Spectres et dualités (4) : description topos-théorique des dualités de type Stone
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Description topos-théorique des dualités de type Stone
Dualité de Stone.
Remarque sur la condition de sobriété.
Topologie cohérente sur une algèbre de Boole.
Généralisation aux pré-ordres (avec topologie sous-canonique).
Pour généraliser encore, il faut savoir comment récupérer les objets du site à partir du topos (grâce à une notion de compacité généralisée, voir [SD2] pp. 13 et 14, et l'article [SD1])
Principaux aspects de la méthode
Remarque terminologique : un "méta-théorème"... est un théorème au sens ordinaire ("méta" suggère simplement le niveau de généralité)
Condition de compacité généralisée (p. ex. supercompacité) pour retrouver les objets à partir du topos des faisceaux. Topologies "bien définies" en termes d'invariant donné ("être fini", "être un singleton", etc...).
Topologies "bien définies" => sous-canonique. Idéaux principaux dans le treillis des sous-terminaux.
Remarque : variété des visages de la compacité.
Utilisation du lemme de comparaison.
Exemple : dualité de Birkhoff (treillis distributifs finis // ensembles ordonnés finis).
Exemple : dualité d'Alexandrov.
Topologie sous-terminale (au sens de la topologie générale) sur une famille de points d'un topos de Grothendieck.
Exemples : topologie d'Alexandrov, topologie de Stone, etc...
En réponse à L.L. : tout espace topologique est de cette forme (associé à des points d'un topos).
En réponse à A.K. : Deux topos différents peuvent donner le même espace topologique; cas des topos localiques.
En réponse à X : Utilisation de surjections ouvertes + descente pour obtenir un topos de faisceaux.
Topologie sous-terminale dans le cas d'un site pré-ordonné. J-filtres.
Spectre d'un treillis distributif. Topologie de Zariski. Faisceaux cohérents.