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5. LOS PLANETAS
5.1 El Sistema Solar
Clásicamente, el Sistema Solar se ha venido considerando constituido por nuestra estrella el Sol , nueve planetas con sus correspondientes satélites, asteroides, cometas, meteoroides, polvo meteórico y gas interestelar.
Sin embargo, tras varios años de debate, la Unión Astronómica Internacional (UAI) en su XXVI Asamblea General celebrada en Praga en agosto de 2006 adoptó una importante modificación en la definición del concepto de planeta mediante las siguientes resoluciones:
Los planetas y el resto de los cuerpos a excepción de los satélites dentro del Sistema Solar se definen en tres categorías diferentes de la siguiente manera:
1.-Un planeta es un cuerpo celeste que (a) está en órbita alrededor del Sol, (b) tiene suficiente masa para que su gravedad supere las fuerzas asociadas a un sólido rígido de manera que asuma una forma (casi) esférica en equilibrio hidrostático, y (c) que sea el objeto gravitatoriamente dominante en el entorno de su órbita. Los ocho planetas son: Mercurio, Venus, La Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.
2.-Un "planeta enano" es un objeto celeste que (a) está en órbita alrededor del Sol, (b) tiene suficiente masa para que su gravedad supere las fuerzas asociadas a un sólido rígido de manera que asuma una forma (casi) esférica en equilibrio hidrostático, (c) que no sea el objeto gravitatoriamente dominante en el entorno de su órbita, y (d) que no sea un satélite. Plutón es un planeta enano según la definición anteriormente dada y se reconoce como el prototipo de una nova categoría de objetos Trans-Neptunianos.
3.-Todos los otros objetos orbitando el Sol deberían ser llamados colectivamente como "Pequeños Cuerpos del Sistema Solar". Esta categoría incluye actualmente la mayoría de los asteroides del Sistema Solar, la mayoría de los objetos Trans-Neptunianos (TNOs), cometas y otros cuerpos pequeños.
Aunque la UAI no ha cerrado la lista de los considerados como planetas enanos (a excepción de Plutón), a esta lista se añaden Ceres (el mayor asteroide) y Eris (objeto trasneptuniano mayor que Plutón descubierto en 2003) así como otros objetos que se reclasifiquen o se descubran en el futuro.
Por tanto, según la nueva definición, el Sistema Solar está constituido por nuestra estrella el Sol , ocho planetas con sus correspondientes satélites, varios planetas enanos, cientos de millares de asteroides, cometas, meteoroides, polvo meteórico y gas interestelar.
Dado que la resolución de la UAI cita específicamente Plutón como el prototipo de planeta enano lo incluiremos en las tablas de este texto como un planeta más con el fin de dar sus características físicas en comparación a la de los planetas.
Los planetas son cuerpos esferoidales y oscuros que reciben y reflejan la luz del Sol, alrededor del cual giran describiendo órbitas elípticas. Se clasifican en terrestres: Mercurio, Venus, La Tierra, y Marte; yjovianos: Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.
Los primeros tienen dimensiones, achatamiento y densidad media comparables a los de la Tierra, estando rodeados de atmósferas transparentes que permiten observar los detalles de su superficie, excepto en el caso de Venus debido al espesor de las nubes que lo envuelven; sus periodos de rotacion, son de uno o más días.
Los segundos, también llamados gigantes por sus dimensiones, son más achatados y de pequeña densidad media, y presentan atmósferas opacas y de gran espesor comparado con la parte sólida; los periodos de rotación son del orden de medio día, creciendo en cada planeta dicho periodo al desplazarse del ecuador hacia los polos.
En la TABLA III damos los datos físicos del Sol, de cada unos de los planetas del Sistema Solar y de Plutón.
Los satélites acompañan a los planetas describiendo órbitas elípticas alrededor de éstos. Algunos de ellos se conocen desde antiguo. Otros han sido descubiertos recientemente gracias a la exploración llevada a cabo con sondas y satélites artificiales. En la TABLA IV damos el nombre y sus principales datos astronómicos. La mayor parte de la información de los satélites pequeños es incierta, en particular los diámetros, que están sujetos a errores del 5 al 10%. La excentricidad de las órbitas de los satélites de Júpiter I, II y III es variable (se indica la media). Para los satélites que no son esféricos damos el valor del eje medio como diámetro. Probablemente existen aun satélites por descubrir. En la Tabla hemos consignado sólamente los que se toman ya como definitivos a partir del estudio de los datos obtenidos de las sondas Voyager 1 y 2.
Los planetas Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno presentan anillos constituidos por partículas sólidas de tamaños variados. Desde los viajes de las sondas espaciales Voyager 1 y 2 sabemos de la existencia de un sistema de tres delgados anillos que rodean Júpiter extendiéndose hasta 359.000 km de la superficie del planeta. Están formados por partículas muy oscuras que les dan un brillo diez mil veces menor que el de los anillos de Saturno, lo cual unido a su poco grosor (aproximadamente 1 km) hace muy difícil la observación desde la Tierra.
El sistema de anillos de Saturno es el más espectacular. Entre los anillos existen espacios con menor densidad de materia denominados divisiones que los separan en segmentos denominados anillos E, G, F, A, B, C, D según nos acerquemos al planeta. En la TABLA V damos una relación de los anillos de Saturno y las divisiones con la indicación de su descubridor.
Observaciones de ocultaciones de estrellas por el planeta Urano efectuadas en 1977 pusieron de manifiesto la presencia de por lo menos 10 anillos alrededor de dicho planeta, cada uno de ellos con una anchura de pocos kilómetros y a distancia de 1 a 2 km uno del otro, anillos que son demasiado estrechos para poder ser observados directamente. El paso del Voyager 2 a través del sistema uraniano permitió obtener imágenes detalladas de los mismos.
Asimismo, a partir del análisis de ocultaciones de estrellas por Neptuno se llegó a la conclusión de que este planeta posee un anillo de 10 a 15 km de anchura a una distancia aproximada de 76400 km de su centro y que se extiende más allá de tres radios del planeta.
Los asteroides son pequeños planetas telescópicos que describen sus órbitas elípticas principalmente entre las de Marte y Júpiter. Presentan excentricidades e inclinaciones mayores que las de los planetas y los que pasan cerca de la Tierra se utilizan para determinar la paralaje solar.
Los cometas se caracterizan por su cabellera, mostrando también, muchas veces, un núcleo o condensación central y dos colas: una iónica y otra compuesta de polvo que se va desarrollando conforme el cometa se acerca al Sol. La primera se orienta según el campo magnético solar y la segunda según la presión de radiación. Los cometas se clasifican en periódicos y no periódicos según que la cónica que describen alrededor del Sol sea una elipse o una parábola o hipérbola, respectivamente.
Los meteoroides son fragmentos rocosos que se ponen incandescentes al penetrar en la atmósfera terrestre, originando los meteoros. Si el meteoroide o parte del mismo, llega a la superficie de la Tierra, se llamameteorito y si es de gran tamaño y al caer estalla, bólido.
Algunos grupos más o menos numerosos de meteoroides o enjambres meteóricos describen órbitas elípticas alrededor del Sol y si éstas cortan a la de la Tierra, al atravesar la atmósfera terrestre, dan lugar al fenómeno conocido vulgarmente con el nombre de lluvia de estrellas fugaces. El punto de la esfera celeste del cual parecen provenir los meteoroides, definido por la dirección de la velocidad relativa geocéntrica de los mismos, es el punto radiante del enjambre.
El polvo meteórico, constituido por partículas pétreas y metálicas, se distribuye concentrándose en torno al plano medio de las órbitas planetarias, es decir, en la banda del zodíaco, con densidad decreciente según nos alejamos del Sol. Al difundir la luz solar, puede observarse como luz zodiacal unas horas antes de salir o después de ponerse el Sol. También se manifiesta en una condensación del mismo existente en dirección opuesta al Sol, originando la llamada luz antisolar (“gegenschein”).
