Calcolo del potenziale elettrico

Calcolo del lavoro, eseguito da un campo elettrico, quando una carica si sposta da un punto a un altro e del potenziale in un punto.

Per calcolare il potenziale elettrico di una o più cariche puntiformi, da un punto a un altro di un percorso parziale, si deve calcolare il lavoro compiuto da un corpo di prova, dotato per esempio di carica +q, mentre sottoposto a una forza, si muove per esempio da un punto prefissato A a un altro, Z₁₀, come in figura. Lo spostamento da Z₁ a Z₁₀ è diviso in un numero enorme di piccoli tratti n, con distanza corrispondente r_1, r₂, r₃…r_n da una carica puntiforme Q, che ha generato il campo elettrico. Per ottenere valori costanti, si assume la media geometrica tra i due valori della forza agli estremi Z₁ e Z₂ dei due intervalli r₁, r₂, già tanto vicini, che la forza può essere considerata costante. La media geometrica tra due grandezze è la radice quadrata del loro prodotto, per cui si otterrà:

Il lavoro, dato dal prodotto della forza per lo spostamento da Z₁ a Z_2, è il seguente:

Sommando il lavoro compiuto in ogni tratto, si ottiene:

Elidendo tutti i termini uguali e opposti si ha la seguente semplificazione:

Nella formula precedente ponendo r₁₀=∞ e sostituendo 1/r₁₀=0, si ottiene il potenziale nel punto Z₁, che è espresso, come per definizione, dal lavoro eseguito dalle forze del campo elettrico per spostare una carica unitaria da un determinato punto fino all’infinito:

Dividendo il lavoro calcolato per la carica, si ottiene il potenziale elettrico nel punto Z₁ a distanza r₁ dalla carica puntiforme Q, generante il campo:

Semplificando, infatti, si ottiene:

Quando sia la carica Q, che q, hanno lo stesso segno, l’energia potenziale è positiva, la forza è repulsiva e il lavoro compiuto fino a infinito è positivo. Al contrario, se le due cariche sono di segno opposto, la forza è attrattiva e il lavoro è negativo. In un campo, generato da un numero n di cariche elettriche puntiformi: Q₁, Q₂, Q₃, …, Q_n, il potenziale in un punto generico A del campo con distanza r₁, r₂, r₃ … r_n dalle stesse, quindi, si ricava dalla somma dei singoli potenziali.