Cours (5) du 22 janvier 2013 : Arches (caractérisation d'invariants en termes de sites ), par O. Caramello

prise de vue : J.P. Laffineur

montage : S. Dugowson

Référence :  Site characterizations for geometric invariants of toposes, TAC, 2012 (pdf).

(version révisée du 18 novembre 2012 publiée dans T.A.C., et non pas la version de décembre 2011 qui est sur arxiv)

Pour une illustration des deux méta-théorèmes donnés dans ce cours, voir aussi l'exposé d'Olivia Caramello qui sera donné le 6 février 2013 au séminaire CLE (vidéo disponible ici).

Arches of ‘bridges’ : site characterizations for invariants

Discussion of the problem of obtaining site characterization for topos‐theoretic invariants, and presentation of two meta‐theorems characterizing large classes of invariants admitting bijective site characterizations. Analysis of specific geometric and logical topos‐theoretic invariants, notably including the property of a topos to be two‐valued, atomic, compact, (connected and) locally connected, equivalent to a presheaf topos, coherent, Boolean, De Morgan.

Introduction

Rappel sur le principe de transfert. Annonce de deux méta-théorèmes pour construire les arches.

Rappel : principe du transfert, de site à site, d'invariants toposiques, vu comme "traduction non littérale".

Précisions sur la notion d'invariant.

Exemples d'invariants.

Exemples d'invariants toposiques (être booléen, être atomique, être équivalent à un topos de préfaisceau, être localement connexe, être compact, etc...). Invariants de topos et invariants d'objets. Nécessité ou non de connaître une équivalence de topos, ou seulement l'existence de cette équivalence.

Construction d'invariants. Sous-topos.

Caractérisations par densité en termes de sites pour divers invariants toposiques

Clôture des sous-objets

Dans le Mac Lane-Moerdijk [MM], la notion de clôture de sous-objet est présentée dans le cadre général des topos élémentaires comme caractéristique d'une topologie de Lawvere-Tierney (définie sur le topos élémentaire) : proposition 1, page 221, du chap. V : Basic constructions of Topoi. 

 En pratique, n'ayant pas besoin de se placer à ce niveau de généralité, Olivia explique pourquoi et comment une topologie de Grothendieck sur une petite catégorie est caractérisée par une opération de clôture sur les sous-préfaisceaux.

Sur les relations entre les deux points de vue, voir notamment les exercices du chapitre V, p. 263 de [MM].

Foncteur l : C ---> Sh(C,J) et caractérisation des sous-objets des l (C) en termes de site.

Les objets de la forme l (C) constituent une "base" du topos Sh(C,J)

Ensembles séparants d'objets

Ensemble séparant = "base" = sous-catégorie dense. Exemples : atomicité, locale connexité, etc...

Propriétés respectées par épimorphismes (p. ex : être un atome, être indécomposable,...)

"Etre un atome" en termes de site.

Remarque : on a une formulation explicite d'une propriété chaque fois qu'on peut exprimer cette propriété en termes de condition de densité d'un monomorphime dans le topos des préfaisceaux associé. 

Annonce de la possibilité de l'expression explicite (i.e. en termes de sites) pour que le faisceautisé d'un morphisme de préfaisceaux soit un iso.

Théorème de caractérisation des topos atomiques en termes de sites.

(et suite de l'expression explicite pour que le faisceautisé d'un morphisme de préfaisceaux soit un mono (resp. épi, iso)).

Méta-théorème 1 pour la caractérisation d'invariants toposiques en termes de sites.

Référence :  Site characterizations for geometric invariants of toposes, TAC, 2012 (pdf).

(version révisée du 18 novembre 2012 publiée dans T.A.C., et non pas la version de décembre 2011 qui est sur arxiv)

(Topos localiques). Méta-théorème : 1ère condition (sur les objets obtenus par faisceautisation)

Méta-théorème : 2ème condition (existence d'une certaine classe de monos)

Exemples : topos à 2-valeurs (resp. localique, de De Morgan, etc...)  <=> site fortement connecté (resp. pré-ordre, site amalgamant, etc...)

Méta-théorème 2 (pour les invariants toposiques s'exprimant comme propriété du 1er ordre dans le langage des algèbres de Heyting).