Por último, el gas interplanetario es, principalmente, una mezcla de hidrógeno, helio y electrones libres.
5.2 Movimiento heliocéntrico
En primera aproximación, cada planeta describe su órbita alrededor del Sol de acuerdo con las leyes del movimiento elíptico estudiadas en 3.6. Tomando la eclíptica como plano fundamental de referencia, con el eje X dirigido hacia el punto Aries (recordar 3.11, Fig. 10.3), los elementos que definen la posición de la órbita son ahora la longitud del nodo ascendente
, la inclinación i con respecto a la eclíptica y el argumento de latitud del perihelio
; este último se sustituye a veces por la longitud del perihelio sobre la órbita .
En la TABLA VI figuran los elementos eclípticos de los planetas para la época J 2000.0 (es decir, calculados para el 1 de enero del año 2.000 a 0h de T.U.). En ella, a es la distancia media al Sol en u.a., e es la excentricidad,
la longitud del nodo ascendente, la longitud del perihelio (), i la inclinación con respecto a la eclíptica, P el periodo sidéreo, L0 la longitud media del planeta (
) y la oblicuidad.
, nos interesase su posición ecuatorial heliocéntrica , bastaría efectuar, alrededor de la línea de los equinoccios y en sentido retrógrado, una rotación de ángulo igual a la oblicuidad de la eclíptica
:
(1.5)
Se consideran los elementos ecuatoriales (referencia X
, Y Z de la Fig. 1.5) ascensión recta del nodo ascendente , inclinación i con respecto al ecuador y argumento de declinación del perihelio
y a partir de ellos se obtienen las constantes vectoriales ecuatoriales (recordar Fórm. 70.3).
(2.5)
Las componentes de los vectores (2.5) constituyen ahora los elementos de la matriz de cambio de base:
(3.5)
que permite calcular directamente la posición ecuatorial heliocéntrica
(4.5)
sin necesidad de conocer la posición eclíptica heliocéntrica
. En la práctica el cálculo de una efemérides ecuatorial heliocéntrica se lleva a cabo pues, según (4.5), mediante una de las fórmulas
(5.5)
(7.5)
es decir:
de donde:
(9.5)
posición ecuatorial geocéntrica del Sol, cuyas componentes X, Y, Z son las coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas del Sol que figuran día a día en los Anuarios:
(10.5)
A continuación se aplica la corrección de paralaje diurna que, en coordenadas ecuatoriales y expresando el radio ecuatorial terrestre en u.a., vale (ver 2.2.2):
(11.5)
donde , es la latitud geocéntrica del observador y su tiempo sidéreo local. Así se obtiene la posición ecuatorial topocéntrica del planeta:
(12.5)
5.2.1 Evolución de los elementos orbitales
Debido al desplazamiento secular de los planos fundamentales, tanto los elementos eclípticos
, i, como los ecuatoriales varían lentamente con el transcurso del tiempo, siendo preciso establecer fórmulas que permitan calcularlos para una época t conocidos para una época anterior t0.
En cuanto se refiere a los elementos eclípticos, basta recordar (Fig. 3.5) que la eclíptica móvil E1 se desplaza con respecto a la fija E girando alrededor de su nodo ascendente N mientras que el punto Aries ^retrograda. Sean
E la longitud del nodo ascendente de la eclíptica móvil con respecto a la fija, la variación ánua del ángulo de la eclíptica móvil con la fija, d la distancia entre los nodos ascendentes N y N1 de la órbita del planeta con respecto a las eclípticas fija y móvil, respectivamente, p la precesión general en longitud por año,
la longitud del nodo ascendente N de la órbita del planeta con respecto a la eclíptica fija e i la inclinación de la órbita del planeta con respecto a la eclíptica fija.
Del triángulo esférico NNN1 (Fig. 3.5) se deduce:
(13.5)
y por tanto:
(14.5)
fórmulas de cambio de equinoccio que suministran los elementos eclípticos
, i, para una época t conocidos 0, i0, 0 para una época t0.
