Cours (4) du 21 janvier 2013: équivalences de Morita, par O. Caramello
prise de vue : J.P. Laffineur
montage : S. Dugowson
Decks of ‘bridges’: Morita‐equivalences
Introduction to the notion of Morita‐equivalence between mathematical theories: methods for establishing and generating Morita‐equivalences, the topological interpretation of Morita‐equivalences in terms of different sites of definition for the same topos, the link with biinterpretability, Morita‐equivalence for rings, topological groups and small categories.
La méthode générale des ponts
Rappels
Les deux ingrédients principaux de la méthode : les invariants et les E.d.M. (équivalences de Morita)
Les propriétés concrètes comme incarnations de propriétés plus abstraites
Exemple : De Morgan. Espaces totalement déconnectés.
Remarque : des ponts sont possibles même sans équivalence.
Sur la profondeur mathématique des résultats obtenus
Des démonstrations optimales.
E.d.M. = Equivalences de Morita
Rappel sur E.d.M.
Travailler dans les topos, donc avec leur logique
Travailler dans les topos, donc avec des constructions géométriques
Calcul du topos classifiants pour la théorie des objets décidables
Hom interne, éléments généralisés. Set est un topos de Grothendieck final.
Précisions sur les constructions géométriques.
bi-interprétabilité(s) => E.d.M. (et la réciproque est fausse, heureusement).
E.d.M. est une sorte de bi-interprétabilité faible.
Gros mouvements de camera à 1'50'', c'est très gênant. Demander à Olivia si on peut refilmer cette partie du cours.
E.d.M. entre structures algébriques (anneaux, semi-groupes, groupes topologiques, etc...)
Quelques mouvements de camera gênants. Demander à Olivia si on peut refilmer cette partie du cours.
référence à :
Jonathon Funk, Mark Lawson, Benjamin Steinberg : "Characterizations of Morita equivalent inverse semigroups"
http://arxiv.org/abs/0906.0855
Dualité et E.d.M.. Exemple : dualité de Stone.
Verbatim
"La théorie des topos est une méta-théorie de la dualité mathématique"
Lien entre constructions de structures mathématiques et E.d.M. Exemple : spectre de Zariski d'un anneau commutatif unitaire.
Quelques mouvements de camera gênants. Demander à Olivia si on peut refilmer cette partie du cours.
Technique des ponts au sein d'une théorie mathématique donnée : "dynamisme interne" => une infinité de E.d.M.. Par exemple... la théorie des topos de Grothendieck !
Une notion centrale
La notion d'équivalence de Morita est plus centrale en mathématique qu'on aurait pu le penser...