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3. PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Recibe el nombre de problema de los dos cuerpos la descripción del movimiento de un sistema de dos masas puntuales que se mueven de acuerdo con su atracción gravitatoria mutua.
3.1 Conservación del momento lineal
Sea O un punto fijo del espacio del movimiento: m1 y m2 las masas de los dos puntos materiales móviles. Si m1 > m2, llamaremos primario al punto de masa m1 y secundario al punto de masa m2. Sean por otra parte
y sus posiciones respecto a O y el vector, de módulo r, de posición de m2 respecto a ml. Se verifica:
FIG 1.3
(1.3)
De acuerdo con la ley de la gravitación, las partículas se atraen mútuamente, según la recta que las une, con una fuerza de módulo
(2.3)
donde G es la constante de la gravitación (G=6,67.l0-8 c.g.s.).
Según el principio de acción y reacción el primario atrae al secundario con una fuerza cuya expresión vectorial es:
(3.3)
y el secundario atrae al primario con una fuerza:
(4.3)
y como suponemos que sobre los puntos de masas ml y m2 no actúan otras fuerzas que las de atracción mutua, podemos escribir sus ecuaciones de movimiento en la forma:
(5.3)
Si es el vector de posición del centro de gravedad O' del sistema de las dos masas, se verifica:
(7.3)
y derivando dos veces:
de donde
e integrando:
(8.3)
donde
y son vectores constantes determinados por las condiciones iniciales del problema.
La relación (8.3) nos da el principio de conservación del momento lineal: “el centro de masas se mueve en una línea recta con una velocidad uniforme”.
3.2 Ecuación del movimiento relativo
Derivando dos veces la expresión (1.3):
o sea:
(9.3) habiendo hecho para simplificar
La ecuación (9.3) es la ecuación del movimiento relativo del secundario con respecto al primario. Es equivalente a tres ecuaciones escalares diferenciales de segundo orden, que requieren seis constantes de integración para su solución completa. Establecer e interpretar estas constantes constituye el núcleo del problema de los dos cuerpos. El movimiento definido por (9.3) se llama kepleriano por verificar las leyes de Kepler que se deducen de su integración.
La expresión (9.3) es un caso particular de la ecuación del problema de la fuerza central el cual consiste en describir el movimiento de una partícula de masa m que es atraída hacia un punto fijo O (centro) por una fuerza de módulo
que es proporcional a la masa y depende de la distancia r entre la partícula y O. La función f se llama ley de atracción. Se supone que es una función continua entre 0 e ¥, es decir para 0 < r < ¥.
FIG 2.3
Si indicamos la posición de la masa m por un vector
dirigido de O a m, de acuerdo con la ley de Newton, el movimiento de la partícula está regido por la ecuación
(10.3)
En el caso de fuerza newtoniana que es el que nos afecta, es
(11.3)
y si calculamos
y tenemos en cuenta (11.3):
es decir:
e integrando
(12.3)
relación que constituye la integral de las áreas. La constante vectorial de integración c es la constante de las áreas que equivale a tres constantes escalares.
Veamos su significado: recordemos que el área elemental del triángulo de lados
, , , puede expresarse en la forma
FIG 3.3
y definimos como velocidad areolar la derivada con respecto al tiempo del área barrida por el radio vector:
lo que nos dice que la constante de las áreas es el doble de la velocidad areolar:
(14.3)
que constituye la segunda ley de Kepler o ley de las áreas : "Las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales".
3.4 Ecuación de la órbita relativa. Primera y tercera leyes.
De la integral de las áreas (12.3), multiplicando ambos miembros escalarmente por
que nos dice que el vector
, deducimos:
se mantiene perpendicular al vector constante y se mueve en el plano ortogonal a por el primario; luego, deducimos que "el secundario describe una órbita plana alrededor del primario." Veamos cuál es la ecuación de dicha órbita, pero antes hallemos otra integral primera y, por consiguiente, otra constante de integración.
Tendremos
e integrando se obtiene:
(15.3)
siendo (15.3) la integral buscada y la constante vectorial de integración. Parece, a primera vista, que va a englobar las tres constantes de integración que nos hacen falta para resolver el problema; pero, sus componentes no son independientes de las de como luego veremos. La integral (15.3) recibe el nombre de integral de Laplace.
