Haro sur les ensembles (6 mai 2015), par Jean Bénabou
Prise de vue et mise en page : S. Dugowson
Le remplacement des ensembles, une question centrale pour J. Bénabou
Des réticences anciennes à l'égard de la théorie des ensembles
Des réticences tant mathématiques que philosophiques
Ces réticences ont orienté J. Bénabou vers les catégories
L'intuition d'espaces non constitués de points
Une lecture du volume de topologie de Bourbaki
Cours d'Ehresmann sur les locales
Puis rencontre des topos de Grothendieck, qui généralisent les catégories de faisceaux sur les locales
Une question centrale pour J. Bénabou : par quoi remplacer les ensembles ?
Les espaces sans points ont conforté J. Bénabou dans l'idée que toutes les mathématiques ne devaient pas nécessairement être fondées sur la théorie des ensembles
Durant 60 ans, la question de remplacer les ensembles aura été une question centrale pour J. Bénabou
D'abord comprendre comment fonctionne la théorie des ensembles
Quel morceau de la théorie des ensembles sert réellement dans tel ou tel chapitre des catégories ?
Notions de petitesse (1) : catégories (localement) petites
Les catégories enrichies
Une notion attribuée à Eilenberg et Kelly
Samuel Eilenberg & G. Max Kelly : Closed Categories, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (1966), pp 421-562
Mais conçue et publiée antérieurement par Bénabou, auquel Eilenberg et Kelly font référence
Bénabou, J Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 (1965): pp. 3824-3827
L'idée : généraliser les catégories localement petites au cas où le "hom" est un objet d'une catégorie monoïdale
Constat : la théorie des ensembles masque des choses profondes en théorie des catégories
Ainsi, on devrait souhaiter se passer des "Univers" introduits par Grothendieck
Catégories dans un topos, localement finies au sens de Kuratowski
Contrairement à l'intuition ensembliste qu'un sous-objet d'un objet petit est lui-même petit...
Une sous-catégorie d'une catégorie localement finie au sens de Kuratowski n'est pas n'est pas nécessairement localement finie
Notions de petitesse (2) : foncteurs localement petits.
Définition des foncteurs localement petits
Une généralisation des catégories localement petites et des foncteurs pleinement fidèles
Le composé de deux foncteurs localement petits est localement petit
Notions de petitesse (3) : un préfaisceau est "petit" s'il est représentable
C'est cette idée qui a conduit J. Bénabou aux distributeurs
Les foncteurs apparaissant alors comme des "petits" distributeurs
Terminologie (1966) : "profoncteurs", puis "distributeurs"
Notions de petitesse (4) : "grandes" familles de "petits" objets
Morphismes représentables de préfaisceaux
Une notion due à Grothendieck et qui devrait être dans tous les ouvrages sérieux de catégories (et qui n'est dans aucun) !
On peut voir un morphisme représentable comme une famille de "petits" préfaisceaux indexée par un "grand" préfaisceau
Remarque : "quand les définitions sont bonnes, on peut démontrer des choses"
En topologie : en prenant pour petit : "compact", on obtient les morphismes propres
Espaces des sous-espaces compacts d'un espace topologique
Définissabilité
Sommes disjointes et universelles des ensembles : propriété merveilleuse... ou tautologie ?
Donner un sens à la notion de famille indexée par un "ensemble" d'objets d'une catégorie
Sommes disjointes et universelles
Une propriété soit-disant merveilleuse de la catégorie des ensembles... qui est une tautologie !
Les ensembles ont cette propriété mirifique uniquement parce qu'on les compare à eux-mêmes
Questions de langage
La théorie des ensembles peut ausi empêcher de comprendre des phénomènes linguistiques
Sur ce sujet, voir aussi cette conférence donnée à l'ENS dans le cadre du séminaire Mamuphi :
Le très, le presque et autres articulations logiques du langage, par Jean Bénabou (4 avril 2015)
La formalisation du "très" : impossible dans le cadre ensembliste
Discussion
Votre motto est-il : "fibrer pour se débarrasser des ensembles" ?
Réponse...
fibrer, toposer, enrichir, etc... infini-catégories, etc...
Regarder la physique, etc... mais aussi le langage humain
Références
Jean Bénabou
Catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci., Paris, 256, (1963)
Algèbre élémentaire dans les catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci., Paris, 258, (1964)
Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 (1965): pp. 3824-3827
Introduction to bicategories. In : Reports of the Midwest Category Seminar. Springer Berlin Heidelberg, 1967. p. 1-77.
Les distributeurs. Rapport n°33 du Séminaire de Mathématiques Pures, Université Catholique de Louvain, 1973.
Théories relatives à un corpus, C.R. Acad. Sci., Paris, 281, (1975)
Fibrations petites et localement petites, CR Acad. Sci., Paris, 281 (1975): A897-900.
Fibred Categories and the foundations of naive category theory, J. Symbolic Logic 50 (1985), p. 10-37
(cet article "Fibred categories...." a été dédié par Jean Bénabou à Grothendieck, avec l'accord de celui-ci)
Distributors at work. Lecture notes written by Thomas Streicher, 2000.
Locally small Cartesian functors. Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 46, No. 3, 177-179 (2005)
Samuel Eilenberg & G. Max Kelly
Closed Categories, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (1966), pp 421-562