encuentra a la exterior en un nuevo punto doble L3. Si C sigue decreciendo, se halla otro punto doble L1, mientras que el ensanchamiento del cuello en torno a L3 proporciona a la partícula de masa infinitesimal la posibilidad de salir de la región que envuelve las dos masas finitas (e en Fig. 5.7). Si el proceso de decrecimiento de C continúa, las regiones inaccesibles para la partícula m3 sobre el plano xy se encogen hasta quedar reducidas a dos puntos, L4 y L5 (f en Fig. 5.7).
(73.7)
FIG. 6.7
FIG. 7.7
Para valores muy grandes de x y de z que satisfagan esta ecuación, el segundo y tercer términos no son muy importantes y podremos escribir
que es la ecuación de un par de rectas paralelas al eje z. Cuanto mayor sea C mayor es el valor de x que para un dado valor de z satisface la ecuación y menor es el valor de
. Las rectas que corresponden al valor máximo de C son generatrices del cilindro asintótico. Para valores pequeños de x y de z que satisfagan la ecuación (73.7) podernos escribir
(74.7)
Volvemos a encontrar la ecuación de las curvas equipotenciales que tienen las mismas propiedades que las anteriores. Por consiguiente, la forma de las curvas en el plano xz es cualitativamente la dada en la Fig. 7.7, donde los números 1, 2, ... indican las curvas que corresponden a distintos valores decrecientes de C.
FIG. 8.7
FIG. 9.7
Haciendo x = 0 en la ecuación (70.7) obtenemos la ecuación de las curvas de intersección de las superficies y el plano yz, esto es:
(75.7)
Para valores muy grandes de y y de z que satisfagan la ecuación (75.7) el segundo y tercer términos son poco importantes y podemos escribir
que es la ecuación de un par de líneas próximas a las generatrices del cilindro asintótico y que se aproximan a él cuando C aumenta. Si 1 – v es mucho mayor que v, el valor numérico de x2 es mucho mayor que el de x1; por consiguiente, para pequeños valores de y y de z que satisfagan (75.7) dicha ecuación se podrá escribir
que es la ecuación de un círculo de radio tanto mayor cuanto menor sea C. La forma de las curvas en el plano yz es cualitativamente la representada en la Fig. 8.7, donde los números 1,2,... indican, como antes, las curvas que corresponden a distintos valores decrecientes de C.
Es evidente, después del estudio efectuado, que las superficies de Hill para distintos valores de C consistirán, si C es grande, de dos superficies cerradas, aproximadamente esféricas, que envuelven cada una de las masas finitas, metidas dentro de un conjunto de superficies que cuelgan a modo de cortinas de un cilindro asintótico simétrico con respecto al plano xy; conforme el valor de C va disminuyendo, las superficies esféricas se van expandiendo y acercando una a la otra hasta unirse para después, formando ya una sola superficie y para valores de C todavía más pequeños, encontrarse con las “cortinas”, estando los primeros puntos de contacto en el plano xy. Para valores de C suficientemente pequeños, las superficies constan de dos partes simétricas respecto al plano xy, sin puntos comunes. En la Fig. 9.7 damos un esquema simplificado de la forma de estas superficies.
Hallada la forma de las superficies de Hill, podemos ver en que regiones del espacio relativo se puede mover la partícula de masa infinitesimal. La ecuación (64.7) nos da el cuadrado de la velocidad y ya hemos dicho que para que la velocidad sea real debe ser 2U > C. Si esto ocurre en el interior de una superficie cerrada ocurrirá en cualquier otro punto interior a ella ya que la función cambia de signo solamente en una superficie de velocidad relativa cero (2U = C).
Es evidente que podemos tomar un punto tan cerca de 1 - v o de v, o lo que es lo mismo, ρ1 o ρ2 tan pequeños que por grande que sea C, se verifique que 2U > C; en este caso el movimiento será real en el interior de una de las dos superficies esferoidales cerradas que envuelven las masas finitas o, si C no es tan grande, en la superficie cerrada que envuelve las dos masas finitas. Por otro lado, en la ecuación (64.7) podemos tomarx e y suficientemente grandes para que, por grande que sea C, se verifique que 2U > C, en cuyo caso la partícula de masa infinitesimal estará muy alejada de las masas finitas y el movimiento será real en el espacio exterior.