Si ahora calculamos c2 teniendo en cuenta (12.3) y (15.3), tendremos:
y haciendo
(16.3)
obtenemos finalmente:
(17.3)
que es la ecuación de la órbita relativa del secundario alrededor del primario. Expresada en componentes y racionalizada, constituye la ecuación de una cuádrica de revolución alrededor del eje dado por
. La intersección de dicha cuádrica con el plano en el que se mueve el secundario, perpendicular al vector constante nos dará la trayectoria que describe el secundario, que será, en consecuencia, una cónica. Efectivamente, se encuentra en el plano orbital, ya que al multiplicar escalarmente los dos miembros de la integral de Laplace por resulta
(18.3)
Para expresar la ecuación (17.3) escalarmente, tomemos coordenadas polares de eje polar , polo en el primario y argumento el ángulo V, que llamaremos anomalía verdadera, que forman los vectores y .
FIG 4.3
Tendremos:
y despejando r :
(19.3)
que es la ecuación polar focal de una cónica de parámetro p y excentricidad e. El primario ocupa uno de los focos de la cónica y el vector tiene la dirección del radio vector del vértice principal más próximo al primario, punto que recibe el nombre de periastro. Podemos pues enunciar la primera ley de Kepler: "en su movimiento relativo el secundario describe una cónica en uno de cuyos focos se encuentra el primario".
La naturaleza de la cónica (19.3) depende del valor de su excentricidad e: Si e<l, es una elipse; si e=1, es una parábola; si e>l, es una hipérbola.
Para los casos de elipse e hipérbola, si llamamos a y b a los semiejes, el valor del parámetro es p=b2/a. En efecto, si V=0º es, para la elipse:
y para la hipérbola:
y análogamente, si V=180° es, para la elipse:
y para la hipérbola, como veremos en el estudio del movimiento hiperbólico, no tiene sentido considerar V=180°.
También podemos escribir el parámetro p en la forma:
en el caso de la elipse
y
en el caso de la hipérbola
Si la cónica es una elipse, el semieje a recibe el nombre de distancia media, pues, en efecto, es la media aritmética de las distancias máxima y mínima al secundario.
Por la segunda ley de Kepler, el movimiento elíptico será periódico, de periodo P, con un movimiento medio
(21.3)
3.4.1 Forma de Newton de la tercera ley de Kepler
Hagamos aplicación de la fórmula (21.3) para calcular los periodos de revolución de dos masas m2 y m'2 que describen órbitas elípticas de semiejes a y a' alrededor de un primario común m1. Llamando P y P' a los periodos respectivos, tendremos:
(22.3)
Donde
y
(23.3)
con
(24.3)
que nos dice que "para todas las elipses cuyo valor de m sea el mismo (m'2 = m2), los cuadrados de los periodos son proporcionales a los cubos de los semiejes". La tercera ley de Kepler sin tener en cuenta el valor de mse escribiría
Dividiendo en él numerador y denominador por m1 obtenemos:
Suponiendo, por ejemplo, que el primario es el Sol y los cuerpos m2 y m'2 son Mercurio y Júpiter, respectivamente, tendremos:
y
resultando ser k
Consideremos las constantes de integración y , cada una de las cuales equivale a tres constantes escalares. Como ya hemos indicado, estas constantes no son independientes ya que y son dos vectores perpendiculares (ver 18.3). Se tienen, pues, cinco constantes independientes, que corresponden a las cinco condiciones que en el espacio determinan una cónica con un foco prefijado. Recordemos que para resolver completamente el problema necesitamos seis constantes arbitrarias. La sexta aparecerá cuando expresemos
y en función del tiempo; puede tomarse como constante la época de paso por el periastro, T.
En función de dicha constante T, y contando las áreas a partir del periastro, de la ley de las áreas (14.3) se deduce, para t = T:
de donde
y por tanto,
(26.3)
relación que fija la posición del secundario sobre su órbita.
3.4.3 Hodógrafa del movimiento
Recordemos que recibe el nombre de hodógrafa el lugar geométrico de los extremos de los vectores velocidad de un móvil, trazados, en cada instante, desde un punto dado, exterior a la trayectoria, llamado polo.
