[version 2] Vers l'infini-catégorie faible des infini-catégories faibles, par Camell Kachour (11 septembre 2015)
prise de vue et mise en page : S. Dugowson et C. Kachour
Camell Kachour est mathématicien,
spécialiste des opérades et des infini-catégories.
Page en travaux, sous le contrôle de Camell, pour l'exposé du 11/09/2015
Bac à sable : pour s'entraîner à l'utilisation des outils.de Google Site.
Camell Kachour
Résumé
L'une des conjectures les plus importantes de la théorie des catégories supérieures, vue sous l'angle globulaire, est la la suivante :
L'infini-catégorie faible des infini-catégories faibles existe dans le contexte globulaire.
Thomason et Grothendieck espéraient la véracité de cette conjecture.
Appelons B0 l'opérade de Batanin dont les algèbres sont les infini-catégories faibles au sens de Batanin. Au CT2014 [Category Theory 2014, Cambridge], Jacques Penon a montré la puissance de cette approche de la théorie des catégories supérieures de Michael Batanin, en montrant que les n-spans forment une B0-algèbre, ce qu'Albert Burroni soupçonnait depuis longtemps.
Dans cet exposé nous allons montrer comment étendre B0, en construisant d'autres opérades Bn, ou n est un entier quelconque : ainsi les B1-algèbres sont notre approche des infini-foncteurs faibles, les B2-algèbres sont notre approche des infini-transformations naturelles faibles, les B3-algèbres sont notre approche des infini-modifications faibles, etc.
Un objet coglobulaire B0 => B1 => B2 => B3 =>...=> Bn =>... dans une catégorie d'opérades sur Glob x Glob apparaît naturellement dans ces constructions. Notons C une sous-catégorie de Mnd (la catégorie des catégories équipé d'une monade) ayant la vertu d'avoir des produits fibrés dans Mnd, et telle que l'objet coglobulaire en question soit dans C. On peut alors lui associer canoniquement une opérade de coendomorphisme
sur la monade des infini-catégories strictes. Nous conjecturons que B0 est fractale. Une façon de prouver la fractalité de B0 est de prouver que l'opérade de coendomorphisme
est contractible et équipée d'un système de composition au sens de Batanin.
Si notre conjecture est vrai, alors cela prouve que, dans le contexte globulaire, l'infini-catégorie faible des infini-catégories faibles existe.
Les idées principales de cet exposé sont dans ma thèse :
Si notre conjecture est vrai, alors cela prouve que, dans le contexte globulaire, l'infini-catégorie faible des infini-catégories faibles existe.
Les idées principales de cet exposé sont dans ma thèse : Aspects of globular higher category theory (Sydney, Novembre 2013).
Camell Kachour
Formule principale de la théorie de Kachour
Introduction
Le problème : existence de l'∞-catégorie faible des ∞-catégories faibles dans le contexte globulaire
Remarque : ce problème est plus complexe que dans le contexte simplicial
La quasi-catégorie des quasi-catégories existe
Autrement dit : l' (∞,2)-catégorie des (∞,1)-catégories existe
Remarque : plus généralement, les (∞,n)-catégories forment une (∞,n+1)-catégorie.
Dans le contexte simplicial, on a des cellules inversibles au-dessus de 1 ou 2, c'est de ce fait plus simple que dans le contexte globulaire
S'appuyer sur les travaux de Jacques Penon et de Michael Batanin sur les ∞-catégories non strictes...
Jacques Penon, lors de l'exposé de Camell Kachour
... et sur cet article de C. Kachour : Définition algébrique des cellules non strictes. Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, 49 no. 1 (2008), p. 1-68
On connaît déjà l'existence de choses de ce genre
La catégorie des catégories
La bicatégorie des bicatégories
(il y a aussi une tricatégorie des tricatégories...)
l' ∞-catégorie stricte des ∞-catégories strictes
Autres références dans cette direction
Volume 50 des brouillons de Thomason, bibliothèque de mathématique recherche, Paris
Alexandre Grothendieck
Dans sont manuscrit "Pursuing Stacks", où Grothendieck considère l'aspect globulaire des infini-objets (champs, groupoides, etc.) comme fondamental.
Higher Topos Theory (2006) / (Princeton University Press, 2009). J. Lurie y considère, au chapitre 3, l'infini-catégorie des infini-catégories.
L'idée : construire l'analogue des ∞-catégories faibles au sens de Batanin mais pour les foncteurs, les transformations naturelles, etc...
L'opérade de Batanin
Batanin considère, dans la catégorie Glob des ensembles globulaires, les spans de la forme suivante...
Avec ω0 la monade des infinis-catégories strictes
Rappel : ensembles globulaires
Rappels et liens
Catégorie globulaire G (ou "catégorie globe") sur nLab
Un ensemble globulaire est un préfaisceau d'ensembles sur la catégorie globulaire
La catégorie des ensembles globulaires Glob est donc le topos des préfaisceaux sur G.
Remarque : Ross Street a démontré (en 2001 ?) que les arbres, vus comme cellules de l'infini-catégorie stricte libre sur l'objet terminal de Glob, forment un objet des nombres naturels de Glob, au sens de la théorie des topos de Lawvere-Tierney
Un ensemble globulaire (il peut y avoir des n-flèches pour tout n).
Rappel : ∞-catégories strictes
Les infini-catégories strictes généralisent les catégories de façon stricte et en toutes dimensions
Une infini-catégorie stricte est donc un ensemble globulaire avec composition des flèches vérifiant notamment un "axiome d'échange"
La catégorie des infini-catégories strictes, notée infini-Cat, a pour morphismes les infini-foncteurs stricts
Foncteur d'oubli et foncteur libre entre Glob et ∞-Cat
Le foncteur d'oubli est monadique, et la monade ω0 : Glob -> Glob est cartésienne
Monadic Functor (nLab)
http://ncatlab.org/nlab/show/monadic+functor
[...]
Given a pair of adjoint functors F:C→D:U, F⊣U, with unit η:IdC→U∘F and counit ϵ:F∘U→IdD, one constructs a monad T=(T,μ,η) setting T=U∘F:C→C, μ=UϵF:TT=UFUF→UF=T.
[...]
C'est cette monade des infini-catégories strictes, ω0, qui figure dans les spans de Batanin
Le rôle de ω0 (1) peut se comprendre comme celui de "l'ensemble globulaire des arités" des "opérations" possiblement contenues dans le sommet du span
Catégorie monoïdale ω0-Coll des ω0 collections
Références : Albert Burroni, Claudio Hermida, Tom Leinster ?
Morphismes entre les ω0 collections
Le produit tensoriel dans ω0-Coll
Catégorie monoïdale ω0-Collp des ω0 collections pointées
Intérêt du pointage : choisir les unités de l'opérade produite
Adjonction (oubli, libre) entre les ω0-opérades (monoïdes) ω0-Oper et ω0-Collp
Le foncteur d'oubli ω0-Oper -> ω0-Collp est monadique
Référence : Tom Leinster, Higher Operads, Higher Categories, Cambridge (2004)
Infini-magmas
Choisir une certaine ω0-Collp qui conduirait par engendrement libre à une opérade dont les algèbres seraient les ∞-catégories faibles de Batanin
En fait, ce qu'on obtient à ce stade, ce sont les "infini-magma" (ou "pré-infini-catégories") : il n'y a pas nécessairement associativité
Systèmes de composition de Batanin
Opérations globulaires. Compositions et unités.
Contractibilité
Catégorie monoïdale C-ω0-Collp des ω0 collections pointées contractibles
Cellules de cohérence (contractions)
Catégorie C-ω0-Oper des ω0 opérades contractibles (en utilisant un résultat de Max Kelly)
Opérade de Batanin
Extension de la construction de Batanin aux n-transformations
Catégorie des infini-foncteurs stricts
Morphismes entre infini-foncteurs stricts
Foncteur d'oubli de la catégorie des infini-foncteurs stricts vers la catégorie Glob x Glob
[En réponse à une question] Ce foncteur d'oubli est adjoint à droite d'un foncteur "infinis foncteurs strictes libres"
C'est un foncteur monadique
Je parle de la stratégie générale de mon exposé :
La catégorie monoidale des C^{0}-collections pointés
La catégorie des monoides dans cette catégorie monoidale
est la catégorie des w0-opérades équipé d'un système de composition
C^{0} (On dis aussi que ces w0-opérades sont équipés d'un C^{0}-système)
La catégorie des C^{0}-collections pointés contractibles.
La catégorie des w0-opérades équipés d'un C^{0}-système et dont la
collection sous-jacente est contractible : L'opérade de Batanin B^{0} des infini-catégorie faible est le choix d'un objet initial de cette catégorie.
On étend ce que Batanin à fait pour les n-transformations faibles de la façon suivante :
Le produit cartésien (dans CAT) de la catégorie des ensembles
globulaire avec lui même est noté Glob^{2}
Remarque : C'est sur Glob^{2} que sont définis les monades associés aux opérades des n-transformations faibles.
On définis pour tous entiers n>0 :
Le système d'opérations C^{n} : C'est un span dans Glob^{2}
La catégorie monoidale des C^{n}-collections pointés
La catégorie des monoides dans cette catégorie monoidale
est la catégorie des wn-opérades équipés du système d'opérations
C^{n} (On dis aussi que ces wn-opérades sont équipés d'un C^{n}-système)
La catégorie des C^{n}-collections pointés contractibles.
La catégorie des wn-opérades équipés d'un C^{n}-système et dont la
collection sous-jacente est contractible : L'opérade B^{n} des n-transformations faible est le choix d'un objet initial de cette catégorie.
Remarque : B^{1} est l'opérade des infinis foncteurs faibles, B^{2} est l'opérade des
infinis transformations naturelles faibles, etc. Et toutes ces opérades définissent des
monades cartésiennes sur le produit cartésien (dans CAT) de la catégorie des ensembles
globulaire avec lui même, que l'on note Glob^{2}
L'opérade B^{0} de Batanin
La catégorie monoidale des w0-collections pointés
La catégorie des monoides dans cette catégorie monoidale est la catégorie des w0-opérades.
La catégorie des w0-opérades équipé d'un système de compositions C^{0}
On dit aussi que ces w0-opérades sont équipés d'un C^{0}-système
La catégorie des C^{0}-collections pointés contractibles.
La catégorie des w0-opérades contractibles et équipée d'un système de composition C^{0}
On dit aussi que ces w0-opérades sont équipés d'un C^{0}-système :l'opérade de Batanin B^{0} est le choix d'un objet initial dans cette catégorie.
Remarque préliminaire : C'est sur Glob^{2} que sont définis les monades associés aux opérades des n-transformations faibles.
L'opérade B^{1} des infini-foncteurs faibles
La catégorie monoidale des w1-collections pointées
La catégorie des monoides dans cette catégorie monoidale est la catégorie des w1-opérades.
La catégorie des w1-opérades équipée d'un système d'opérations C^{1}
On dit aussi que ces w1-opérades sont équipés d'un C^{1}-système
La catégorie des C^{0}-collections pointés contractibles.
La catégorie des w1-opérades contractibles, équipée d'un système d'opérations C^{1}
On dit aussi que ces w1-opérades sont équipés d'un C^{1}-système.
L'opérade B^{1} des infini-foncteurs faibles est le choix d'un objet initial dans cette catégorie.
L'opérade B^{2} des infini- transformations naturelles faibles
La catégorie monoidale des w2-collections pointés
La catégorie des monoides dans cette catégorie monoidale est la catégorie des w2-opérades.