Veamos una aplicación de lo estudiado al caso del movimiento de la Luna alrededor de la Tierra: Si se supone la órbita de la Tierra circular y la masa de la Luna infinitesimal, se demuestra, calculando el valor deC, que la Luna se mueve en el interior de una superficie cerrada esferoidal que envuelve la Tierra. Por consiguiente, la Luna no puede atravesar esta superficie de velocidad cero y en consecuencia no puede alejarse indefinidamente de la Tierra. Basándose en esta propiedad Hill demostró que la distancia de la Luna a la Tierra tiene un límite superior.
7.5.5 Puntos dobles de las superficies V = 0
Se deduce de la expresión general de las superficies de velocidad relativa nula que los puntos dobles que presentan cuando C disminuye están todos en el plano xy. Por consiguiente, es suficiente para su estudio considerar la ecuación de las curvas en el plano xy (ver 71.7). Como hemos visto, hay tres puntos dobles en el eje x que aparecen cuando los óvalos que circundan las masas finitas para un determinado valor de C se tocan (L2) y para otros valores de C tocan la curva exterior que los incluye (L1, L3); hay otros dos puntos dobles que aparecen cuando, para un valor de C muy pequeño, las superficies se encogen hasta desaparecer del plano xy en los dos puntos (L4, L5) que forman triángulo equilátero con los puntos ocupados por las masas finitas. Estos cinco puntos dobles reciben el nombre de puntos de Lagrange y están relacionados con importantes propiedades dinámicas del sistema.
Escribamos la ecuación (71.7) en la forma
(76.7)
Las condiciones para que presente puntos dobles son:
(77.7)
pero los primeros miembros de estas ecuaciones representan las derivadas de
(78.7)
por consiguiente, recordando (62.7) y tomando n = 1 podemos escribir
(79.7)
Las expresiones
y son proporcionales a los cosenos directores de la normal a cualquier punto ordinario de las curvas y puesto que e son nulos en las superficies de velocidad nula se deduce que las direcciones de la aceleración o líneas de fuerza efectiva son ortogonales a las superficies de velocidad relativa nula. Por consiguiente, si un cuerpo de masa infinitesimal se coloca en una superficie de velocidad relativa nula, empezará su movimiento en la dirección de la normal; pero, en un punto doble el sentido de la normal resulta ambiguo, de aquí que puede suponerse que si este cuerpo de masa infinitesimal fue colocado en uno de estos puntos, en él permanecerá relativamente en reposo.
Las condiciones impuestas por (76.7) y (77.7) suponen también teniendo en cuenta (79.7) que
e son nulas. Por tanto, si el cuerpo de masa infinitesimal se coloca en un punto doble con velocidad relativa nula, sus coordenadas verifican idénticamente las ecuaciones diferenciales del movimiento y permanecerá siempre relativamente en reposo a menos que sea perturbado por fuerzas exteriores al sistema considerado.
Sean las ecuaciones (77.7) la segunda de las cuales se satisface para y = 0. Los puntos dobles sobre el eje x vendrán determinados por las condiciones
(80.7)
Es fácil ver que el primer miembro de la primera ecuación, considerado como una función de x, cambia de signo una sola vez entre
y x2, entre x2 y x1 y entre xl y . Por consiguiente hay tres puntos dobles sobre el eje x en dichos intervalos. Designémosles por L1, L2 y L3, respectivamente.