Para hallarla en nuestro caso, multipliquemos vectorialmente (15.3) por . Obtendremos:
y despejando :
y recordando que
(27.3)
relación que nos dice que podemos descomponer en suma de dos vectores no ortogonales:
de módulo constante c/p y dirección normal a .
de módulo constante ce/p y dirección la del eje menor, a 90º de enel sentido del movimiento.
Componiendo ambos vectores se obtiene una circunferencia como hodógrafa del movimiento. Su radio es c/p y su centro C es el extremo del radio vector cuyo módulo es ce/p, normal por el foco a
. De la figura 5.3 deducimos las componentes radial y perpendicular de la velocidad en función de la anomalía verdadera.
FIG 5.3
(28.3)
3.5 Integral de la energía.
Multiplicando escalarmente por ambos miembros de (9.3) se obtiene:
y como por otra parte,
resulta:
e integrando:
(29.3)
relación que constituye la integral de la energía y que nos indica que el módulo de la velocidad del secundario sólo depende de su distancia al primario, pues m y h se mantienen constantes durante el movimiento. La constante escalar h de integración se denomina constante de la energía. Su interpretación física se halla haciendo tender r a infinito, con lo que v es v¥ y
Es decir: h es la mitad del cuadrado de la velocidad en el infinito.
Evidentemente h ha de ser función de las constantes de integración y . Podemos explicitar dicha dependencia multiplicando escalarmente por sí misma la ecuación (27.3)
o en función de c y e :
(30.3)
Ahora bien, , y según que la órbita sea elíptica ( e<1), parabólica ( e=1 ) o hiperbólica (e>1), será h<0, h=0 o h>0, respectivamente y, por tanto, según (29.3) la velocidad en el infinito será imaginaria, nula o real, respectivamente.
Además, en el caso de la elipse y la hipérbola el parámetro p es b2/a, por lo tanto:
donde b2 =a2(1 -e2) para la elipse y b2= a2(e2-1) para la hipérbola. Sustituyendo dichas expresiones en la integral de la energía (29.3) y operando podemos obtener, en cada caso, el módulo de la velocidad a la distanciar:
(31.3)
para la elipse, y
(32.3)
para la hipérbola.
En el caso parabólico tendríamos (a = ¥):
La velocidad correspondiente a una órbita circular de radio r es:
es decir:
que recibe el nombre de velocidad circular.
Si la órbita es parabólica, la velocidad a la distancia r vale:
(33.3)
valor que recibe el nombre de velocidad de escape a dicha distancia.
Comparando ambas velocidades, observamos que
(34.3)
que nos dice que cuando para una órbita circular de radio r, la velocidad sea , la velocidad tomará el valor de la velocidad de escape y la trayectoria pasará a ser parabólica.
3.5.1 Velocidades cósmicas. Satélites geoestacionarios.
La mínima velocidad que se debe imprimir a un cuerpo para que entre en órbita circular alrededor de la Tierra, despreciando el rozamiento del aire, se denomina velocidad de satelización o primera velocidad cósmica. Su valor se halla sustituyendo en la expresión de vc el radio R y la m de la Tierra:
Llamamos velocidad de escape o segunda velocidad cósmica a la mínima velocidad que se debe imprimir a un cuerpo para que abandone la Tierra. La mínima velocidad se obtendrá si el cuerpo "llega al infinito" con velocidad nula, por lo que su valor se podrá hallar sustituyendo la m y el radio de la Tierra en la expresión de la velocidad parabólica:
Por último se denomina tercera velocidad cósmica a la mínima velocidad que se debe imprimir a un cuerpo para que, partiendo de la Tierra, abandone el Sistema Solar. Dicha velocidad se calcula igual que la anterior, pero considerando la m del Sol y tomando como r la distancia de la Tierra al Sol, D:
Si el cuerpo se lanza en la dirección del movimiento de la Tierra en torno al Sol (unos 29,7km/s, supuesta la órbita de la Tierra circular), dicha velocidad se reduce a 12,3 km/s.
A menudo interesa, especialmente para telecomunicaciones, que un satélite artificial se mantenga ubicado sobre la vertical de un cierto lugar. Ello equivale a decir que la velocidad angular del satélite (supuesto en órbita circular) sea la misma que la de la Tierra (w).
elevando dicha expresión al cuadrado:
es decir:
Según la tercera ley de Kepler:
por lo que
donde w es la duración de un día sidéreo en tiempo solar medio (86.164 segundos de t.s.m.). Si h es la altura del satélite sobre la superficie de la Tierra y R es el radio de la Tierra es
Los satélites situados a dicha altura se denominan sincrónicos o geoestacionarios.
