Flusso elettrico

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In un campo elettrico, come in figura, si consideri una piccola superficie piana ΔS, la cui normale forma un angolo α con le linee di forza del campo. Su questa normale consideriamo un vettore n di modulo unitario. Sia E_, il vettore dell’intensità del campo elettrico attraverso ΔS. Si definisce come flusso il seguente prodotto:

Ricordando che il prodotto scalare di due vettori si ottiene moltiplicando i loro moduli per il coseno dell’angolo, compreso fra essi, si ottiene quindi il seguente prodotto scalare:

Si definisce perciò flusso Ф_E dell’intensità vettoriale E del campo elettrico uniforme, attraverso la superficie piana ΔS, il prodotto di quest’area per il modulo di questa grandezza vettoriale E e per il coseno α, che la normale forma con la direzione del campo. Il flusso del campo è direttamente proporzionale sia all’intensità del campo, che all’estensione della superficie, poiché esso è determinato dal numero delle linee del campo che attraversano la superficie e la cui variazione numerica dipende anche dall’inclinazione della stessa. Pur essendo ΔS uno scalare positivo, il flusso è definito dall’angolo α, secondo che sia acuto, retto o ottuso. Nel caso in cui α è minore di π/2 il flusso è uscente ed è positivo, se è maggiore di π/2 il flusso al contrario è entrante e negativo (vedi terza figura: flusso in una superficie chiusa). La superficie è parallela alle linee del campo, se l’angolo α è uguale a π/2, per cui il flusso è nullo. Nel caso in cui l’angolo α invece è nullo si ottiene un flusso massimo, che è uguale al prodotto dell’intensità del vettore campo elettrico per la superficie ΔS.

Flusso elettrico attraverso una superficie irregolare o curva

Per calcolare il flusso di una superficie irregolare o per esempio curva, ma non chiusa, che è immessa in un campo elettrico non uniforme, si decompone questa superficie in n porzioni, così piccole da essere considerate piane, con versore unitario perpendicolare a esse. In questo modo per ogni loro punto la grandezza vettoriale dell’intensità del campo elettrico E si può considerare costante. Il flusso totale si otterrà dalla somma algebrica dei singoli flussi, ottenuti dalle n porzioni di superficie:

Facendo tendere a zero le aree delle superfici, ne consegue:

Nell’area di questa intera superficie, divisa in porzioni infinitesime, la somma dei prodotti scalari è dunque un’integrale di superficie di elementi infinitesimi.

Nel caso in cui il campo elettrico su una superficie piana è uniforme, i vettori E e n sono costanti. La sommatoria per ottenere il flusso totale delle n porzioni di superficie è la seguente:

In una superficie chiusa, suddivisa in n elementi infinitesimi ΔS, con versore unitario, perpendicolare a ogni elemento e rivolto per convenzione verso l’esterno, il campo vettoriale E, come in figura, è diretto dall’esterno all’interno e il flusso entrante è negativo. Il campo vettoriale E è poi diretto dall’interno all’esterno e il flusso uscente è positivo. Nel caso in cui, quindi, ciascuna linea del campo entra ed esce dalla superficie considerata, il flusso totale, positivo e negativo, è quindi nullo.

Flusso di una carica puntiforme attraverso una superficie sferica

Una carica Q, sia nel centro di una superficie sferica. Si suddivida la superficie sferica di raggio r in n porzioni di area ΔS, uguali fra loro e così piccole da essere considerate piane. Per ogni punto di ciascuna di esse il vettore E con direzione ortogonale alla superficie si può considerare costante e la normale parallela a questo vettore. Per calcolare il flusso di una carica positiva, come in figura per esempio, uscente da questa superficie sferica, si consideri il modulo dell’intensità del campo elettrico nel vuoto, che è uscente e radiale: