Une conférence donnée au séminaire CLE
Prise de vue et mise en page : S. Dugowson
P. Iglesias-Zemmour et S. Dugowson à la bibliothèque de l'Institut Henri Poincaré,
lors d'une interview réalisée par Laurence Honnorat le 15 avril 2015 (photo : L. Honnorat).
Références : voir les articles suivants de Patrick I-Z :
Les origines du calcul symplectique chez Lagrange, L'enseignement Mathématique (44) 1998; 1:257-277.
Les calculs de mécanique céleste conduisant aux parenthèses de Lagrange
Remarque
Théorème de Lagrange : les parenthèses de Lagrange (a,b) (a,c) etc. ne dépendent que de a, b, c, h, i et k.
Fibrés cotangents
Orbites co-adjointes (upps)
Tores
Il y a par exemple des espaces fonctionnels ressemblant à des espaces symplectiques mais qui ne sont pas des variétés
Des motivations conceptuelles plutôt que techniques
Fibration de Hopf
Enroulements irrationnels sur le tore de dimension 2 (avec Paul Donato)
Condition pour que deux espaces quotients de ce type soient difféomorphes : que les pentes soient conjuguées modulo GL(2,Z).
Sur ce dernier exemple, on voit que la difféologie a capturé toute l'essence du quotient
Diffeology, par Patrick Iglesias-Zemmour, AMS, 2013.
Des groupes différentiels de Jean-Marie Souriau aux espaces différentiels, appelés ensuite espaces difféologiques.
Définition
Différentielle extérieure, formes exactes, formes fermées
Parmi les formes parasymplectiques, on distinguera en particulier les formes pré-symplectiques et les formes symplectiques
Dans le cadre des variétés ordinaires : la dimension du noyau de la 2-forme est constante
Distribution intégrable au sens de Frobenius
Forme standard du feuilletage
Théorème de Darboux présymplectique
Transitivité du pseudo-groupe des difféomorphismes locaux
Définition des formes pré-symplectiques sur un espace difféologique
La noyau est de dimension constante
L'idée : utiliser l'application moment pour définir les formes symplectiques dans le cadre difféologique
(Plus précisément, nous allons utiliser l'application moment universelle)
Nous devons donc commencer par définir l'application moment associée à l'action d'un groupe difféologique agissant sur un espace difféologique parasymplectique X
Application orbite de G dans X
Obtention d'une 1-forme sur G invariante à gauche
Espace des 1-formes invariantes à gauche du groupe difféologique G
On l'appelle l'espace des moments associé à G
Remarque sur cet espace des moments
Cet espace généralise au cadre difféologique le dual de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie G mais sans s'appuyer sur une généralisation de l'algèbre de Lie elle-même, car définir une telle algèbre n'est pas dans l'esprit de la difféologie : ce serait un objet contravariant (champ de vecteurs sur G), or les objets contravariants ne trouvent pas toujours de définition canonique en difféologie.
Cette application moment décrit la façon dont la 2-forme considérée se comporte sur les orbites
Formes sur l'espace des chemins et opérateur Chaîne-Homotopie
Obtention d'une 2-forme exacte sur l'espace des chemins, de primitive invariante sous l'action de G : on est ramené au cas (1)
Définition de l'application moment (en supposant l'espace X connexe) pour l'action de G sur X
Avec (1) et (2), on a défini l'application moment associée à l'action parasymplectique d'un groupe difféologique G
En prenant pour G le groupe difféologique de tous les difféomorphismes préservant la forme parasymplectique, on obtient l'application moment universelle
Remarque : G n'est pas un groupe de Lie
On lit des caractéristiques physique dans l'application moment universelle : obstructions à être hamiltonien, à être équivariant, etc...
Théorème (Iglesias-Zemmour) : une forme pré-symplectique est symplectique ssi l'application moment universelle est injective.
Définition : une 2-forme sur un espace difféologique est symplectique si elle est pré-symplectique et si le moment universel a ses pré-valeurs discrètes
De Patrick Iglesias-Zemmour :
§ voir en particulier, le chapitre 9 : "Symplectic diffeology"
Les origines du calcul symplectique chez Lagrange, L'enseignement Mathématique (44) 1998; 1:257-277.
"Lagrange et Poisson, sur la variation des constantes" in : Siméon-Denis Poisson, Les mathématiques au service de la science, Editions de l'Ecole Polytechnique, 2013.
à paraître :
Autres documents sur le site internet de P. I-Z: http://math.huji.ac.il/~piz