3.6 Movimiento elíptico.
El estudio del movimiento elíptico de un astro se simplifica notablemente introduciendo los ángulos o anomalías que definimos a continuación:
Anomalía verdadera : Es el ángulo formado por el radio vector del astro Q y la dirección del periastro P (la teníamos ya definida).
Anomalía excéntrica: Es el ángulo formado por la dirección del periastro y el radio CQ', siendo C el centro de la elipse y Q' la intersección con el circulo principal de la elipse, de la normal por el astro Qal eje mayor de la elipse.
Anomalía media: Es el ángulo M descrito con vértice en el foco O, en sentido antihorario y a partir de la dirección del periastro, por un astro ficticio que gira con velocidad angular igual al movimiento medion=2p/P (P=periodo del movimiento). Si empezamos a contar el tiempo en el instante de paso del astro por el periastro, la anomalía media valdrá nt. En general será:
FIG 6.3
(35.3)
donde T es la época de paso por el periastro.
Es cómodo expresar las coordenadas polares de un astro en función de la anomalía excéntrica; para ello, tomemos un sistema de ejes cartesianos x ,h con origen en el foco O, y sean (x, h) las coordenadas del secundario Q en dicho sistema. Se verifica:
(Obteniendo esta segunda ecuación teniendo en cuenta la razón de afinidad de la elipse y la circunferencia).
En resumen, pues:
(36.3)
y tomando como unidad a, en el mismo sistema de ejes
(37.3)
que son las llamadas coordenadas reducidas del secundario.
De las relaciones (36.3) elevando al cuadrado y sumando ordenadamente, tenemos:
y siendo a>0, e<l, , extrayendo la raíz cuadrada:
restando miembro a miembro:
o sea:
(39.3)
y sumando miembro a miembro:
o sea:
(41.3)
fórmula que suministra la anomalía verdadera en función de la anomalía excéntrica.
3.6.1 Ecuación de Kepler
Relacionemos, finalmente, las anomalías media y excéntrica. Partiendo de la ley de las áreas en su forma polar
(42.3)
y recordando que , se tiene:
e integrando entre O y V, valores que corresponden respectivamente a la época T de paso por el periastro ya una época t cualquiera, tenemos:
o sea:
de donde:
o sea:
(44.3)
relación buscada que recibe el nombre de ecuación de Kepler.
3.6.2 Métodos de resolución de la ecuación de Kepler
Observemos en primer lugar que si en (44.3) damos a M un valor comprendido entre kp y (k+1)p, con k entero, dicha ecuación admite una única raíz entre tales límites. En efecto, si ponemos
se tiene:
y
Además,
siempre;
luego, la función F(E) es creciente en el intervalo (kp, (k + 1)p) y toma en sus extremos valores de signos contrarios. Luego tiene una única raíz en dicho intervalo.
Entre el gran número de métodos para resolver la ecuación de Kepler citaremos:
a)Método gráfico (o de Dubois). Dibujada una sinusoide, expresando el argumento en radianes, por P tal que OP=M se traza una recta que forme con el eje de abscisas un ángulo a, tal que
FIG 7.3
La abscisa OQ del punto A de intersección de dicha recta con la sinusoide es OQ=E. En efecto,
Si la escala es grande, en la mayoría de los casos, este método permite obtener E con una aproximación de 1°, sirviendo este valor aproximado como argumento inicial para aplicar otros métodos.
b) Método numérico (o de Newton). Sirve para corregir el valor de la anomalía excéntrica dada por el procedimiento anterior.
Supongamos que por el método gráfico hemos encontrado una anomalía EO. Sustituyendo en la ecuación de Kepler tenemos:
(45.3)
Si M es el valor exacto de la anomalía media y E el valor exacto de la anomalía excéntrica, tenemos:
DMo = M -Mo
o lo que es lo mismo:
M = Mo + DMo
y
(46.3)
Sustituyendo estos valores en la ecuación de Kepler:
O sea:
donde e está expresado en radianes. Conocido DEo con (46.3) tendremos el valor de E. Llamémosle E1. Podemos hallar el correspondiente valor de M1. Si en el orden de aproximación requerida M1=M daremos por terminado el proceso; si no, seguiremos.
