Prise de vue et montage : S. Dugowson
The duality theorem
Statement and proofs of the theorem providing a duality between the subtoposes of the classifying topos of a geometric theory and the quotients of the theory (considered up to syntactic equivalence). Remarks on the proof‐theoretic nature of the notion of Grothendieck topology.
Analysis of the lattice structure on the collection of geometric theories over a given language: transfer of topos‐theoretic notions across the duality and their logical interpretations. The notions of Booleanization and DeMorganization of a geometric theory and their applications in Algebra.
... or, tous les sous-topos sont de cette forme...
[problème technique : il manque un morceau de l'enregistrement vidéo]
Rappel : réciproquement, à tout sous-topos on associe une opération de clotûre.
[problème technique : il manque un morceau de l'enregistrement vidéo]
Référence
Cliquer sur l'image pour accéder
à l'article d'Olivia Caramello sur les treillis de théories
Expression diagrammatique du théorème de dualité.
algèbres de (co-)Heyting ( Joyal ); treillis des théories géométriques sur un langage donné.
Topologie de Grothendieck => système démonstratif
Un niveau d'abstraction effrayant... mais pas dangereux !
Verbatim
Ce qui nous intéresse le plus, c'est le fait que la notion de sous-topos est un invariant, donc on ne va pas raisonner au niveau des topologies de Grothendieck : on va raisonner au niveau des topos, car là on peut transférer...
La double négation est une opération de clôture. Remarque sur topos élémentaires et ceux de Grothendieck.
Booleanisation d'une théorie géométrique. La logique géométrique est intrinsèquement constructive.
Théorème d'existence d'un sous-topos dense maximal de De Morgan.
Préfaisceaux sur la catégorie des corps finis.
Références.
Théories de type préfaisceaux.
Relation entre syntaxe et sémantique. Construction sémantique du topos classifiant.
Modèles J-homogènes.
Référence :
topologie atomique et modèles faiblement homogènes
Exemples de (topologie => syntaxe) : groupoïde => booléen; amalgamation => De Morgan; cohérence, compacité,..
.
***