5.2.2 Elementos ecuatoriales
Dado que la precesión luni-solar en oblicuidad es nula, la velocidad angular instantánea del ecuador medio (comparar con la fórmula en
de 2.6.1) valdrá:
(15.5)
siendo m la precesión ánua en ascensión recta y n la precesión ánua en declinación; por tanto, la ascensión recta del nodo ascendente del ecuador móvil con respecto al fijo valdrá 90º.
Según esto, sustituyendo en (14.5) los elementos eclípticos por los ecuatoriales,
E por 90º y p y por m y n, respectivamente, se obtienen las fórmulas de cambio de equinoccio de los elementos ecuatoriales:
(16.5)
5.3 Movimiento geocéntrico de los planetas
5.3.1 Introducción
En una base eclíptica heliocéntrica X Y Z (Fig. 4.5), sean
y los vectores de posición de la Tierra P1 y de un planeta P2 y y
sus respectivas velocidades. La posición y el movimiento geocéntricos de dicho planeta, en una cierta época, vendrán definidos por los vectores:
(17.5)
donde, como que la velocidad de un planeta depende sólo de su vector de posición (27.3), r será función sólo de r1 y r2.
Llamaremos a los vectores de movimiento medio de P1 y P2. En el triángulo P1P2S, el ángulo E recibe el nombre de elongación y F el de ángulo de fase.
5.3. 2 Configuraciones geocéntricas
Diremos que un planeta P2 es inferior o superior con respecto a la Tierra P1, según que sea menor o mayor, respectivamente, que (Fig. 4.5).
Un planeta inferior está en conjunción inferior o en conjunción superior, según que su longitud heliocéntrica sea igual a la de la Tierra o a la de ésta más 180º (Fig. 5.5).
Un planeta superior está en oposición o en conjunción según que su longitud heliocéntrica sea igual a la de la Tierra o a la de ésta más 180º (Fig. 6.5).
Para todas estas configuraciones se verifica:
(18.5)
En la órbita relativa del planeta,
será mínimo o máximo, es decir P2 pasará por el perigeo o apogeo, siendo máximos o mínimos el semidiámetro aparente y la paralaje, si:
(19.5)
Se dice que un planeta está estacionario cuando su longitud geocéntrica no varía. La proyección sobre la eclíptica de la velocidad areolar relativa es entonces nula y, por tanto:
(20.5)
Para un planeta superior (Fig. 7.5 (a)) la elongación E puede tomar todos los valores posibles, diciéndose en particular que el planeta está encuadratura cuando E = 90º, siendo ésta la diferencia entre las longitudes geocéntricas del planeta y del Sol.
En cambio, un planeta inferior presenta unamáxima elongación, oriental u occidental, (Fig. 7.5(b)) que puede calcularse mediante la condición:
(22.5)
5.3.3 Movimiento geocéntrico circular
Estudiemos ahora las configuraciones geocéntricas consideradas en 5.3.2 en la hipótesis simplificativa de que los planetas describen órbitas circulares. Además de (17.5) tendremos:
(23.5)
Sean Ω, i,
los elementos eclípticos del planeta P2, V2 su anomalía verdadera, l1 la longitud heliocéntrica de la Tierra P1 y P2 = Ω +
+V2 la longitud del planeta P2 sobre su órbita (Fig. 9.5). Los argumentos u1 y u2 de P1
y P2, contados a partir del nodo ascendente N (eje X), valdrán
u1 = l1 - Ω
u2 = l2 - Ω =
+ V2
Según (18.5) un planeta P2 estará en conjunción o en oposición si el triángulo esférico NP1 P2 es rectángulo en P1 y, por tanto:
(24.5)
relación también válida aunque las órbitas no sean circulares.
En particular, si además de suponer las órbitas circulares las suponemos coplanarias, es i = 0 y, según (24.5):
o que corresponde a conjunción inferior si el planeta es inferior o a oposición si el planeta es superior,
o que corresponde a conjunción superior si el planeta es inferior o a simplemente conjunción si el planeta es superior.