Existen tablas que suministran directamente E en función de e y de M. Este valor de E es aproximado y se corrige con el proceso que acabamos de exponer.
c) Método de Kepler. De la ecuación de Kepler, tenemos:
con e y M dados. Tomando en el segundo miembro como E aproximada el valor de M, resulta:
Tomando ahora, como E aproximada el valor E1 obtenido:
Repitiendo el proceso iterativamente, podemos obtener la anomalía excéntrica con la precisión deseada.
En general:
d) Método del desarrollo en serie. Consiste en expresar E por desarrollo en serie de Mac-Laurin de potencias de e, considerando M como parámetro. Lo estudiaremos en el apartado siguiente formando parte de un contexto más general.
3.7 Desarrollos en serie
Obtendremos ahora los desarrollos en serie de las anomalías excéntrica y verdadera y del radio vector en función de la anomalía media y la excentricidad.
3.7.1 Desarrollo en serie de la anomalía excéntrica
Expresaremos E por desarrollo en serie de Mac-Laurin de potencias de e, considerando M como parámetro. Para hallar los distintos términos del mismo, derivaremos sucesivamente la ecuación de Kepler:
y aplicando la fórmula de Mac-Laurin:
(47.3)
3.7.2 Desarrollo en serie del radio vector
Derivando la ecuación de Kepler y recordando la expresión del radio vector
r=a(l-ecos E), obtenemos:
y de aquí:
Calcularemos a partir de (47.3), considerando e constante:
(48.3)
de donde, desarrollando en serie por división:
(49.3)
3.7.3 Desarrollo en serie de la anomalía verdadera
Teniendo en cuenta la ley de las áreas:
y que
sustituyendo dt y despejando dV, se deduce:
De (48.3) se obtiene, elevando al cuadrado y ordenando según las potencias de e:
y desarrollando:
Multiplicando estas dos series se obtiene:
e integrando y observando que para V=0, M=0 (por lo que la constante de integración será nula), finalmente:
(50.3)
3.7.4 Desarrollo en serie de las coordenadas reducidas
Hemos definido como coordenadas reducidas
Recordando una vez más que r=a(l-ecosE), despejando cosE y teniendo en cuenta (49.3):
y restando e de esta última expresión:
(51.3)
Por otra parte, de la ecuación de Kepler, despejando senE y teniendo en cuenta (47.3):
y multiplicando por el desarrollo de obtenido anteriormente:
(52.3)
3.8 Movimiento hiperbólico
En el caso de que la trayectoria sea una hipérbola es e>1 y de la ecuación
teniendo en cuenta que r debe ser positivo y p=c2/m, se deduce que V debe variar entre
de modo que el cuerpo sólo describe una rama de hipérbola, precisamente la que dirige su concavidad hacia el foco.
FIG 8.3
Consideremos ahora un sistema de coordenadas rectangulares x, h con origen en el foco O. Se verificará:
(53.3)
donde F es el parámetro de la representación (hiperbólica) de la hipérbola equilátera por
De donde:
Si queremos relacionar la anomalía verdadera con F, consideremos
restando:
(54.3)
y sumando:
de donde:
(56.3)
Si queremos relacionar F con la anomalía media, escribiremos, de la expresión polar de la ley de las áreas:
y
y sustituyendo
o también:
y desarrollando y simplificando:
y si hacemos el cambio de variable a+r=aeChF la integración nos da una ecuación que corresponde a la de Kepler:
(57.3)
3.9 Movimiento parabólico
En el caso de que la trayectoria sea una parábola es e=1 y por tanto su ecuación será
(58.3)
o también, teniendo en cuenta que en la parábola es p=2q siendo q la distancia del foco al periastro y que tenemos:
(59.3)
Consideremos ahora un sistema de coordenadas rectangulares x, h con origen en el foco O (Fig. 9.3).
FIG 9.3
Se verificará:
y haciendo
queda
(60.3)
o, también, en polares:
(61.3)
Se trata pues de determinar s, ya que una vez calculada tendremos inmediatamente las coordenadas cartesianas y polares del astro en su órbita.
