Cours (3) du 17 janvier 2013 : Construction des ponts, par O. Caramello
Prise de vue et montage : S. Dugowson
The ‘bridge‐building’ method
General explanation of the view of toposes as unifying spaces yielding ‘bridges’ between distinct mathematical theories: remarks on the existence of different sites of definition for a given topos and its logical interpretation, analysis of the representation theory of Grothendieck toposes and the problem of finding ‘elementary’ site characterizations for topos‐theoretic invariants.
Le problème qui sera traité aujourd'hui
Le problème qui sera traité aujourd'hui
Rappel sur le topos classifiant d'une théorie géométrique
Rappel sur le topos classifiant d'une théorie géométrique
Tout topos est-il classifiant ? Oui... et heureusement sans canonicité.
Tout topos est-il classifiant ? Oui... et heureusement sans canonicité.
Construction d'une théorie géométrique de topos classifiant donné.
Construction d'une théorie géométrique de topos classifiant donné.
L'idée pour aller du site à la théorie : les foncteurs plats.
L'idée pour aller du site à la théorie : les foncteurs plats.
Signature et foncteur
Signature et foncteur
Rappel : foncteurs plats ensemblistes
Rappel : foncteurs plats ensemblistes
Foncteurs plats toposiques.
Foncteurs plats toposiques.
Formulation logique : schémas d'axiomes pour la théorie des foncteurs plats J-continus.
Formulation logique : schémas d'axiomes pour la théorie des foncteurs plats J-continus.
Non-canonicité
Non-canonicité
Critère d'équivalence des catégories de modèles dans tout topos. Bi-interprétabilité faible.
Critère d'équivalence des catégories de modèles dans tout topos. Bi-interprétabilité faible.
La question est de savoir dans quel cas deux théories admettent le même topos classifiant.
La partie centrale d'un pont : une équivalence de Morita
La partie centrale d'un pont : une équivalence de Morita
Définition de l'équivalence de Morita. "Travailler avec les sites".
Définition de l'équivalence de Morita. "Travailler avec les sites".
Remarque : un topos est une logique géometrique modulo la Morita-équivalence
Remarque : un topos est une logique géometrique modulo la Morita-équivalence
Technique : transfert d'invariants toposiques. Remarque sur la traduction.
Technique : transfert d'invariants toposiques. Remarque sur la traduction.
Exemple : "être booléen".
Exemple : "être booléen".
"Toute la dynamique est là !"
"Toute la dynamique est là !"
Théories de type préfaisceaux
Théories de type préfaisceaux
Objets finiment présentables.
Objets finiment présentables.
Théorème : Ind et complétion de Cauchy. Foncteurs sur les modèles finiment présentables.
Théorème : Ind et complétion de Cauchy. Foncteurs sur les modèles finiment présentables.
Sémantique/Syntaxe. Modèles présentés par une formule. Objets irréductibles.
Sémantique/Syntaxe. Modèles présentés par une formule. Objets irréductibles.
Théorème de définissabilité
Théorème de définissabilité
Conclusion : de la magie ?
Conclusion : de la magie ?