Possibilités de principe et possibilités effectives dans les dynamiques catégoriques
6 mai 2015
par Stéphane Dugowson
Stéphane Dugowson est maître de conférence au laboratoire Quartz
(Institut Polytechnique Grand Paris/Supméca)
Prise de vue : Michael Wright et Jérôme Jean-Charles
(dé)montage et mise en page : S. Dugowson
Dynamiques catégoriques sur une catégorie
Définition
Écoulements, états et transitions non déterministes
Dynamorphismes
Remarque : la catégorie des dynamiques catégoriques sur une catégorie n'est pas un topos
En résumé, une dynamique est une loi des (états) possibles
Horloges, instants et réalisations
Une horloge est une dynamique déterministe
Réalisations d'une dynamique par rapport à une horloge
Dynamorphismes quasi-déterministes
Possibilités de principes et possibilités effectives
Une dynamique indique des possibilités de principe
La notion de réalisation représente des possibilités effectives
Relation de pré-ordre entre les instants
Temporalités discrètes, continues, linéaires, cycliques, arborescentes, multidimensionnelles, etc...
Deux horloges importantes
Horloge essentielle
Horloge existentielle (qui interviendra dans la conjecture énoncée plus loin)
Remarque : cette théorie distingue clairement les durées et les instants
Exemple : dynamiques irréversibles sur une horloge dont les instants forme l'axe réel
Quand l'effectif entre en jeu
Dynamiques ouvertes
Les dynamiques ouvertes dépendent des réalisations effectives des dynamiques avec lesquelles elles sont en relation
Remarque : existence de dynamiques sans réalisations non vides
Cela illustre la différence entre possibilités de principes et possibilités effectives
Réalisations passant successivement par un état et par un autre
Problème I : l'intersection de deux dynamiques n'est pas une dynamique
Problème II : la relation de Chasles n'est pas toujours satisfaite
L'existence de deux réalisations, l'une passant par A puis par B, l'autre par B puis par C, n'implique pas qu'on puisse passer de A à C !
Deux contre-exemples avec l'horloge essentielle
Une conjecture
Conjecture : pour toute dynamique déterministe, s'il existe une réalisation existentielle passant d'un état A à un état B, et une réalisation existentielle passant de B à C, alors il existe une réalisation existentielle passant de A à C
Conclusion
Dynamiques connectives (une introduction aux notions connectives : espaces, représentations, feuilletages et dynamiques catégoriques), Editions universitaires européennes, 2012
"Introduction aux dynamiques catégoriques connectives", Hyper Articles en Ligne, 22 décembre 2011.
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