Partiendo de la ley de las áreas en su forma polar y teniendo en cuenta el valor del parámetro p=c2/m , tenemos:
de donde, teniendo en cuenta la ecuación de la órbita relativa:
e integrando entre T y t, teniendo en cuenta que para t = T (época de paso por el periastro) es V =0:
es decir:
El movimiento parabólico viene pues regido por la ecuación
(62.3)
que constituye la llamada ecuación de Barker. Dicha ecuación tiene siempre una única solución. Efectivamente, si
como
f(s) es una función monótona creciente que pasa por el origen, por lo que presenta un único punto de intersección (que es la solución) con la recta
(Constante en cada problema).
La solución puede hallarse, por ejemplo, aplicando el algoritmo de Cardano, con lo que resulta:
donde D es el discriminante
que es positivo, lo cual indica que la ecuación de Barker tiene una raíz real y dos complejas conjugadas, como ya hemos demostrado.
La ecuación (62.3) ha sido también tabulada para diversos valores del primer miembro.
Si en (62.3) se expresan q y c en unidades astronómicas, se tiene, en días medios,
Se suele escribir
M(V)= 75s+25s3
y se tabula M(V) (tablas de Barker). El tiempo transcurrido desde el paso por el perihelio, conocida V, se obtiene de la fórmula
en la cual el coeficiente de q3/2 resulta de dividir 27d,403895 por 25.
Para q=1, el tiempo necesario para que la anomalía V pase de 0° a 90°, variando entonces M(V) de 0 a 100, es igual a 109d,61 , de donde el nombre de cometa de 109 días dado por los antiguos a un cometa ficticio cuya distancia al perihelio fuera de 1 u.a.
3.10 Movimiento casi-parabólico
El cálculo del movimiento parabólico es más sencillo que el de los movimientos elíptico e hiperbólico.
Por otra parte, cuando la excentricidad de una órbita elíptica es próxima a la unidad, la resolución de la ecuación de Kepler necesita aproximaciones muy laboriosas. Hay un procedimiento de cálculo, que exponemos a continuación, que se aplica, con éxito, a todo movimiento sobre una órbita cuya excentricidad sea próxima a la unidad, sea por defecto o por exceso; se aplica pues a las órbitas hiperbólicas de poca excentricidad ya las órbitas elípticas de gran excentricidad. Unas y otras se reúnen bajo el nombre de orbitas casi parabólicas.
Si ponemos
(63.3)
tendremos, cualquiera que sea el valor de e:
y la ley de las áreas se escribe:
(64.3)
El parámetro l es positivo en el caso de una órbita elíptica, nulo en el caso de la parábola, negativo en el caso de una órbita hiperbólica.
Integrando la ecuación (64.3) obtendremos:
(65.3)
Para l=0 hallamos la ecuación correspondiente a la parábola.
Cuando l¹0, pero pequeño en valor absoluto, la ecuación (65.3) permite determinar el tiempo transcurrido desde el paso por el perihelio, dados V, q y e.
Para resolver el problema inverso, es decir hallar V dados t-T, q y e, basta resolver (65.3) con relación a s. Para ello escribiremos, introduciendo una nueva variable S:
que se puede resolver a partir de las tablas para el movimiento parabólico.
Invirtiendo (66.3) se tiene:
(67.3)
donde los coeficientes a, b, c son funciones de S que pueden hallarse tabulados. Hallados éstos, de (67.3) se obtiene s, y de dicho valor:
3.11 Elementos de una órbita
Sabemos que para determinar completamente la solución del problema de los dos cuerpos necesitamos seis constantes de integración y, además, un dato: la masa del secundario que nos permite conocer m. Por tanto, para definir la posición de un astro en una cierta época, en general, es necesario conocer siete cantidades denominadas elementos de la órbita, si bien en algunos casos particulares son suficientes seis elementos (caso de los satélites artificiales y de los pequeños planetas, en que su masa es despreciable frente a la del primario), o, aún, cinco elementos (caso de los cometas de órbita parabólica, en que además, e=1). Dichos elementos orbitales no tienen porque coincidir con las constantes de integración originales c, e, T, puesto que pueden sustituirse por un mismo número de expresiones independientes entre sí que involucren a dichas constantes.
3.11.1 Angulos de Euler
La posición de la órbita con respecto a un triedro fundamental de referencia X, Y, Z, queda determinada por medio de tres de dichos elementos, los ángulos de Euler W, i, w (Fig.10.3). La intersección del plano de la órbita con el plano fundamental de referencia X, Y recibe el nombre de línea de los nodos. Hay un nodo ascendente, N, extremo en el que el astro pasa de la región de las Z negativas a la de las Z positivas, y otro diametralmente opuesto o nodo descendente.