Supongamos que la distancia entre v y el punto doble Ll es ρ. Entonces, x - x2 = ρ, x - x1 = ρ1 = 1 + ρ, x = 1 - v + ρ. La ecuación que estamos considerando se puede escribir, sustituyendo todos los términos en función de ρ y quitando denominadores, de la forma
(81.7)
ecuación con una sola raíz real positiva ya que sólo presenta una variación en el signo de sus coeficientes. El valor de esta raíz depende de v. Si
= 0, obtenemos
ecuación que tiene la raíz triple ρ = 0 y otras dos imaginarias conjugadas. Si v
0, para un valor dado de suficientemente pequeño, tres raíces de la ecuación (81.7) se pueden expresar por medio del desarrollo en serie de potencias de v1/3
Por consiguiente
(84.7)
Resolviéndola como en el caso anterior se halla:
(83.7)
Representemos ahora por ρ la distancia de v al punto doble L2. Ahora x – x2 = - ρ, x – x1 = ρ1 = 1 - ρ, x = (1- v) - ρ. Por tanto, la primera ecuación de (80.7) resulta:
(86.7)
Si v = 0 esta ecuación resulta
(85.7)
Finalmente llamemos 1 - ρ a la distancia entre 1 - v y el punto doble L3. En este caso tendremos x - x2 = -2 + ρ, x – x1 = -1 + ρ, x = -v - 1 + ρ y la primera ecuación de (80.7) se escribirá
que tiene una raíz simple ρ = 0. Si v
0, ρ se puede expresar por medio de un desarrollo en serie de potencias de v que converge para valores de v suficientemente pequeños:
(87.7)
Sustituyendo este valor de ρ en (86.7), operando e igualando a cero los coeficientes de las distintas potencias de v, hallamos
con lo cual
(88.7)
Para hallar los puntos dobles L4 y L5 situados fuera del eje x consideremos otra vez las ecuaciones (77.7). Puesto que ahora es y
(91.7)
siendo las soluciones reales de (91.7) ρ1 = ρ2 = 1. Por consiguiente, los puntos L4 y L5 forman sendos triángulos equiláteros con los cuerpos de masa finita.
7.5.6 La estabilidad de los puntos de Lagrange
Hemos hallado cinco soluciones particulares del movimiento del cuerpo de masa infinitesimal. Si dicho cuerpo se desplaza un poco de uno de los puntos de Lagrange debido a alguna perturbación producida por alguna causa distinta de la atracción de las dos masas finitas, puede ocurrir que adquiera una velocidad tal que salga despedido alejándose rápidamente del punto de Lagrange o que la velocidad que adquiera sea tal que haga que se quede oscilando en torno a dicho punto. En el primer caso decimos que la solución es inestable y en el segundo caso que estamos ante una solución estable.
Supongamos que la posición de un punto de Lagrange en el sistema de coordenadas que gira es (x0, y0) y representemos por (x0 +
(90.7)
Pero, x2 = 1- v, x1 = -v y x2 - x1 = 1; por tanto, las ecuaciones (90.7) se reducen a
0, podemos dividir por y la segunda ecuación, obteniendo
, y0 +, ) la posición del cuerpo de masa infinitesimal cuando se ha desplazado respecto al punto de Lagrange con una velocidad
. Sustituyendo los valores de la posición y la velocidad en las ecuaciones del movimiento (62.7) para n = 1 y desarrollando en serie obtendremos:
(92.7)
donde el subíndice 0 indica el valor de las derivadas en el punto (x0, y0, z0).
Si los desplazamientos
, , son pequeños podemos despreciar los términos del desarrollo a partir del segundo grado en , , y escribir las relaciones (92.7) en la forma
(93.7)
donde, tanto las derivadas como U se calculan para el punto de Lagrange (x0, y0, z0).
Consideremos, de momento, que nos situamos en el plano xy. Tendremos:
(94.7)
sistema de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes cuya solución general es
(96.7)
cuyos elementos son los coeficientes de α y β en las ecuaciones que se obtienen al sustituir en (94.7) las soluciones de la forma
(95.7)
donde las αi son constantes de integración, las βi son constantes que dependen de ellas y de los coeficientes que aparecen en (94.7) y las λi son raíces del determinante característico
Si todas las soluciones λi obtenidas de la ecuación (96.7) son imaginarias puras,
e se expresan mediante funciones periódicas estables en las proximidades de (x0, y0, z0). Si algunas de las soluciones λi son reales o complejas,
e crecen con el tiempo y la solución es inestable.
Puede suceder que algún término de (95.7) sea constante (λi = 0). En este caso, si el resto de las λi son imaginarias puras, la solución es también estable.
y hagamos
Recordemos que con
hallaremos:
(97.7)
En las soluciones L1, L2, L3 es y0 = z0 = 0 de modo que
Por consiguiente, por una parte
y por otra, las ecuaciones del movimiento para un pequeño desplazamiento se reducen a
(98.7)
La tercera ecuación es independiente de las otras dos. Su solución es
que nos dice que la oscilación en la dirección de z es finita y pequeña con periodo .
