Nombres et fonctions surréels, 

La classe No des nombres surréels sont un arbre binaire complet ordonné lexicographiquement dont les hauteurs sont indexés par les ordinaux. On peut définir de nombreuses opérations par induction sur la hauteur dans l'arbre: en particulier No possède une structure de corps ordonné. On peut représenter les nombres contenus dans les premières hauteurs par des fonctions élémentaires définies sur les surréels eux-mêmes, dont le comportement en terme de monotonie est très régulier: fonctions polynomiales ou semi-algébriques, exponentielle, logarithme...

En allant plus haut, on rencontre des fonctions plus exotiques dont l'ordre de croissance dépasse (par le haut, le bas ou le milieu) celui de fonctions élémentaires. Cependant l'algèbre formée par ces fonctions possède des propriétés similaires à celle des fonctions définissables au premier ordre à l'aide des opérations d'anneaux sur les réels et de la fonction exponentielle. Ainsi on peut considérer la classe des surréels comme la clôture ultime des algèbres ordonnées de fonctions élémentaires.

J'expliquerai comment représenter tout nombre surréel comme une fonction surréelle et présenterai quelques propriétés de l'algèbre obtenue.