En dicha hipótesis, el intervalo de tiempo S transcurrido entre dos configuraciones sucesivas del mismo nombre, denominado revolución sinódica, vendrá dado por la condición:
e introduciendo el movimiento medio sinódico se tendrá, también:
(25.5)
debiéndose tomar el signo más o el signo menos según que el planeta P2 sea inferior o superior.
En la TABLA VII figuran las revoluciones sinódicas de los planetas, así como las distancias medias al Sol a y los radios rB de sus órbitas, supuestas circulares, calculados a partir de la ley empírica de Bode
Dado que las excentricidades y las inclinaciones de las órbitas planetarias son realmente pequeñas, las revoluciones sinódicas dan una idea aproximada de la periodicidad con la cual, para cada planeta, se reproducen las distintas configuraciones.
Según (19.5) un planeta P2 pasará por el perigeo o apogeo, recordando (17.5) y (23.5), si se verifica
u operando:
(27.5)
en el perigeo o apogeo, la Tierra P1 y el planeta P2 se encuentran sobre un plano que pasa por
y dado que, según se desprende de la figura 11.5 (detalle de 10.5),
también, finalmente, dividiendo:
(28.5)
relación entre los argumentos de P1 y de P2 en el perigeo o apogeo.
Si las órbitas fuesen además coplanarias, i=0, y (28.5) se reduciría a
u operando
y sustituyendo los valores de y :
(30.5)
Si además de circulares las órbitas son coplanarias (i=0) y suponemos, con mucha aproximación, que se verifica exactamente la tercera ley de Kepler:
(31.5)
El tiempo que tarda el planeta en recorrer el doble del ángulo definido por (31.5) es decir, el intervalo de tiempo transcurrido entre dos estaciones que comprendan la conjunción inferior o la oposición (según que dicho planeta sea inferior o superior), es la duración de la retrogradación y vale
o sea, siendo
, si
(33.5)
y, además, G=90º-E , obtenemos la siguiente relación entre los argumentos de P1 y P2:
o, siendo
, si
(35.5)
Para que se cumpla la condición (35.5) el planeta debe ser superior (r2 > r1) y, en tal caso, el triángulo SP1P2 es rectángulo en P1, E =90º; el máximo ángulo de fase tiene lugar en la cuadratura (supuestas las órbitas circulares). Siendo ahora
(36.5)
y, además, G = 90º - F , obtenemos la siguiente relación entre los argumentos de P1 y P2:
(37.5)
5.4 Efemérides para observaciones físicas
5.4.1 Planetas
Conocidos el eje y el periodo de rotación de un planeta, podemos orientarnos sobre el disco que nos proporciona su imagen telescópica mediante un sistema de coordenadas planetográficas análogas a las geográficas de la Tierra: longitud planetográfica L, contada a partir de un cierto meridiano origen O en sentido contrario al de la rotación, y latitud planetográfica B.
Para calcular L y B se introduce un sistema de coordenadas planetocéntricas ecuatoriales: ascensión recta planetocéntrica A, contada a partir del punto vernal V del planeta (nodo ascendente de su órbita con respecto a su ecuador) en el sentido de la rotación, y declinación planetocéntrica D.
Para la reducción de las observaciones se precisan las coordenadas planetográficas Lo y Bo del centro del disco geométrico del planeta (coordenadas planetográficas de la Tierra T) así como el ángulo de posiciónP de su polo norte. Para obtenerlos calcularemos las coordenadas planetocéntricas AE y DE de la Tierra.
