Cours (1) du 14 janvier 2013
Rappels sur les topos de Grothendieck,
par O. Caramello
Table des matières de la page
Prise de vue et montage : S. Dugowson
Categorical preliminaries
Review of the theory of Grothendieck toposes and the relevant categorical background: limits, colimits, exponentials, subobject classifier, associated sheaf functor, subcanonical sites, morphisms of sites, geometric morphisms, flat functors, the Comparison Lemma
Introduction : les topos de Grothendieck comme ponts unifiant les mathématiques
Espaces / Univers
Faisceaux sur un espace topologique
Recouvrements généralisés et topologies de Grothendieck
Remarque du webmaster et qui n'engage que lui : une topologie de Grothendieck est une structure de recouvrement dont on munit une catégorie qui, dans le cas de référence de la topologie usuelle, est déjà une topologie. Il est donc important de bien distinguer les deux niveaux : celui de la petite catégorie considérée (par exemple une topologie sur un ensemble), et celui de la structure de recouvrement (topologie de Grothendieck sur la petite catégorie considérée).
Faisceaux sur un site. Topos de Grothendieck
L'idée centrale de ce cours : la non-canonicité comme atout
Exemples de topologies de Grothendieck (topologies usuelles; triviale; atomique)
Morphismes géométriques.
Sheafification (faisceautisation)
(référence : [SGL], pages 128 à 134)
Remarque sur le plongement dans un topos
Topologies sous-canoniques
Propriétés des topos
Limites & co
Exponentielle
Classificateur de sous-objets
Morphismes (de sites, de topos; essentiels)
Morphismes géométriques et foncteurs plats
Lemme de comparaison de Grothendieck
Exemples
Espaces de Stone; espaces d'Alexandrov
Ici, ma caméra est tombée en panne sèche... J'ai donc poursuivi avec mon téléphone :