Stéphane Dugowson est maître de conférence au laboratoire Quartz

 (Institut Polytechnique Grand Paris/Supméca)

Prise de vue : Michael Wright et Jérôme Jean-Charles

(dé)montage et mise en page : S. Dugowson

Dynamiques catégoriques sur une catégorie

Définition

Écoulements, états et transitions non déterministes

Dynamorphismes

Remarque : la catégorie des dynamiques catégoriques sur une catégorie n'est pas un topos

En résumé, une dynamique est une loi des (états) possibles

Horloges, instants et réalisations

Une horloge est une dynamique déterministe

Réalisations d'une dynamique par rapport à une horloge

Dynamorphismes quasi-déterministes

Possibilités de principes et possibilités effectives

Une dynamique indique des possibilités de principe

La notion de réalisation représente des possibilités effectives

Relation de pré-ordre entre les instants

Temporalités discrètes, continues, linéaires, cycliques, arborescentes, multidimensionnelles, etc...

Deux horloges importantes

Horloge essentielle

Horloge existentielle (qui interviendra dans la conjecture énoncée plus loin)

Remarque : cette théorie distingue clairement les durées et les instants

Exemple : dynamiques irréversibles sur une horloge dont les instants forme l'axe réel

Quand l'effectif entre en jeu

Dynamiques ouvertes

Les dynamiques ouvertes dépendent des réalisations effectives des dynamiques avec lesquelles elles sont en relation

Remarque : existence de dynamiques sans réalisations non vides 

Cela illustre la différence entre possibilités de principes et possibilités effectives

Réalisations passant successivement par un état et par un autre

Problème I : l'intersection de deux dynamiques n'est pas une dynamique

Problème II : la relation de Chasles n'est pas toujours satisfaite

L'existence de deux réalisations, l'une passant par A puis par B, l'autre par B puis par C, n'implique pas qu'on puisse passer de A à C !

Deux contre-exemples avec l'horloge essentielle

Une conjecture 

Conjecture : pour toute dynamique déterministe, s'il existe une réalisation existentielle passant d'un état A à un état B, et une réalisation existentielle passant de B à C, alors il existe une réalisation existentielle passant de A à C

Conclusion

Références

par S. Dugowson

"Dynamiques sous-catégoriques ouvertes en interaction", HAL, 9 août 2015

"Interaction des dynamiques graphiques ouvertes (définitions)". HAL, 7 août  2015

"Influences dynamiques catégoriques", conférence Supméca-Innovaxiom, 21 mai 2013

Dynamiques connectives (une introduction aux notions connectives : espaces, représentations, feuilletages et dynamiques catégoriques), Editions universitaires européennes, 2012

"Introduction aux dynamiques catégoriques connectives", Hyper Articles en Ligne, 22 décembre 2011.

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 (https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/DYAN/20150506Dugowson)

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