Spectres et dualités : cours (8) d'O. Caramello, 29 janvier 2013

prise de vue : J.P. Laffineur

montage et mise en page : S. Dugowson

Cours n° 8

Intra‐disciplinary applications II

Topos‐theoretic interpretation and generation of Stone‐type and Priestley‐type dualities. Construction of analogues of the Zariski spectrum in Algebra and Topology, and applications to Gelfand spectra. Topos-theoretic generation of dualities for compact Hausdorff spaces and C*‐algebras through Wallman compactifications.

tables des matières réduite :

Introduction : topologie générale ou sans point, dualité de type Stone, spectres. Références : trois articles d'Olivia Caramello.

Références :

"a topos-theoretic approach to Stone-type dualities" : article sur Arxiv [SD1] + une présentation pdf [SD2]

"Priestley-type dualities for partially ordered structures" (sur Arxiv)

"Gelfand spectra and Wallman compactifications" (sur Arxiv)

Une liste de dualités de type Stone : (espaces topologiques, ou locale, ou ensembles ordonnés) // ensembles pré-ordonnés.

Exemple 1 : dualité de Stone

algèbres de Boole// espaces de Stone (compacts tot. discontinus)

Treillis distributifs // espaces cohérents spectraux

Exemple 2 : dualité de Lindenbaum-Tarski (alg. de Boole complètes atomiques // Ensembles). Objets schizophréniques.

Exemple 3 : dualité (équivalence) d'Alexandrov (ensembles ordonnés // espaces d'Alexandrov)

Exemple 4 : espaces sobres // frames (treillis infiniment distributifs) de la forme "les ouverts d'un espace topologique".

Rq : j'ai des doutes sur la traduction "repères" pour "frames", mais pourquoi pas...

Rq : dans les espaces sobres, il n'y a pas de points inutiles. Explication de JPL : "tu ne vois pas les points en double" (mais si cette explication était juste, ce serait le mathématicien qui devrait être dit sobre, et non l'espace... )

Exemple 5 : dualité de Andrew Moshier et Peter Jipsen (meet-semi-lattices // certains espaces topologiques)

Exemple 6 : dualité de Karl Heinrich Hofmann, Michael Mislove et Albert Stralka (treillis algébriques//join-semi-lattices)

Exemple 7 : treillis algébriques complètement distributifs// ensembles ordonnés

Le but de l'exposé : montrer que toutes ces dualités se retrouvent par la technique des ponts à partir d'une fonctorialisation du lemme de comparaison de Grothendieck

Lemme de comparaison de Grothendieck (appliqué aux sites pré-ordonnés avec topologie sous-canonique)

Remarque : ensembles pré-ordonnés vus comme catégories.

Rappel de l'énonce du lemme de comparaison ( J-densité => équivalence de topos)

Exemple : bases d'un espace topologique

"La théorie des topos suggère de regarder des bases pour lesquelles il y a des descriptions intrinsèques" (cf. bases de Wallman)

Description topos-théorique des dualités de type Stone

Dualité de Stone.

Remarque sur la condition de sobriété.

Topologie cohérente sur une algèbre de Boole.

Généralisation aux pré-ordres (avec topologie sous-canonique).

Pour généraliser encore, il faut savoir comment récupérer les objets du site à partir du topos (grâce à une notion de compacité généralisée, voir [SD2] pp. 13 et 14, et l'article [SD1])

Principaux aspects de la méthode

Remarque terminologique : un "méta-théorème"... est un théorème au sens ordinaire ("méta" suggère simplement le niveau de généralité)

Condition de compacité généralisée (p. ex. supercompacité) pour retrouver les objets à partir du topos des faisceaux. Topologies "bien définies" en termes d'invariant donné ("être fini", "être un singleton", etc...).

Topologies "bien définies" => sous-canonique. Idéaux principaux dans le treillis des sous-terminaux.

Remarque : variété des visages de la compacité.

Utilisation du lemme de comparaison.

Exemple : dualité de Birkhoff (treillis distributifs finis // ensembles ordonnés finis).

La topologie sous-terminale, ou : "la question des points"

Exemple : dualité d'Alexandrov.

Topologie sous-terminale (au sens de la topologie générale) sur une famille de points d'un topos de Grothendieck.

Exemples : topologie d'Alexandrov, topologie de Stone, etc...

En réponse à L.L. : tout espace topologique est de cette forme (associé à des points d'un topos).

En réponse à A.K. : Deux topos différents peuvent donner le même espace topologique; cas des topos localiques.

En réponse à X : Utilisation de surjections ouvertes + descente pour obtenir un topos de faisceaux.

Topologie sous-terminale dans le cas d'un site pré-ordonné. J-filtres.

Spectre d'un treillis distributif. Topologie de Zariski. Faisceaux cohérents.

Espaces compacts et C*-algèbres : compactifications de Wallman

NdW : in french, compact means "(quasi-)compact + Hausdorff (T2)"

Spectre maximal

Généralisation du "spectre maximal comme sous-espace induit par Zariski". Sous-espaces et sous-topos.

"Sobrification" de l'espace des idéaux maximaux d'un anneau (p.ex. d'une C*-algèbre, qui est Hausdorff donc sobre)

Remarque : en analyse fonctionnelle, contrairement à la géométrie algébrique, ce sont les idéaux maximaux qui sont intéressants.