La catégorie des w2-opérades équipé d'un système d'opérations C^{2}
On dit aussi que ces w2-opérades sont équipés d'un C^{2}-système
La catégorie des C^{2}-collections pointés contractibles.
La catégorie des w2-opérades contractibles et équipée d'un système d'opérations C^{2}
On dit aussi que ces w2-opérades sont équipés d'un C^{2}-système
L'opérade B^{2} des infini-transformations naturelles faibles est le choix d'un objet initial dans cette catégorie.
L'opérade B^{n} des infini-n-transformations faibles
La catégorie monoidale des wn-collections pointés
La catégorie des monoides dans cette catégorie monoidale est la catégorie des wn-opérades.
La catégorie des wn-opérades équipé d'un système d'opérations C^{n}
(On dit aussi que ces wn-opérades sont équipés d'un C^{n}-système)
La catégorie des C^{n}-collections pointés contractibles.
La catégorie des wn-opérades contractibles et équipée d'un système d'opérations C^{n}
(On dit aussi que ces wn-opérades sont équipés d'un C^{n}-système) :
L'opérade B^{n} des infinis n-transformations faibles est le choix d'un objet initial dans cette catégorie.
Conjecture de fractalité de l'opérade de Batanin : vers l'∞-catégorie faible des ∞-catégories faibles
Les objets coglobulaires algébriques d'opérades.
Les opérades fractales (rappels)
Rappel 1 : conditions pour qu'un objet co-globulaire soit algébrique.
Un objet coglobulaire W^{0}=>W^{1}=> ....=>W^{n} =>.... d'une catégorie \mathcal{C} ayant des pushouts est algèbrique si :
1) W^{0} est une w0-opérade
2) Il existe un morphisme d'opérade W^{0}--->Coend(W^{\bullet})
Rappel 2 : conditions pour qu'une w0-opérade W^{0} soit fractale.
Une w0-opérade W^{0} est fractale s'il existe un objet coglobulaire algèbrique A^{0}=>A^{1}=> ....=>A^{n} =>.... d'une catégorie \mathcal{C} ayant des pushouts tel que W^{0}=A^{0}
L'objet co-globulaire d'opérades des transformations supérieures faibles.
Construction de l'objet co-globulaire B^{0}=>B^{1}=> ....=>B^{n} =>....
Grace à B^0 et aux opérades B^{n} précédentes on arrive à construire un objet co-globulaire :
B^{0}=>B^{1}=> ....=>B^{n} =>....
Cette construction exhibe la partie globulaire de la probable infini catégorie faible des infinis catégories faibles
...=>Alg(B^{n})(0)=>...=>Alg(B^{1})(0)=>Alg(B^{0})(0)
L'opérade "violette"
On suppose que l'objet co-globulaire
B^{0}=>B^{1}=> ....=>B^{n} =>....
se trouve dans une sous-catégorie \mathcal{C} de la catégorie des monades Mnd, tel que
1) \mathcal{C} a des pullbacks
2) Ces pullbacks sont ceux de Mnd.
Alors la proposition 7.2 de l'article de Batanin (voir ci-après), permet d'associer à notre objet co-globulaire une w0-opérade de co-endomorphisme que l'on note
Coend(B^{\bullet})
et que nous appellerons "l'opérade violette".
La proposition 7.2 de l'article de Batanin
Rappel important : une conséquence importante de cette proposition est de dire que si
W^{0}=>W^{1}=> ....=>W^{n} =>....
est un objet coglobulaire d'une catégorie \mathcal{C} ayant des pushouts, alors on peut lui associer une w0-opérade
Coend(W^{\bullet}).
On a un résultat dual pour les objet globulaire et les w0-opérades d'endomorphismes.
