Injections virtuelles et relations multi-tables, par Saab Abou Jaoudé (1er juillet 2015)

(ou le problème de l'infinitude de l'indice multi-table)

Saab Abou-Jaoudé, dit Abou,

est professeur de mathématiques à la retraite

et participant actif du séminaire CLE.

Prise de vue, mise en page et commentaires : S. Dugowson

Avertissement : l'exposé d'Abou tient ici en une douzaine de vidéos, chacune étant précédée des titres des questions traitées. Du fait d'une certaine densité du propos introductif, la vidéo n° 001 se trouve ci-après assez bas dans la page, au niveau de la section 5 de la table des matières, tandis que, par anticipation, la vidéo n° 006 a été placée dès la section 1.1., dans l'introduction...

Introduction 

Théorème (Chalons)  : multi-table <=> non-TSD 

Une remarque faite ultérieurement, au cours de l'exposé,

mais qui précise bien l'objet de l'étude d'Abou

Cardinal associé à une relation multi-table

Problème de la finitude de ce cardinal

Question (Khélif, Abou) : lorsque le support des relations est fini, l'indice multi-table est-il fini ?

Relations 2x2-aires

Dans cet exposé, on se limite aux relations d'uplicité 2

Notations : R, x, E, y, F, z, G, t, H...

Relations non-TSD

TSD : acronyme de Transmits Some Data

Non-TSD : "aucune information ne passe"

Définition d'une relation 2x2-aire R non-TSD

Remarque : comme je l'ai dit à Abou quelques temps après son exposé (sur le moment je n'ai juste pas réussi à comprendre la définition de non-TSD...) je suis en désaccord avec l'interprétation qu'il y donne (voir la vidéo ci-dessous) de la définition de "non-TSD". En effet, ce n'est pas parce qu'aucun message ne peut être communiqué d'un opérateur à l'autre qu'aucune information ne se trouve partagée, comme le montre l'exemple classique de l'interprétation de l'intrication quantique EPR par Bertlmann, connu sous le nom de "chaussettes de Bertlmann", les entrées et les sorties jouant ici des rôles parfaitement dissymétriques. Je m'en explique dans ces notes en cours de rédaction : "Les relations bibinaires non-TSD sont partout éventuellement non-indicatives de ce qui entre ailleurs".

S. Dugowson

Relations multi-tables

Stratégies locales

Stratégies gagnantes

Problème général de la finitude de l'indice multi-table lorsque R est finie 

C'est un problème difficile : on se heurte à un mur...

D'où l'idée de considérer des relations multi-tables particulières : les injections virtuelles

Rappel sur les injections virtuelles

L'injection virtuelle de n dans p

Injection virtuelle d'une relation binaire dans une relation binairee

Injection virtuelle d'un degré de Tukey dans un degré de Tukey

Remarque (A. Khélif) : l'injection virtuelle d'un degré de Tukey dans un autre est un degré ludique.

Le problème dans le cas des injections virtuelles entre entiers

Les injections virtuelles d'entiers sont fortement non-TSD

Notion de relation fortement non-TSD

∀x,∀y,∀z,∃t,(x,y,z,t)∈R

Donc les injections virtuelles d'entiers sont multi-tables. 

Question : indice de multi-tabularité de l'injection virtuelle de n dans p ?

Minoration : si j est tel que  p^j<n, alors l'injection virtuelle de n dans p n'est pas j-multi-table.

Théorème : l'indice minimal k de multi-tabularité de l'injection de n dans p est tel que  p^(k-1) < n < p^k

Codage d'un "vecteur" a par un scalaire scal(a)

Question sur les tables

Remarque : le codage est dû à Anatole Khélif

Discussions

Le vivant, un degré ludique non trivial ?

Bennequin et la topologie de l'information, un cas particulier de degré ludique ?

"Topological forms of information", Daniel Bennequin, 15/09/2014

Référence également à René Guitart 

 "théorie cohomologique du sens", René Guitart, 2004

Sur les notations

En quoi ces injections sont-elles virtuelles ?

Le problème dans le cas des injections virtuelles entre relations binaires (finies)

Définition de l'injection virtuelle d'une relation binaire dans une autre

Injections virtuelles entre degrés de Tukey

Définition des degrés de Tukey

Discussion sur la notion de simulation

Définition des degrés de Tukey (suite)

Ces injections virtuelles sont  non-TSD (dès que R n'est pas Top-Tukey)

Une conjecture

Récapitulatif : conjecture d'infinitude pour certaines injections virtuelles entre relations à support fini

Références

"Relations non-TSD et relations multitables : cas de l'arité 2x2", par S. Abou-Jaoudé (juillet 2015)

Attention, pdf en travaux : voir les fichiers successif en bas de cette page.

Les relations bibinaires non-TSD sont partout éventuellement non-indicatives de ce qui entre ailleurs", par S. Dugowson (juillet 2015)

"Classification des injections virtuelles", S. Abou-Jaoudé, A. Khélif, F. Jamet, C. Chalons, 2 avril 2015

Page consacrée aux degrés ludiques sur le site CLE

Table détaillée