Difféologie symplectique, par Patrick Iglesias-Zemmour (15 avril 2015)

P. Iglesias-Zemmour et S. Dugowson à la bibliothèque de l'Institut Henri Poincaré, 

lors d'une interview réalisée par Laurence Honnorat le 15 avril 2015 (photo : L. Honnorat).

Espaces symplectiques

Définition d'une variété symplectique

Lagrange faisant varier les constantes kepleriennes, origine de la géométrie symplectique

Articles de Lagrange 1808, 1809 et 1810

Références : voir les articles suivants de Patrick I-Z :

Les calculs de mécanique céleste conduisant aux parenthèses de Lagrange

Remarque

Théorème de Lagrange : les parenthèses de Lagrange (a,b) (a,c) etc. ne dépendent que de a, b, c, h, i et k. 

Le théorème de Darboux : en dimension paire donnée, toutes les structures symplectiques sont localement symplectomorphes

Exemples de variétés symplectiques

Fibrés cotangents

Orbites co-adjointes (upps)

Tores

Le calcul symplectique doit être élargi au-delà du cadre des variétés

Il y a par exemple des espaces fonctionnels ressemblant à des espaces symplectiques mais qui ne sont pas des variétés

Difféologie

Un cadre minimal pour le calcul différentiel et symplectique

Définition des espaces difféologiques

Les variétés sont un exemple d'espaces difféologiques

Discussion sur les degrés de régularité : C^infini et C^k

Une remarque à propos de Jean-Marie Souriau

Des motivations conceptuelles plutôt que techniques

La catégorie des espaces diffeologiques est cartésienne fermée

Difféologie sur l'ensemble des parties d'un espace difféologique

Difféologie quotient par une relation d'équivalence

Fibration de Hopf

Enroulements irrationnels sur le tore de dimension 2 (avec Paul Donato)

Condition pour que deux espaces quotients de ce type soient difféomorphes : que les pentes soient conjuguées modulo GL(2,Z).

Sur ce dernier exemple, on voit que la difféologie a capturé toute l'essence du quotient

Diffeology, par Patrick Iglesias-Zemmour, AMS, 2013.

Remarque historique

Des groupes différentiels de Jean-Marie Souriau aux espaces différentiels, appelés ensuite espaces difféologiques.

Formes différentielles sur un espace diffeologique

Définition

Différentielle extérieure, formes exactes, formes fermées

Difféologies parasymplectiques & présymplectiques

Formes parasymplectiques sur un espace difféologique : 2-formes fermées

Parmi les formes parasymplectiques, on distinguera en particulier les formes pré-symplectiques et les formes symplectiques

Formes pré-symplectiques

Dans le cadre des variétés ordinaires : la dimension du noyau de la 2-forme est constante

Distribution intégrable au sens de Frobenius

Forme standard du feuilletage

Théorème de Darboux présymplectique

Transitivité du pseudo-groupe des difféomorphismes locaux

Définition des formes pré-symplectiques sur un espace difféologique

La noyau est de dimension constante

Difféologie symplectique

Comment définir les formes symplectiques sur un espace difféologique ?

L'idée : utiliser l'application moment pour définir les formes symplectiques dans le cadre difféologique

(Plus précisément, nous allons utiliser l'application moment universelle)

Nous devons donc commencer par définir l'application moment associée à l'action d'un groupe difféologique agissant sur un espace difféologique parasymplectique X

(1) Cas (très) particulier où la forme parasymplectique sur X est exacte, avec une primitive invariante sous l'action de G

Application orbite de G dans X

Obtention d'une 1-forme sur G invariante à gauche

Définition de l'espace des moments d'un groupe difféologique

Espace des 1-formes invariantes à gauche du groupe difféologique G

On l'appelle l'espace des moments associé à G

Remarque sur cet espace des moments

Cet espace généralise au cadre difféologique le dual de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie G mais sans s'appuyer sur une généralisation de l'algèbre de Lie elle-même, car définir une telle algèbre n'est pas dans l'esprit de la difféologie : ce serait un objet contravariant (champ de vecteurs sur G), or les objets contravariants ne trouvent pas toujours de définition canonique en difféologie.

(1) (suite) dans ce cas particulier, on a ainsi défini l'application moment

Cette application moment décrit la façon dont la 2-forme considérée se comporte sur les orbites

(2) Cas général : on se ramène à l'action de G sur les chemins de X

Formes sur l'espace des chemins et opérateur Chaîne-Homotopie

Obtention d'une 2-forme exacte sur l'espace des chemins, de primitive invariante sous l'action de G : on est ramené au cas (1)

Définition de l'application moment (en supposant l'espace X connexe) pour l'action de G sur X

Application moment universelle

Avec (1) et (2), on a défini l'application moment associée à l'action parasymplectique d'un groupe difféologique G

En prenant pour G le groupe difféologique de tous les difféomorphismes préservant la forme parasymplectique, on obtient l'application moment universelle

Remarque : G n'est pas un groupe de Lie 

On lit des caractéristiques physique dans l'application moment universelle : obstructions à être hamiltonien, à être équivariant, etc...

Caractérisation par le moment universel des formes symplectiques dans le cas des variétés

Théorème (Iglesias-Zemmour) : une forme pré-symplectique est symplectique ssi l'application moment universelle est injective.

Définition par le moment universel des formes symplectiques sur un espace difféologique

Définition : une 2-forme sur un espace difféologique est symplectique si elle est pré-symplectique et si le moment universel a ses pré-valeurs discrètes