Catégories syntactiques pour les motifs de Nori,
par Laurent Lafforgue (IHES)
Ce cours a été donné à l'IHES par Laurent Lafforgue,
les mardis 22 septembre, 6 et 13 octobre 2015
et filmé par l'IHES
notes complètes de L. Lafforgue pour les trois exposés du cours, précédés d'une introduction
Institut des Hautes Etudes Scientifiques
Le Bois-Marie 35, route de Chartres
91440 Bures-sur-Yvette
(photographie L. Honnorat)
Table des matières
Annonce courte
Il s'agit d'exposer un travail cosigné avec Luca Barbieri-Viale et Olivia Caramello et essentiellement dû à cette dernière à partir d'une question initiale posée par le premier. Le cours s'attache en particulier à rendre familiers un langage et quelques résultats de logique catégorique qui ne sont généralement pas connus des géomètres algébristes. Dans l'exposé III, on cherchera aussi à expliquer l'approche par Olivia Caramello de la question des relations entre théories cohomologiques différentes esquissée dans l'article programmatique beaucoup plus sophistiqué " Motivic toposes".
Annonce
Il s'agit d'exposer un travail (http://arxiv.org/abs/1506.06113) cosigné avec Luca Barbieri-Viale et Olivia Caramello et essentiellement réalisé par cette dernière à partir d'une question initiale posée par le premier.
Le cours aura pour but d'expliquer une nouvelle construction, basée sur la logique catégorique, de la catégorie abélienne Q-linéaire de motifs mixtes que Nori a associée à tout foncteur cohomologique ou homologique à valeurs dans les Q-espaces vectoriels de dimension finie.
Cette nouvelle construction garde un sens pour les espaces vectoriels de dimension infinie, si bien qu'elle permet d'associer une catégorie Q-linéaire de motifs mixtes à tout foncteur (co)homologue à coefficients de caractéristique 0, donc non seulement à l'homologie de Betti (comme Nori lui-même avait fait) mais aussi, par exemple, aux cohomologies l-adiques, p-adique ou motivique.
Le caractère très constructif de la définition permet de montrer que les catégories abéliennes de motifs mixtes associées à différents foncteurs (co)homologiques sont équivalentes si et seulement si une famille bien précise (de nature logique) de propriétés explicites est vérifiée identiquement par ces foncteurs. Le double problème de l'existence d'une théorie cohomologique universelle et de l'équivalence entre les informations renfermées dans les différents foncteurs cohomologiques classiques est donc réduit à la vérification que ces propriétés explicites sont communes à ces foncteurs.
Le cours s'attachera en particulier à rendre familiers un langage et quelques résultats de logique catégorique qui ne sont généralement pas connus des géomètres algébristes.
Laurent Lafforgue
Introduction du cours (mardi 22 septembre 2015) : contexte + plan du cours [vidéo 1 jusque 11'30'']
"Syntactic categories for Nori motives" : rôles respectifs d'O. Caramello, L. Lafforgue et L. Barbieri-Viale
Olivia Caramello : recherche, découverte et rédaction
Initiation et dialogue suivi avec Laurent Lafforgue sur la géométrie algébrique : des centaines d'heures !
Une question de Luca Barbieri-Viale
Le contexte des topos classifiants
Ingrédients de base de la théorie des topos classifiants
Référence : Caramello, topos theoretic backgrouned (2014)
Les théories géométriques du premier ordre et leurs topos classifiants
Remarque : les topos classifiants n'interviennent pas, mais plutôt des variantes de certaines constructions servant aux topos classifiants
Un topos de Grothendieck est associé à une telle théorie
Les points du topos classifiant s'identifient aux modèles ensemblistes de la théorie
Lien avec la géométrie algébrique : topos motivique classifiant les théories cohomologiques ?
Luca Barbieri-Viale
Un programme impossible ?
Plan des trois séances du cours
Séance I : énoncés
Séance II : démonstrations
Séance III : questions sur les propriétés générales des foncteurs cohomologiques
[I] Première séance (mardi 22 septembre 2015) : énoncés [vidéo 1 : à partir de 11'30'']
Plan de cette première séance
[I.1] Construction de Nori
[I.2] Réinterprétation et généralisation par Caramello de la construction de Nori
[I.3] Application aux motifs
[I.1] Construction de Nori
Vidéo de l'exposé de Madhav Nori "Motives and Galois Groups" sur le site de l'IHES (2009)
On se donne un carquois D (= graphe orienté = petite catégorie sans composition)
On se donne R, un anneau noethérien (commutatif)
On considère les représentations de D dans la catégorie R-modf (i.e. les D-diagrammes de R-modules de type fini)
* Théorème 1 de Nori : pour toute représentation T, il existe une représentation universelle (dans une catégorie universelle) [vidéo 1 : de 14' à 20']
Indications sur la construction par Nori de cet universel
(i) Première étape : cas où le carquois est fini [vidéo 1, à partir de 20'45"]
On voit ici l'intérêt des carquois (plutôt que les catégories)
L'algèbre End(T) des endomorphismes de T est dans ce cas un R-module de type fini
La catégorie des modules (de type fini sur R) sur l'algèbre End(T) donne la catégorie universelle annoncée
(ii) Deuxième étape : cas général [vidéo 1, à partir de 22'20"]
Remarque préliminaire : foncteur canonique entre catégories universelles associées à des sous-diagrammes
Construction comme limite inductive pour tous les sous-diagrammes finis
Remarque : tous les foncteurs sont exacts.
Remarque : c'est une tensorisation.
(iii) Cas où R est un corps [vidéo 1, à partir de 24']
Lorsque D est fini, la catégorie proposée coïncide avec la catégorie des co-modules sur la co-algèbre duale.
Le passage aux co-modules remet "les flèches dans le bon sens"
On obtient une co-algèbre par limite inductive des co-algèbres associées aux sous-diagrammes finis
Et l'on prend donc les co-modules sur cette co-algèbre
Question [vidéo 1, 26'40"] : peut-on se passer de l'hypothèse "type fini" ?
Dans le cas d'un corps, nécessité de l'équivalence du bidual.
* Application aux schémas [vidéo 1, à partir 29'30'']
Le carquois D est défini à partir des schémas,
La représentation T est un foncteur cohomologique
-------------------------------- page en travaux (ça n'empêche pas d'étudier les vidéos et de lire les notes du cours !) ----------------------
[I.2] Réinterprétation et généralisation par Caramello [vidéo 1, à partir de 48'15"]
Des catégories équivalentes à celles de Nori mais obtenues de façon totalement différente
(A propos des démonstrations de Nori) il essaie de faire une chose syntactique avec la sémantique de l'algèbre linéaire [vidéo 1, à 1h47']
[I.3] Application aux motifs [vidéo 1, à parir de 1h58'30"]
[II] Deuxième séance (mardi 6 octobre 2015) : démonstrations [vidéo 2]
[III] Troisième séance (mardi 13 otobre 2015) : questions sur les propriétés générales des foncteurs cohomologiques [vidéo 3]
Références
En l'occurence : notes (pdf) du cours sur les "Catégories syntactiques pour les motifs de Nori"
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