Sean (Fig. 13.5) AE y DE las coordenadas planetocéntricas de la Tierra T; ao y do la ascensión recta y la declinación geocéntricas del polo norte PQ
del planeta y la ascensión recta planetocéntrica del nodo ascendente N del ecuador Q del planeta sobre el ecuador Q de la Tierra, que pueden considerarse constantes a lo largo del año; a y d la ascensión recta y la declinación geocéntricas del planeta, que figuran día a día en los anuarios. Resolviendo el triángulo esférico definido por las direcciones del polo norte PQ de la Tierra, del polo norte PQ
del planeta y de la Tierra T vista desde el planeta, tendremos:
(38.5)
(39.5)
Si designamos por λ la longitud planetográfica del nodo N en la época t de las efemérides, dicho argumento viene dado por una relación de la forma
(40.5)
en la cual λo es el valor de λ para una época y la velocidad angular de rotación del planeta (en caso de presentarse rotación diferencial se calculan λ y λo para cada sistema). Luego, si C es la intersección del meridiano central PQ
T con el ecuador Q del planeta (Fig. 13.5), siendo
de donde
(42.5)
Por tanto, conocidos σ y θ del triángulo esférico MTPQ’, se deduce:
(41.5)
que son las coordenadas planetográficas del centro del disco geométrico.
Además (39.5) suministrará el ángulo de posición P del polo norte, completando con ello el aspecto geocéntrico del disco aparente del planeta.
Conocidas L0, B0 y P para la época de la observación, es ya inmediata la determinación de las coordenadas planetográficas L y B de un punto M de la superficie en función de su distancia angular ρ al centro T del disco y de su ángulo de posición θ, ambos medidos con el micrómetro (Fig. 14.5). Si s es el semidiámetro aparente del disco, en vista de la pequeñez de ρ y s, el ángulo σ que en el centro del planeta subtienden los radios de M y T (ángulo de ρ) viene dado con mucha aproximación por
(43.5)
5.4.2 Sol
Podemos aplicar la teoría desarrollada en el apartado anterior al caso del Sol, para el cual se conocen también su eje y su periodo de rotación. Análogamente a cuanto hemos hecho, se considera sobre el mismo un sistema de coordenadas heliográficas: longitud heliográfica L, contada a partir de un cierto meridiano origen O en el sentido de la rotación, y 1atitud heliográfica B.
Las coordenadas heliográficas Lo y Bo del centro del disco solar y el ángulo de posición P de su polo norte se obtienen en función de la longitud geocéntrica
del Sol (que figura día a día en los anuarios) y de la longitud heliográfica λ del nodo ascendente N del ecuador solar sobre la eclíptica:
(44.5)
donde λo= 0 para t0= 1.5 enero 1854 y
la longitud heliocéntrica del nodo ascendente N, I la inclinación del ecuador solar Q’ sobre la eclíptica E, PE el polo de la eclíptica,PQ
el polo del ecuador solar, PQ el polo del ecuador de la Tierra, C la intersección del meridiano central con el ecuador solar, T el centro del disco solar y la oblicuidad de la eclíptica. En el triángulo rectángulo NCT se tiene:
(45.5)
Además, de los triángulos rectiláteros PEPQ
(46.5)
Conocidos Lo, Bo y P para la época de la observación, se procede como en el caso de un planeta para determinar las coordenadas heliográficas L y B de una mancha solar M, de coordenadas polares ρ y θ (Fig. 14.5); como antes, se aplican las fórmulas (42.5) y (43.5), teniendo en cuenta que cambia de signo la segunda de las (43.5) por contarse las longitudes heliográficas en sentido contrario a las planetográficas.
En particular, al observar una protuberancia en el borde solar es ρ=s y σ=90º, con lo cual las (43.5) se reducen a:
T y PEPQT se deducen los ángulos p y q tales que p + q = P:
(47.5)
5.4.3 Aspecto geocéntrico de la iluminación de un planeta por el Sol
El aspecto geocéntrico de la iluminación de un planeta por el Sol depende del ángulo que hemos llamado ángulo de fase.