Sustituyendo los valores de Uxx, Uyy y Uzz en el determinante (96.7) y operando, obtenemos
(100.7)
Las ecuaciones del movimiento para un pequeño desplazamiento resultan ser:
Sea ahora las soluciones en triángulo equilátero que dan los puntos de Lagrange L4 y L5. En este caso z0=0. Tomando el punto L4 tenemos, sustituyendo en (97.7) y recordando que xl = - v, x2 = 1 - v:
En consecuencia, la ecuación bicuadrada (99.7) considerada como en λ2 tiene dos raíces reales opuestas y la ecuación en λ4 tendrá cuatro raíces, dos reales y dos imaginarias conjugadas siendo las raíces de cada par iguales en valor absoluto pero de signos opuestos. Luego, las soluciones correspondientes a los puntos alineados son inestables. Sin embargo, escogiendo convenientemente los valores iniciales de x’, y’ y z’ el movimiento puede llegar a ser periódico, moviéndose el cuerpo de masa infinitesimal alrededor del punto de Lagrange en una trayectoria elíptica. De todos modos, en general, el caso colineal debe considerarse inestable.
(99.7)
A cada punto alineado de Lagrange corresponderá un valor de A; por tanto, tendremos tres ecuaciones en λ, una para cada uno de los puntos L1, L2, L3, de la forma (99.7). Se puede probar que para valores pequeños de v y, para cualquiera de las tres A se verifica:
(101.7)
Observamos que también en este caso la oscilación en la dirección de z’ es estable, viniendo dada por
La condición para que las cuatro raíces de esta ecuación bicuadrada sean imaginarias puras, conjugadas dos a dos, es que
Si hacemos
obtenemos la ecuación
cuyas soluciones son
Recordando que , tomaremos la raíz que corresponde al signo menos.
Cuando sea
= 0, será v = 0.0385. Por tanto, para que el punto de Lagrange sea estable debe ser
(102.7)
El razonamiento que hemos hecho se puede aplicar sin más que tomar
, , z = 0, al punto L5. Por tanto, si se satisface la condición (102.7) existen alrededor de L4 y L5 cuerpos de masa infinitesimal que describen órbitas periódicas.
Aplicación al Sistema Solar: Después de haberse hallado las soluciones en línea recta y en triángulo equilátero del problema de los tres cuerpos que acabamos de exponer, se creyó durante algún tiempo que eran meras soluciones matemáticas, muy interesantes pero que no tendrían nunca aplicación astronómica ya que parecía muy improbable que pudieran existir tales formaciones en la naturaleza. Sin embargo, tales soluciones se dan en el Sistema Solar. En efecto, si tomamos como masas principales m1 y m2 el Sol y Júpiter, respectivamente, se verifica que
de modo que se satisface la condición de estabilidad (102.7), hallándose alrededor de los puntos L4 y L5 dos grupos de asteroides (Troyanos y Griegos) en oscilación, proporcionando cada uno de ellos con el Sol y Júpiter un ejemplo de solución en triángulo equilátero.
Por otra parte, Kordelewski sugirió que en el sistema Tierra-Luna los puntos L4 y L5 están ocupados por partículas meteóricas que aparecen, en muy buenas condiciones de visibilidad, como unas ténues nebulosidades. Otro ejemplo lo tenemos en el descubrimiento por parte del Voyager 1 en su viaje hacia Saturno: El satélite Dione B Helena orbita a la misma distancia de Saturno que de Dione oscilando alrededor de un punto avanzado 60º con respecto a Dione.
Con respecto a las soluciones en línea recta, si m1 y m2 son el Sol y la Tierra, respectivamente, en el punto de Lagrange L3, opuesto al Sol, aparece una débil luminosidad visible después de la puesta del Sol en el plano de la eclíptica. El fenómeno recibe el nombre de “Gegenschein” y se cree que es debido a la iluminación por el Sol de una acumulación de partículas meteóricas en el citado punto de Lagrange.
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