Torsione
Resistenza alla torsione
Torsione e taglio
Modulo di taglio, di scorrimento, di elasticità tangenziale o di rigidità.
Il modulo di torsione di una sostanza dipende dal modulo di rigidità e per questo è utile sapere come quest'ultimo è espresso. Per conoscerlo, supponiamo che su un corpo di forma cubica e spigolo a, omogeneo e anisotropo, si applichi una forza tangente alla superficie E F G H, che lo deforma con una rotazione α, come nella mia figura (in assonometria non del tutto cavaliera), producendo una forza tangenziale relativa:
In questo caso si hanno solo variazioni di forma e lo strato terminale si è spostato del tratto GM e FL, ma il volume resta invariato. Detto α l’angolo di rotazione della figura, sperimentalmente si ottiene:
La deformazione, come indicata dall’angolo α, è proporzionale alla forza tangenziale e il coefficiente di proporzionalità 1/η è specifico della sostanza in esame. Il suo inverso, η, è definito modulo di rigidità e si ottiene dalla formula precedente:
In seguito all’applicazione della forza F si ha uno spostamento della faccia superiore del cubo omogeneo e isotropo, parallelamente a quella inferiore, senza variazione di volume. L’effetto di questa elasticità tangenziale o di scorrimento è detto taglio. La tensione o sforzo di taglio, dunque, è espressa dal rapporto F/S. Lo spigolo verticale Lo, sottoposto a un’inclinazione di ampiezza α, forma un angolo di taglio, come si nota nell'illustrazione sottostante e determina uno spostamento ΔL, rispetto alla sua posizione iniziale. La deformazione di taglio è definita da ΔL/Lo = tgα. Il modulo di taglio, detto anche di scorrimento, di rigidità o di elasticità tangenziale, η, è il seguente:
La dimensione di η, espressa in dine/cm2, nel sistema C.G.S. e in newton/m2, nel sistema M.K.S. è ancora quella di una pressione.
(La precedente formula è impostata su conoscenze di trigonometria, che definiscono la tangente come rapporto tra seno e coseno di uno stesso arco).
Si può usare l’approssimazione Tgα = α, quando l’angolo di taglio è di pochi gradi, per cui si può ottenere:
Torsione
Consideriamo una sbarra cilindrica di lunghezza l e raggio r con una sola base fissa. A quella libera si applica una coppia di forze torcenti con momento M, nella direzione dell’asse. La coppia causa una torsione della sbarra, facendola ruotare di un angolo α, producendo solo variazione di forma.
Per esperienza si ottiene:
In questa formula, M è il momento della coppia torcente, l la lunghezza della sbarra, r il raggio del cilindro, mentre 1/T è un coefficiente di proporzionalità, che dipende dalla natura della sbarra. Il suo inverso, T, è Il modulo di torsione. Dalla stessa formula possiamo ottenere M, come segue:
Il momento torcente unitario, applicato alla sbarra affinché ruoti di un angolo unitario, è quindi rappresentato da
Come accennato in precedenza, il modulo di torsione della sostanza dipende soltanto dal suo modulo di rigidità e, infatti, si può verificare che
Esercizio
Calcolare il momento torcente unitario di un filo cilindrico di nichel di lunghezza l = 104 cm e raggio r=0,08cm.
(T =12,09*1011 dine/cm2). Dalle formule precedenti si ottiene:
