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Une conférence donnée au séminaire CLE
Prise de vue et mise en page : S. Dugowson
P. Iglesias-Zemmour et S. Dugowson à la bibliothèque de l'Institut Henri Poincaré,
lors d'une interview réalisée par Laurence Honnorat le 15 avril 2015 (photo : L. Honnorat).
Espaces symplectiques
Espaces symplectiques
Définition d'une variété symplectique
Définition d'une variété symplectique
Lagrange faisant varier les constantes kepleriennes, origine de la géométrie symplectique
Lagrange faisant varier les constantes kepleriennes, origine de la géométrie symplectique
Articles de Lagrange 1808, 1809 et 1810
Articles de Lagrange 1808, 1809 et 1810
Références : voir les articles suivants de Patrick I-Z :
Les origines du calcul symplectique chez Lagrange, L'enseignement Mathématique (44) 1998; 1:257-277.
Les calculs de mécanique céleste conduisant aux parenthèses de Lagrange
Remarque
Théorème de Lagrange : les parenthèses de Lagrange (a,b) (a,c) etc. ne dépendent que de a, b, c, h, i et k.
Le théorème de Darboux : en dimension paire donnée, toutes les structures symplectiques sont localement symplectomorphes
Le théorème de Darboux : en dimension paire donnée, toutes les structures symplectiques sont localement symplectomorphes
Exemples de variétés symplectiques
Exemples de variétés symplectiques
Fibrés cotangents
Orbites co-adjointes (upps)
Tores
Le calcul symplectique doit être élargi au-delà du cadre des variétés
Le calcul symplectique doit être élargi au-delà du cadre des variétés
Il y a par exemple des espaces fonctionnels ressemblant à des espaces symplectiques mais qui ne sont pas des variétés
Difféologie
Difféologie
Un cadre minimal pour le calcul différentiel et symplectique
Un cadre minimal pour le calcul différentiel et symplectique
Définition des espaces difféologiques
Définition des espaces difféologiques
Les variétés sont un exemple d'espaces difféologiques
Les variétés sont un exemple d'espaces difféologiques
Discussion sur les degrés de régularité : C^infini et C^k
Discussion sur les degrés de régularité : C^infini et C^k
Une remarque à propos de Jean-Marie Souriau
Une remarque à propos de Jean-Marie Souriau
Des motivations conceptuelles plutôt que techniques
La catégorie des espaces diffeologiques est cartésienne fermée
La catégorie des espaces diffeologiques est cartésienne fermée
Difféologie sur l'ensemble des parties d'un espace difféologique
Difféologie sur l'ensemble des parties d'un espace difféologique
Difféologie quotient par une relation d'équivalence
Difféologie quotient par une relation d'équivalence
Fibration de Hopf
Enroulements irrationnels sur le tore de dimension 2 (avec Paul Donato)
Condition pour que deux espaces quotients de ce type soient difféomorphes : que les pentes soient conjuguées modulo GL(2,Z).
Sur ce dernier exemple, on voit que la difféologie a capturé toute l'essence du quotient
Diffeology, par Patrick Iglesias-Zemmour, AMS, 2013.
Remarque historique
Remarque historique
Des groupes différentiels de Jean-Marie Souriau aux espaces différentiels, appelés ensuite espaces difféologiques.
Formes différentielles sur un espace diffeologique
Formes différentielles sur un espace diffeologique
Définition
Différentielle extérieure, formes exactes, formes fermées
Difféologies parasymplectiques & présymplectiques
Difféologies parasymplectiques & présymplectiques
Formes parasymplectiques sur un espace difféologique : 2-formes fermées
Formes parasymplectiques sur un espace difféologique : 2-formes fermées
Parmi les formes parasymplectiques, on distinguera en particulier les formes pré-symplectiques et les formes symplectiques
Formes pré-symplectiques
Formes pré-symplectiques
Dans le cadre des variétés ordinaires : la dimension du noyau de la 2-forme est constante
Distribution intégrable au sens de Frobenius
Forme standard du feuilletage
Théorème de Darboux présymplectique
Transitivité du pseudo-groupe des difféomorphismes locaux
Définition des formes pré-symplectiques sur un espace difféologique
La noyau est de dimension constante
Difféologie symplectique
Difféologie symplectique
Comment définir les formes symplectiques sur un espace difféologique ?