FIG 10.3
W es el argumento del nodo o ángulo formado por el eje X y la dirección del nodo ascendente.
i es la inclinación de la órbita, o ángulo formado por los planos de la órbita y fundamental.
Si 0º £i<90° el movimiento se llama directo, y si 90° £i< 180° retrógrado.
w es el argumento del periastro ángulo que forman la línea de los nodos y la dirección del periastro, contado en el sentido del movimiento a partir del nodo ascendente: 0º £.w£ 360º.
Cabe destacar dos casos particulares importantes:
a) Si el primario es el Sol y el secundario un planeta o un cometa, el plano fundamental es el plano de la eclíptica media y la dirección del eje X la dirección del Aries medio, W se denomina longitud del nodo ascendente y w argumento de latitud del perihelio.
b) Si el primario es un planeta y el secundario un satélite, natural o artificial, del mismo, el plano fundamental es el plano del ecuador del planeta y el eje X viene definido por la intersección del plano orbital del planeta en su traslación alrededor del Sol con el plano del ecuador. En el caso de la Tierra, la dirección del eje X coincide con la dirección de Aries. W se denomina ascensión recta del nodo ascendente y w argumento de declinación del perigeo.
Algunas veces se trabaja con el ángulo
llamado longitud del periastro; se cuenta primero sobre el plano fundamental (eclíptica o ecuador) y después sobre el plano de la órbita en la dirección del periastro.
3.11.2 Los restantes elementos
Los tres elementos que acabamos de estudiar determinan la orientación del plano de la órbita. Son necesarios, en general, otros dos elementos para determinar la magnitud y forma de la órbita. Suelen ser el semieje mayor a y la excentricidad e. En algunos casos estos dos elementos se sustituyen por la distancia del periastro:
y la distancia del apoastro:.
Si se trata de una órbita parabólica basta con un solo elemento, la distancia del periastro q = p/2.
Finalmente, para definir la posición del astro en una determinada época, aún son necesarios otros dos elementos: el periodo de revolución, P, o el movimiento medio n=2p/P y la época de paso por el periastro, T, o la anomalía media, MO, en una época tO.
P es necesario si no se conoce m; en caso contrario, la tercera ley de Kepler nos suministra fácilmente el valor de n y, por tanto, de P. Tal es el caso de un satélite artificial o de un pequeño planeta.
3.11.3 Constantes vectoriales
,,
Los tres ángulos de Euler se sustituyen frecuentemente por tres constantes vectoriales,
,,, tres vectores unitarios ligados a la órbita y definidos como sigue:
perpendicular al plano de la órbita. en el plano de la órbita y en el sentido del periastro. en el plano de la órbita y perpendicular a , de modo que:
Los vectores así definidos (Fig. 10.3) son ortogonales dos a dos () y como además son unitarios (P2=Q2=R2=1), de las nueve constantes escalares que originan sólo tres son independientes, como era de esperar.
Consideremos un sistema de coordenadas rectangulares cuyos ejes coincidan con las direcciones de los vectores
,,, ejes que designaremos con estos mismos nombres, y veamos cual es la matriz de cambio de base para pasar del sistema P,Q,R, al sistema X,Y,Z. Efectuaremos en primer lugar un giro de ángulo (-w) alrededor del eje R que vendrá definido por la matriz
Con ello el eje P pasa a ocupar la posición de la línea de los nodos, el eje Q sigue en el plano de la órbita perpendicular a P y el eje R queda en la misma posición. A continuación efectuaremos un giro de ángulo (-i) alrededor de la línea de los nodos, giro que vendrá definido por la matriz
Con ello abatimos el plano de la órbita sobre el plano fundamental X, Y. El eje P queda sobre la línea de los nodos y el Q, perpendicular a ella sobre el plano fundamental; el eje R toma la posición del Z. Finalmente, giraremos alrededor de Z=R un ángulo (-W), siendo la matriz correspondiente
con lo cual llevamos a coincidir P con X y Q con Y.
