La théorie des « ponts » topos théoriques (5 mai 2015), par Olivia Caramello
Prise de vue et mise en page : S. Dugowson
Introduction : un exposé orienté vers les aspects conceptuels
Le concept d'unification
Deux types d'unifications : statique ou dynamique
Unification statique (par généralisation)
Exemple : les catégories unifient les pré-ordres et les groupes
Spécialisation d'un niveau abstrait, formel vers un niveau inférieur
En général, on ne peut pas relever les propriétés spécifiques d'un niveau vers le niveau supérieur
Unification dynamique (par construction)
Construction d'un objet "pont" ayant plusieurs représentations
Concept d'invariant (vis-à-vis de constructions équivalentes)
Exemple (1) : espaces topologiques ayant même groupe fondamental
Exemple (2) : programme d'Erlangen de Klein
Unification de propriétés, plutôt que de concepts
L'unification dynamique engendre un "faisceaux" d'unifications statiques au niveau des propriétés
Formalisation de l'unification dynamique par des "constructions invariantes"
"Constructions invariantes" vues comme morphismes d'une équivalence I vers une équivalence O
Définition d'un objet pont dans ce cadre
Transferts de propriétés
Unification dynamique grâce aux topos classifiants
Application de la formalisation précédente au cas des topos
Equivalence I : avoir, pour des théories géométriques du 1er ordre, même contenu mathématique (i.e. modèles équivalents dans tous topos : Morita)
Remarque : le topos des ensembles ne suffit pas, car une théorie infinitaire non contradictoire peut ne pas avoir de modèle ensembliste
Equivalence O : équivalence en tant que catégories entre topos de Grothendieck
Le morphisme utilisé est celui qui associe à toute théorie géométrique du 1er ordre son topos classifiant.
Remarque : cet invariant est conservatif, i.e. 2 théories sont Morita-équivalentes si et seulement si elles ont même topos classifiant
Exemple (3) : une théorie est complète si et seulement si son topos classifiant est bivalué (le terminal a deux sous-objets)
Rappel : construction du topos classifiant comme topos des faisceaux sur le site syntactique de la théorique (Makkai, Reyes, Joyal)
Sur cette construction du topos classifiant, voir par exemple la section "Topos classifiant d'une théorie géométrique" de l'exposé d'Olivia Caramello du 9 décembre 2013 : Construction de Fraïssé et topos
Question : nature géométrique des théories concernées, morleyisation
Sur la morleyisation, voir en particulier le cours d' O. Caramello du 15 janvier 2013 : "topos classifiant d'une théorie"
Question : utilisation de morphismes ouverts par Johnstone & Butz
Modèle universel d'une théorie
Le topos classifiant représente le foncteur des modèles (dans les topos) de la théorie géométrique considérée
Tout modèle de la théorie, dans n'importe quel topos, est l'image du modèle universel par un unique morphisme de topos.
Le topos classifiant est l'environnement naturel où étudier la théorie
Là seulement est l'unification de la syntaxe et de la sémantique
Tout ce qui se passe aux autres niveaux est juste une image de ce Soleil-là
Diversité de points de vue
Beaucoup d'équivalences de Morita (par exemple quand il y a dualité, et plus généralement des points de vue différents)
Diversité de sites pour un même topos
Retour sur l'exemple (3) de la complétude
Topologie atomique
Unifier non en éliminant la diversité mais en l'expliquant
Exemple (4) : dualités de type Stone
Exemple (5) : Théories de Galois
Généralisation de la théorie de Galois de Grothendieck
Références
Un texte d'introduction au topos
Topos-theoretic background, Olivia Caramello (sept. 2014)
Vidéos d'Olivia Caramello sur le présent site CLE
et en particulier :
Topos classifiant d'une théorie, par O. Caramello (15 janvier 2013)