La línea de separación entre el limbo brillante y el limbo oscuro, llamada terminador, se nos presenta como media elipse si despreciamos el achatamiento del planeta. El ángulo formado por los planos del terminador y el disco geométrico es el ángulo de fase F (Fig. 16.5); luego, si recordamos la razón de afinidad existente entre una elipse y su círculo principal, la relación entre las áreas del limbo brillante y del disco geométrico valdrá
(48.5)
Dicha relación k es la fase del planeta y varía entre 1 y 0 mientras que el ángulo de fase lo hace entre 0º y 180º; para ½<k<1 es 90º>F>0º (se ve de ¼ a ½ disco iluminado) y la parte iluminada tiene forma gibosa; para 0<k<½ es 180º>F>90º (se ve de 0 a ¼ de disco iluminado) y la parte iluminada tiene forma de lúnula; para k=½ hay dicotomía.
Según vimos en 5.3.2 si el planeta es superior presenta máximo ángulo de fase en cuyo caso es por (36.5):
y por (48.5), teniendo en cuenta que al aumentar F disminuye k, obtendremos un valor de la fase mínima dado por:
(49.5)
en el supuesto de órbitas circulares.
Para completar la definición de limbo brillante, además del ángulo de fase F debemos calcular también el ángulo de posición Θ del Sol, que a su vez suministra el ángulo de posición Θ±90º de la línea de los cuernos CC’ (Fig. 17.5) y el ángulo de posición Θ+180º del defecto de iluminación. En dicho cálculo distinguiremos dos casos, según se conozcan o no el eje y el periodo de rotación del planeta.
Si se conocen el eje y el periodo de rotación del planeta, el ángulo de fase F y el de posición Θ se obtienen fácilmente calculando el ángulo de posición P del polo norte y las coordenadas planetocéntricas AE y DE de la Tierra y AS y DS del Sol; pues, en efecto, una vez calculados, en el triángulo esférico STPQ
(50.5)
(51.5)
Los primeros, P, AE y DE, se han deducido ya anteriormente mediante las fórmulas (38.5) y (39.5) y las segundas, AS y DS, se determinan introduciendo como ángulo auxiliar la longitud planetocéntrica LS del Sol, contada a lo largo de la órbita E’ del planeta a partir de su punto vernal V (Fig.18.5). Sean: Ω e i la longitud del nodo ascendente J y la inclinación de la órbita E’ del planeta con respecto a la eclíptica E, Ψ la longitud planetocéntrica de dicho nodo, l y l
y, por tanto, eliminando u:
las longitudes heliocéntricas del planeta sobre la eclíptica y sobre la órbita, respectivamente. Se tiene:
(52.5)
Siendo i pequeño, l
suele calcularse en función de l (que figura en los anuarios) mediante la fórmula:
(53.5)
reducción a la órbita análoga a la reducción al ecuador (recordar 4.7.2). Finalmente, conocido LS por (52.5), si llamamos j la oblicuidad de la órbita E
(54.5)
Si no se conocen el eje y el periodo de rotación del planeta, el ángulo de fase F y el de posición Θ se calculan recurriendo a los siguientes datos que figuran en los anuarios:
con respecto al ecuador Q, del triángulo rectángulo VRS se deducen las coordenadas planetocéntricas del Sol:
(55.5)
Análogamente, siendo
longitud geocéntrica del Sol; λ, β coordenadas eclípticas geocéntricas del planeta; l, b coordenadas eclípticas heliocéntricas del planeta; α, δcoordenadas ecuatoriales geocéntricas del Sol; a ascension recta geocéntrica del planeta. En la esfera geocéntrica de la Fig. 19.5, el triángulo rectilátero PEPS proporciona la elongación E:
+ 180º la longitud heliocéntrica de la Tierra, en una esfera heliocéntrica se obtendría el ángulo G, Tierra-Sol-Planeta:
(58.5)
5.5 Brillos y magnitudes
Como sabemos, los planetas no tienen luz propia y la que nos envían es la luz solar reflejada. Cambiando algo las notaciones anteriormente utilizadas (Fig. 20.5) con el objeto de ajustarlas a las empleadas en los anuarios, veamos algunas definiciones:
Intensidad luminosa I de un planeta P, situado a una distancia r del Sol S, es la cantidad de luz que por unidad de superficie y de tiempo envía dicho planeta en una dirección de ángulo de fase F, y viene dada por la fórmula:
(59.5)
siendo C una constante característica del planeta y f(F) una cierta función de fase tal que f(0)=1 y f(π)=0.
