Condensatore elettrico

Dalla seguente legge di Coulomb:

si ricava il modulo del campo elettrostatico, conoscendo il valore delle cariche e la distanza, espresso in formula. Si ricorda che l’intensità del campo elettrostatico E = F/q è stato definito come rapporto tra una forza agente su una carica q, posta in un punto determinato del campo elettrostatico e la carica stessa. Esso è costante nello stesso punto, variando q, ed è perciò indipendente da questa carica ma dipendente da quelle che lo generano e dal punto in cui è posta la carica q, come si può determinare sperimentalmente. La sua direzione è la stessa della forza che compare sulla carica e il verso è concorde con quello di F, se q è maggiore di zero (carica positiva), discorde se q è minore di zero (carica negativa).Sostituendo quindi in E = F/q il valore di F con quello tratto dalla legge di Coulomb, sovrascritta, si ottiene il modulo del campo elettrostatico. Con questa sostituzione, infatti, il campo elettrostatico dipende solo dall’unica carica puntiforme Q, che ha generato il campo elettrico e dalla distanza in cui è posta la carica q esplorante, sottoposta alla sua azione, come da formula:

In questa formula, si può sostituire il valore di Q. Esso si ricava dalla densità superficiale di carica, indicata con “σ” e già definita, come rapporto tra la quantità di carica, che si trova sulla superficie di un conduttore e l’area stessa: σ = ∆Q/∆S e σ = Q/4πr², (per la superficie sferica). Ponendo Q =4πr²σ nel campo elettrostatico E, si ottiene:

e quindi E=4πKσ, che equivale a E = σ/ε_0.

Nel sistema internazionale è k = 1/4πε_o, e in un mezzo isolante k=1/4πε_oε_r. Sostituendo quest’ultimo nella formula E = 4πKσ si ottiene:

Dalla semplificazione, si avrà:

e σ = ε_o ε_rE.

Nel sistema C.G.S. è K =1. Ripetendo questa nuova sostituzione nel modulo del campo elettrostatico:

risulterà E = Q/r₂. Ponendo nella stessa formula Q=σ4πr² (σ = Q/4πr² per la superficie del conduttore sferica), poiché in un mezzo isolante è K = 1/ε_r, si ottiene:

Ne consegue

Nella formula, ricavata dalla legge di Coulomb,

oltre al modulo del vettore, che definisce l’intensità del campo elettrostatico, generato da una carica puntiforme, si considerano le linee di forza, che sono delle semirette uscenti da Q, quando la carica è positiva, entranti quando al contrario sono negative.

Capacità di un conduttore sferico

Un conduttore carico, isolato e di forma sferica ha tutte le cariche, uniformemente distribuite quando la curvatura è perfetta e poiché i suoi punti sono allo stesso potenziale, si considera il calcolo del potenziale nel centro della sfera, a distanza r dalla cariche disposte sulla superficie. Sostituendo nella formula della capacità elettrostatica, il valore del potenziale V = K ₀ Q/r ,

Il valore di K, nel sistema C.G.S., è K=1. Nel caso in cui ha il valore K=1/4πε₀ (sistema internazionale), dalla precedente formula, con questa sostituzione, otteniamo:

Considerando una sfera, immersa in un mezzo, per calcolare la capacità del conduttore sferico, tenuto conto della costante dielettrica relativa ε_r, avremo:

Condensatore

L’elettroforo di Volta ha offerto lo spunto per ideare in seguito il condensatore.

Il condensatore è un dispositivo, capace di accumulare cariche, per cui è utilizzato nei circuiti elettrici in elettrotecnica e in elettronica. Diversamente dalla pila, rilascia le sue cariche in maniera immediata o regolata. E’ costituito da due lastre di metallo, conduttrici, dette armature, tenute separate a distanza molto breve dal vuoto, da aria o da materiale dielettrico e alle quali mediante terminali si applica una differenza di potenziale. I condensatori elettrolitici che sono i più utilizzati, hanno tra l’armatura positiva e quella negativa che forma l’involucro del condensatore, entrambe generalmente di alluminio, una minima quantità di un elettrolita, per mantenere positiva, lo stato di ossidazione dell’armatura. Hanno un elevato valore di capacità e possono esplodere, se collegati in un circuito con le polarità invertite o danneggiarsi per la perdita dell’isolamento. L’armatura di un condensatore collegata al polo positivo di un generatore a tensione costante, perdendo elettroni, che sono attratti da questo polo, si carica positivamente, mentre quella collegata al polo negativo acquista la stessa quantità di elettroni, persi dall’altra armatura. Quando le due armature acquisteranno lo stesso potenziale, il condensatore sarà carico e non si scaricherà, se scollegato dal generatore. Per evitare questo pericolo si deve creare un circuito di scarica per abbassare la tensione a cinquanta volt in un certo tempo o cortocircuitare i morsetti tra loro e a terra prima di qualsiasi lavorazione.

Si può verificare sperimentalmente che il campo elettrostatico esiste soltanto tra le lastre. Le sue linee di forza, con verso dalla lastra positiva alla negativa, hanno direzione normale a esse, e modulo così espresso:

Il campo elettrico è uniforme e non dipende dal punto considerato. Il condensatore si definisce piano quando le armature non sono curve. Come per un conduttore isolato si è definita la capacità elettrostatica, C=Q /V, così per un condensatore la capacità è data dal rapporto fra la quantità di carica presente su una delle armature e la differenza di potenziale che si stabilisce fra esse: C=Q /V₂-V₁. Esiste una relazione fra campo elettrostatico e potenziale elettrico. Sapendo che, in energia potenziale, V_A-V_B=W_AB/q e che il lavoro del campo elettrico è dato dal prodotto della forza F=Eq per lo spostamento ∆s, per sostituzione di questo prodotto, la stessa formula sarà la seguente: V_A-V_B= EqΔs /q=EΔs. Tra le due armature, il campo elettrico E=4πkσ, diventa:

poiché σ=Q/S. Ne scaturisce che

in cui “d” rappresenta la distanza fra le armature. La capacità del condensatore, C=Q /V₂-V₁, sostituendo in essa il valore della differenza di potenziale, diventa:

Svolgendo questa equazione, dalla semplificazione risulta che C=S /4πkd e sostituendo il valore di k, si avrà il seguente risultato:

poiché nel sistema CGS è k=1 e in mezzo isolante K=1/ε_r.

Allo stesso modo si può ottenere:

poiché nel sistema internazionale è K =1/4πε₀ε_r.

Il condensatore, come da formula, aumenta proporzionalmente la sua capacità elettrica, quanto più grande è ognuna delle due armature, quanta più piccola è la distanza fra esse e tanto più rilevante è la costante dielettrica dell’isolante. Tra due fogli di metallo, quindi, s’interpone un sottile strato d’isolante, in modo da ottenere una distanza minima tra le lastre, che poi saranno arrotolate per ottenere una forma cilindrica.

Campo elettrico di un conduttore in un condensatore a sinistra e campo elettrico di un conduttore e un isolante a destra.

All’interno dei conduttori (parte centrale) il campo è nullo perché le cariche si possono muovere liberamente, assumendo la disposizione in figura, mentre negli isolanti possono muoversi soltanto intorno alle cariche positive del nucleo atomico, generando una corrente con durata transitoria. La tensione di un condensatore diminuisce, inserendo in esso un isolante.

Esercizio

Calcolare la capacità di un condensatore piano, tra le cui armature di 2,60 cm², poste alla distanza di 2,00mm, è presente un isolante(ε_r=3,50).