Cours (8) du 29 janvier 2013 : Spectres et dualités, par Olivia Caramello

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Spectres et dualités (1) : introduction et références

Spectres et dualités (2) : une liste de dualités de type Stone

Spectres et dualités (3) : lemme de comparaison

Spectres et dualités (4) : description topos-théorique des dualités de type Stone

Spectres et dualités (5) : compactifications de Wallman

Table des matières complète pour cette leçon

(non cliquable)

1 Introduction : topologie générale ou sans point, dualité de type Stone, spectres. Références : trois articles d'Olivia Caramello.

2 Une liste de dualités de type Stone : (espaces topologiques, ou locale, ou ensembles ordonnés) // ensembles pré-ordonnés.

2.1 Exemple 1 : dualité de Stone

2.1.1 algèbres de Boole// espaces de Stone (compacts tot. discontinus)

2.1.2 Treillis distributifs // espaces cohérents spectraux

2.2 Exemple 2 : dualité de Lindenbaum-Tarski (alg. de Boole complètes atomiques // Ensembles). Objets schizophréniques.

2.3 Exemple 3 : dualité (équivalence) d'Alexandrov (ensembles ordonnés // espaces d'Alexandrov)

2.4 Exemple 4 : espaces sobres // frames (treillis infiniment distributifs) de la forme "les ouverts d'un espace topologique".

2.5 Exemple 5 : dualité de Andrew Moshier et Peter Jipsen (meet-semi-lattices // certains espaces topologiques)

2.6 Exemple 6 : dualité de Karl Heinrich Hofmann, Michael Mislove et Albert Stralka (treillis algébriques//join-semi-lattices)

2.7 Exemple 7 : treillis algébriques complètement distributifs// ensembles ordonnés

2.8 Le but de l'exposé : montrer que toutes ces dualités se retrouvent par la technique des ponts à partir d'une fonctorialisation du lemme de comparaison de Grothendieck

3 Lemme de comparaison de Grothendieck (appliqué aux sites pré-ordonnés avec topologie sous-canonique)

3.1 Remarque : ensembles pré-ordonnés vus comme catégories.

3.2 Rappel de l'énonce du lemme de comparaison ( J-densité => équivalence de topos)

3.3 Exemple : bases d'un espace topologique

3.4 "La théorie des topos suggère de regarder des bases pour lesquelles il y a des descriptions intrinsèques" (cf. bases de Wallman)

4 Description topos-théorique des dualités de type Stone

4.1 Dualité de Stone.

4.1.1 Remarque sur la condition de sobriété.

4.1.2 Topologie cohérente sur une algèbre de Boole.

4.1.3 Généralisation aux pré-ordres (avec topologie sous-canonique).

4.1.4 Pour généraliser encore, il faut savoir comment récupérer les objets du site à partir du topos (grâce à une notion de compacité généralisée, voir [SD2] pp. 13 et 14, et l'article [SD1])

4.2 Principaux aspects de la méthode

4.2.1 Remarque terminologique : un "méta-théorème"... est un théorème au sens ordinaire ("méta" suggère simplement le niveau de généralité)

4.2.2 Condition de compacité généralisée (p. ex. supercompacité) pour retrouver les objets à partir du topos des faisceaux. Topologies "bien définies" en termes d'invariant donné ("être fini", "être un singleton", etc...).

4.2.3 Topologies "bien définies" => sous-canonique. Idéaux principaux dans le treillis des sous-terminaux.

4.2.4 Remarque : variété des visages de la compacité.

4.2.5 Utilisation du lemme de comparaison.

4.3 Exemple : dualité de Birkhoff (treillis distributifs finis // ensembles ordonnés finis).

4.4 La topologie sous-terminale, ou : "la question des points"

4.4.1 Exemple : dualité d'Alexandrov.

4.4.2 Topologie sous-terminale (au sens de la topologie générale) sur une famille de points d'un topos de Grothendieck.

4.4.3 En réponse à L.L. : tout espace topologique est de cette forme (associé à des points d'un topos).

4.4.4 En réponse à A.K. : Deux topos différents peuvent donner le même espace topologique; cas des topos localiques.

4.4.5 Topologie sous-terminale dans le cas d'un site pré-ordonné. J-filtres.

4.4.6 Spectre d'un treillis distributif. Topologie de Zariski. Faisceaux cohérents.

5 Espaces compacts et C*-algèbres : compactifications de Wallman

5.1 Spectre maximal

5.1.1 Généralisation du "spectre maximal comme sous-espace induit par Zariski". Sous-espaces et sous-topos.

5.1.2 "Sobrification" de l'espace des idéaux maximaux d'un anneau (p.ex. d'une C*-algèbre, qui est Hausdorff donc sobre)

5.1.3 Remarque : en analyse fonctionnelle, contrairement à la géométrie algébrique, ce sont les idéaux maximaux qui sont intéressants.

5.2 Base de Wallman pour un espace topologique.

5.3 Algèbres d'Alexandrov.

5.3.1 Countably compact Alexandrov algebra

5.3.2 Définition des algèbres d'Alexandrov.

5.4 Dualité pour les espaces T1.

5.5 Dualité pour les C*-algèbres. Guelfand.