Brillo aparente B de un planeta P, situado a una distancia Δ de la Tierra T, es la cantidad de luz que por unidad de superficie y de tiempo recibimos de dicho planeta y viene dado por la fórmula:
(60.5)
Este brillo aparente B suele medirse por la sensación que experimenta el ojo, bajo la acción de la excitación lumínica, a través de la denominada magnitud aparente m. Según la ley fisiológica de Weber-Fechner, la variación de la sensación m es directamente proporcional a la variación relativa de la excitación B:
e integrando:
(61.5)
(obsérvese que cuanto mayor es el brillo menor es la magnitud). Para acomodar la escala de magnitudes a la utilizada en la antigüedad, se ha convenido en que a una diferencia de magnitudes igual a 5 corresponda una razón entre los brillos igual a 100 y ,por tanto, según (61.5):
Llevando a (61.5) el valor de k’ se obtiene la fórmu1a de Pogson:
(63.5)
siendo g la magnitud aparente que tendría el planeta para r=Δ=1 y F=0 (f(0)=1). En el caso de los asteroides, dado que éstos se observan siempre en las cercanías de la oposición, suele tomarse F = 0 y, por tanto:
(64.5)
Si el objeto celeste se comporta como un espejo esférico (así ocurre con algunos satélites artificiales), se demuestra que en dicha reflexión especu1ar la intensidad luminosa no depende del ángulo de fase y, por consiguiente, también puede aplicarse la fórmula (64.5). Si se trata de un cometa se supone que su intensidad luminosa es inversamente proporcional a una potencia 2x de su distancia r al Sol, y por tanto:
(65.5)
debiendo determinarse g y x por la observación.
En primera aproximación, durante mucho tiempo se ha venido tomando como función de fase f(F) la propia fase k definida por (48.5):
(66.5)
que cumple las condiciones f(0) = 1 y f(π) = 0. Dicha aproximación constituye una interpretación muy elemental del fenómeno, pues equivale a suponer que el planeta se comporta como un espejo plano en el cual vamos descubriendo un mayor o menor porcentaje de su superficie. No obstante, en el caso de Venus, tomando circulares las órbitas de la Tierra y del planeta, la hipótesis (66.5) conduce a unas condiciones de máximo brillo aparente que concuerdan bastante bien con la observacion.
En segunda aproximación, suele suponerse que el planeta es esférico y refleja la luz solar por reflexión difusa, en cuyo caso se demuestra que la función de fase vale:
(67.5)
y cumple las condiciones f(0) = 1 y f(π)=0.
La constante C que figura en las fórmulas (59.5) y (60.5) es ahora directamente proporcional al cuadrado del radio del planeta y a su albedo (véase Tabla III), razón entre la energía luminosa que el planeta difunde en todas direcciones y la que recibe del Sol. Si las órbitas se toman circulares, la hipótesis (67.5) nos lleva ahora a una ecuación trascendente en F y tan F para obtener el máximo brillo aparente.
Empíricamente, si para cada planeta se representa, en un sistema de coordenadas polares, la función f(F) tomando f como radio vector y F como argumento se obtiene una curva llamada indicatriz de difusión del planeta (Fig. 2l.5). Exceptuando la correspondiente a Venus, las indicatrices I de todos los demás planetas presentan un punto anguloso para F = 0; no así la de Venus, comprendida entre las curvas II definida por (67.5) y III definida por (66.5); obsérvese que en todas ellas aparece un punto de retroceso para F = π. Llevando a (63.5) la función f(F) determinada experimentalmente mediante la indicatriz, desarrollando el logaritmo, se obtienen, para cada planeta, las fórmulas de Müller que figuran en los anuarios:
(68.5)
En el caso de planetas con anillo debe tenerse en cuenta además la influencia que ejercen éstos sobre su brillo aparente.
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