Remarque topologique sur les opérades considérées
Batanin utilise cette proposition pour donner la première formulation précise de la conjecture de Grothendieck sur les types d'homotopies. Nous faisons à cette occasion une analogie entres l'objet coglobulaire topologique et notre objet coglobulaire d'opérades des transformations supérieurs faibles :
Nos opérades se comportent comme des objets topologiques basiques : D^{0}=>D^{1}=> ....=>D^{n} =>.... de Top, où les D^{n} sont les n-boules.
Conjecture principale : l'opérade B^0 de Batanin est fractale pour l'objet co-globulaire B^0=>B^1=> ....=>B^n =>....
Conjecture : B^{0}=>B^{1}=> ....=>B^{n} =>.... est algébrique
i.e. il existe un morphisme d'w0-opérades
B^{0}---->Coend(B^{\bullet}),
appelé aussi action de B^{0} sur Coend(B^{\bullet}).
Existence de l'infini-catégorie faible des infini-catégories faibles sous réserve de la conjecture principale
Si l'opérade B^{0} de Batanin est fractale pour l'objet coglobulaire B^{0}=>B^{1}=> ....=>B^{n} =>.... alors on a le diagramme
B^{0}--->Coend(B^{\bullet})--->End(Alg(W^{\bullet}))--->End(Alg(W^{\bullet})(0))
i.e une action
B^{0}---->End(Alg(B^{\bullet})(0))
de B^{0} sur End(Alg(B^{\bullet})(0)),
qui montre que l'objet globulaire
...=>Alg(B^{n})(0)=>...=>Alg(B^{1})(0)=>Alg(B^{0})(0)
de SET est une infini-catégorie faible au sens de Batanin :ce qui signifie que l'infini catégorie faible des infinis catégories faibles existe.
Remarque : Plusieurs exemples d'w0-opérades fractales sont décrites dans un article récemment accepté.
Categorie and algebraic structures and applications (.ir)
Exemples d'opérades fractales
L'opérade des ensembles globulaires réflexifs est fractale, mais aussi l'opérade des infini-magmas. Voir la référence ci-dessous.
Références
Operads of higher transformations for globular sets and for higher magmas, Categories and General Algebraic Structures with Applications, Volume 3, Issue 1, July 2015 (accès en ligne également à partir de la page http://www.cgasa.ir/volume_1599.html)
Sur l'importance des collections C^n pour le prolongement de l'opérade de Batanin à tout n
Les opérades de Kachour vues comme prolongement de l'opérade B^0 de Batanin
Pour B^0, l'opérade des infinis-catégories faibles, Batanin utilise une collection pointée spécifique C^0
C^0 est appelé "système de composition".
B^1, opérade des infini-foncteurs faibles, grâce à C^1
B^2, des infini-transformations naturelles faibles, grâce à C^2
B^n, opérade des infini-n-transformations faibles, grâce à C^n, pour tout n,
Les C^n sont les systèmes d'opérations pour les n-transformations.
Remarque : Les C^{n} permettent aussi de générer les opérades des n-transformations strictes, ceci pour tous n>0, etc.
La compréhension de la combinatoire des C^{n} permet d'avoir une bonne compréhension des calculs possibles que l'on peux faire avec les B^{n}.
Ainsi, les collections C^n sont ce qu'il y a de plus important à comprendre pour suivre la construction de Kachour
Page 16 Chapitre 3
La descriptions des wn-collections pointés C^{n} met en évidence un objet co-globulaire C^{0}=>C^{1}=> ....=>C^{n} =>....
Celui-ci donne déjà un premier "parfum" de ce qu'est l'objet co-globulaire "généré" des opérades pour les transformations faibles :
B^{0}=>B^{1}=> ....=>B^{n} =>....
Description des wn-collections pointés C^n
Il faut comprendre la description de la donnée de couples (C^{n}_{0},C^{n}_{1}) de Glob^{2}puis des arités et des coarités des divers opérations décritent comme cellules de ces ensembles globulaires.