Efectuando el producto de las tres matrices tendremos la matriz de cambio de base buscada:
(68.3)
y observando, que si aplicamos esta matriz M al vector
obtenemos dicho vector en la base X,Y,Z, y análogamente aplicándola a y , podremos escribir:
Es decir:
(70.3)
En virtud de la forma (69.3) que presenta la matriz M y las propiedades mencionadas de los vectores
,,, resulta que M es ortogonal. Además, por ser los triedros P,Q,R y X,Y,Z de igual orientación el determinante de M es |M|=1. Observamos también que las constantes
,, dependen únicamente de los ángulos de Euler.
Los elementos
,,, a, e pueden ser sustituidos también por c y e. En efecto, sabemos que p = c2/m, y en el caso de una elipse p= b2/a =a(1-e2), por lo que:
(71.3)
y, por otra parte, al ser unitarios los vectores
,,,
(72.3)
lo cual nos dice que los ángulos de Euler están relacionados con y y, en consecuencia, podemos determinar completamente la trayectoria del secundario con cualquiera de los sistemas de siete constantes mencionados.
3.11.4 Determinación de los elementos orbitales a partir de
y
Un importante proceso en el problema de la determinación de órbitas es el cálculo de los elementos cuando se conocen la posición y la velocidad en el mismo instante. Supongamos, en efecto, que se conocen
, y en un cierto instante to. En el problema de los dos cuerpos la integral de las áreas nos da
pudiéndose expresar esta relación, según la segunda de (72.3), teniendo en cuenta las componentes de , en función de W e i (incógnitas).
Por otra parte, en el mismo problema, se obtiene
y teniendo en cuenta la primera de (72.3) y las componentes de podemos expresar en función de W, i, w.
Si suponemos el movimiento elíptico, tenemos
de donde:
De la relación
una vez determinada a deducimos n:
y llevando el valor de e y de Eo a la ecuación de Kepler (44.3), obtenemos el valor de Mo:
Mo= Eo -e sen Eo
que con n y to nos permite determinar la época T de paso por el periastro a partir de la relación
Todavía de la expresión (38.3) que nos da el radio vector en función de a, e y E podemos deducir Eo:
Es decir:
Si el movimiento es parabólico,
se halla análogamente y la fórmula p=c2/m nos da, p=2q.De
obtenemos
que nos permitirá hallar T.
Si el movimiento es hiperbólico se aplica
fórmula de la cual deducimos el valor de F que se sustituye en la ecuación
de la que se obtiene T.
3.12 Cálculo de efemérides
El cálculo de una efemérides consiste en determinar, en función de los elementos de su órbita, la posición de un astro en un cierto instante t.
El vector de posición
de un astro, referido al sistema ,,, puede expresarse en la forma
en el movimiento elíptico, y en la forma
en el movimiento parabólico.
Si quisiéramos considerar movimiento hiperbólico bastaría cambiar E por iF.
Referido al sistema fundamental X,Y, Z el mismo vector tiene componentes
Aplicando la matriz M de cambio de base obtendremos:
(73.3)
o también, utilizando las coordenadas reducidas:
(74.3)
X e Y se tienen tabuladas (tablas de Innes) en función de la anomalía excéntrica E y de la excentricidad e, o se pueden obtener por desarrollo en serie en función de e y de M (3.7.4).
Algunos autores utilizan las constantes vectoriales
, ,:
(75.3)
con lo cual obtenemos:
(76.3)
verificándose entre las constantes y las relaciones de comprobación:
Cuando se trata de calcular una efemérides parabólica suelen introducirse las constantes vectoriales ,
obteniéndose entonces:
(77.3)
En resumen, para el cálculo efectivo de una efemérides, en el caso por ejemplo de un movimiento elíptico, procederemos de la siguiente forma:
1.- Partiremos de los elementos orbitales, conocidos, a, e, i, W, w, n, T y el tiempo t.
2.- Calcularemos M=n(t -T) para la época t.
3.- Resolveremos la ecuación de Kepler M=E-e senE que nos dará E.
4.- Calcularemos 5.- Una vez calculados
y en función de los ángulos de Euler (fórmulas (70.3)), aplicaremos
6.- Tendremos en cuenta que las componentes x,y,z del vector
están expresadas en la base X,Y,Z, de modo que si ésta es eclíptica será:
Si la base fuera ecuatorial sería:
En este segundo caso los elementos ecuatoriales vendrían dados con referencia al ecuador.
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