Comment définir les formes symplectiques sur un espace difféologique ?
L'idée : utiliser l'application moment pour définir les formes symplectiques dans le cadre difféologique
(Plus précisément, nous allons utiliser l'application moment universelle)
Nous devons donc commencer par définir l'application moment associée à l'action d'un groupe difféologique agissant sur un espace difféologique parasymplectique X
(1) Cas (très) particulier où la forme parasymplectique sur X est exacte, avec une primitive invariante sous l'action de G
(1) Cas (très) particulier où la forme parasymplectique sur X est exacte, avec une primitive invariante sous l'action de G
Application orbite de G dans X
Obtention d'une 1-forme sur G invariante à gauche
Définition de l'espace des moments d'un groupe difféologique
Définition de l'espace des moments d'un groupe difféologique
Espace des 1-formes invariantes à gauche du groupe difféologique G
On l'appelle l'espace des moments associé à G
Remarque sur cet espace des moments
Cet espace généralise au cadre difféologique le dual de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie G mais sans s'appuyer sur une généralisation de l'algèbre de Lie elle-même, car définir une telle algèbre n'est pas dans l'esprit de la difféologie : ce serait un objet contravariant (champ de vecteurs sur G), or les objets contravariants ne trouvent pas toujours de définition canonique en difféologie.
(1) (suite) dans ce cas particulier, on a ainsi défini l'application moment
(1) (suite) dans ce cas particulier, on a ainsi défini l'application moment
Cette application moment décrit la façon dont la 2-forme considérée se comporte sur les orbites
(2) Cas général : on se ramène à l'action de G sur les chemins de X
(2) Cas général : on se ramène à l'action de G sur les chemins de X
Formes sur l'espace des chemins et opérateur Chaîne-Homotopie
Obtention d'une 2-forme exacte sur l'espace des chemins, de primitive invariante sous l'action de G : on est ramené au cas (1)
Définition de l'application moment (en supposant l'espace X connexe) pour l'action de G sur X
Application moment universelle
Application moment universelle
Avec (1) et (2), on a défini l'application moment associée à l'action parasymplectique d'un groupe difféologique G
En prenant pour G le groupe difféologique de tous les difféomorphismes préservant la forme parasymplectique, on obtient l'application moment universelle
Remarque : G n'est pas un groupe de Lie
On lit des caractéristiques physique dans l'application moment universelle : obstructions à être hamiltonien, à être équivariant, etc...
Caractérisation par le moment universel des formes symplectiques dans le cas des variétés
Caractérisation par le moment universel des formes symplectiques dans le cas des variétés
Théorème (Iglesias-Zemmour) : une forme pré-symplectique est symplectique ssi l'application moment universelle est injective.
Définition par le moment universel des formes symplectiques sur un espace difféologique
Définition par le moment universel des formes symplectiques sur un espace difféologique
Définition : une 2-forme sur un espace difféologique est symplectique si elle est pré-symplectique et si le moment universel a ses pré-valeurs discrètes
Références
Références
De Patrick Iglesias-Zemmour :
§ voir en particulier, le chapitre 9 : "Symplectic diffeology"
Les origines du calcul symplectique chez Lagrange, L'enseignement Mathématique (44) 1998; 1:257-277.
"Lagrange et Poisson, sur la variation des constantes" in : Siméon-Denis Poisson, Les mathématiques au service de la science, Editions de l'Ecole Polytechnique, 2013.
à paraître :
Autres documents sur le site internet de P. I-Z: http://math.huji.ac.il/~piz
Table des matières détaillée
Table des matières détaillée
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