Lavoro eseguito lungo un percorso curvo di una carica

Un campo elettrico è generato da una carica +Q nel punto V e in A è posta una carica +q minore della prima.La carica q si sposta, come in figura, dal punto A a Z in un percorso curvo, suddiviso in un numero enorme di piccoli tratti, di modo che ciascun archetto si confonde con la sua corda e in ogni punto l’intensità e la direzione della forza si può considerare costante.

Sommando il lavoro compiuto, dato dal prodotto della forza costante per ogni spostamento Δ_s, si ottiene:

Calcolando il lavoro che si riferisce per esempio a uno spostamento elementare A B, come in figura, la carica q è sollecitata dalla forza, così espressa, nel punto A:

Nel punto B si avrà ugualmente:

La direzione della forza nel punto A è la congiungente tra V e A, mentre in B, è quella tra i punti V e B. Dalla media geometrica tra i valori delle due forze nei punti A e B, così vicini che la forza può considerarsi costante, si ottiene:

Inoltre, per lo spostamento

si ottiene:

Tra i due addendi, poiché nel primo la forza e lo spostamento sono perpendicolari tra di loro, si ha un prodotto scalare nullo. Nel secondo invece poiché sia la forza e sia lo spostamento hanno la stessa direzione, si ha:

e risulta:

W_AB = F' (r_B – r_A).

In questa formula, sostituendo a F', il suo modulo, ottenuto dalla media geometrica tra le due forze nei punti A e B, si ottiene:

Sommando il lavoro compiuto in tutti gli altri intervalli, si ha:

Nella stessa formula, elidendo poi tutti i termini uguali e opposti si ha:

Il calcolo del lavoro, compiuto dalle forze del campo per trasportare la carica, sia lungo il percorso da A a Z e sia lungo il percorso superiore, indicato con A L Z, come da illustrazione, dà lo stesso risultato, poiché Il lavoro compiuto è indipendente dal percorso, ma dipende solo dalle posizioni dei due punti considerati A e Z, per cui il campo è conservativo.

Esempio

Calcolare il potenziale nel punto A di un campo elettrico, generato da due cariche , Q₁ e Q₂ rispettivamente uguali a + 10x10^-9 e -10x10^-9 coulomb, con (Q₁ = - Q₂), sapendo che le distanze da Q₁ a A e da Q₂ a A sono rispettivamente 50 e 20 cm.

Q₁ =+10x10^-9coulomb

Q₂ =-10x10 ^-9coulomb