On a toujours C^{n}_{0} qui est en faite essentiellement comme le système de composition C^{0} de Batanin : Ce sont les ensembles globulaires C^{n}_{1} qui méritent plus d'attention.
On commence par décrire C^{1}_{1} qui sera utilisé pour généré l'opérade des infinis foncteurs faibles, et donne une première idée des combinatoires des C^{n}.
Ce sont les arités des divers opérations décritent qui permettront de fabriquer la bonne contractibilité des différentes opérades B^{n} : Les aritésdes opérations dans les C^{n}_{1} sont cruciales pour la suite de se travail.
On décrit la w2-collections pointés C^{2} qui vas générer l'opérade B^{2} des infinis transformations naturelles faibles. En particuliernous décrivons l'ensemble globulaire d'opérations C^{2}_{1} en mettant l'accent sur l'opération \tau.
Il est important de noter que d'autres arités ont été considérés pour des travaux précédents, et qui se sont révélés également interéssantes, maispour des structures supérieures plus simples que celles des n-transformations faibles.
Dimension des B^n-algèbres
B^1-algèbres et B^2-algèbres de dimension 2
Proposition 1 : Les B^{1}-algèbres de dimensions 2 sont des pseudo-2-foncteurs.
Proposition 2 : Les B^{2}-algèbres de dimensions 2 sont des pseudo-2-transformations naturelles
Un calcul dans l'opérade B^2
Nous décrivons une cellule de cohérence dans l'opérade B^{2} qui est importante pour montrer la proposition 2.
On voit ici les calculs que permettent nos opérades
Et cela au contraire des autres approches simpliciales des catégories supérieures
Cela vient de ce que les cohérences de nos opérades sont explicites, ce qui n'est pas le cas pour les approches simpliciales.
Questions
Contractibilités et infinis-groupoides faibles
Homotopie abstraite
Importance des systèmes d'opérations C^n
Les premières opèrades de transformations faibles introduites par l'auteur (2011, Cahiers) ont une contractibilités trop riche : Les B^{n}-algèbres
sont bien des n-transformations faibles, mais sont trop particulières : En 2012 André Joyal m'exhibe un exemple trivial de transformation naturelle qui ne
peux pas ètre une B^{2}-algèbre. Une seconde notion de contractibilités avait été proposé, mais un contre exemple de Penon en 2013 a montré que les B^{n}-algèbres
obtenues ne peuvent pas ètres des n-transformations faibles. Les B^{n}-algèbres de notre exposés sont optimales, dans le sens que les cohérences sont controlés par le stricte : Les cohérences des opérades B^{n} sont controlés par les opérades wn. Cependant il est important pour nous de dire que toutes ces difficultés tournaient autours de notions de contractibilités, mais que les systèmes d'opérations C^{n} trouvé par l'auteur en 2008, contiennent la combinatoire des n-transformations, et de se fait ont toujours été le fil d'Ariane de notre quête de l'infini catégorie faible globulaire des infini-catégories faibles globulaires.
Références
C. Kachour
Aspects of globular higher category theory, Ph.D thesis, Macquarie University, Sydney, November 2013. Supervisors: Michael Batanin and Ross Street.
Operadic Definition of the Non-strict Cells, Cahiers de Topologie et de Géométrie Différentielle Catégorique (2011), volume 4, pages 1–48.
Deux articles publiés dans la revue iranienne Categories and General Algebraic Structures with Applications
Et deux autres à paraître prochainement :
Examples of Fractal ω-Operads, Categories and General Algebraic Structures with Applications (2015).
Steps toward the weak ω-category of the weak ω-categories in the globular setting, Categories and General Algebraic Structures with Applications (2015).
Publications de Camell Kachour sur Research Gate
Publications de Camell Kachour sur ArXiV
Liste d'exposés donnés par Camell Kachour à l'Australian Category Seminar
M. Batanin
T. Leinster
J. Penon
nLab
