Topos associé à un espace connectif, par S. Dugowson (7 décembre 2016)

Cet exposé n'a finalement pas été filmé.

Stéphane Dugowson est maître de conférence

au laboratoire Quartz / Institut Polytechnique Grand Paris - Supméca.

Résumé

Après quelques rappels sur la notion, encore relativement peu connue, d'espace connectif, nous définissons les cribles couvrants sur les connexes d'un tel espace auquel se trouve ainsi associé un topos de Grothendieck. Nous donnons ensuite quelques exemples très simples de tels espaces, en précisant à chaque fois le topos associé. Pour chacun de ces exemples, nous remarquons également l'existence d'un espace topologique "Morita équivalent". En particulier, nous définissons l'espace topologique borroméen comme l'espace topologique (sobre) dont le topos est équivalent à celui de l'espace connectif borroméen.

S. D.

Rappels sur les espaces connectifs

Définitions

Espaces connectifs, espaces connectifs intègres

Morphismes connectifs

Exemple : l'espace borroméen et la fractale de Newton

Les structures connectives vues comme petites catégories

Structure connective induite sur une partie

Structure connective engendrée par un ensemble de parties

Connexes irréductibles

Cribles dans une structure connective

Image réciproque d'un crible

Site associé à un espace connectif

Cribles couvrants

Cas des connexes irréductibles

Topologie de Grothendieck sur la structure d'un espace connectif

Topos des faisceaux sur un espace connectif

Limite projective d'un préfaisceau sur un ensemble de connexes, et notamment sur (le domaine d') un crible

Equivalence de Morita

Exemples

L'espace vide, l'espace réduit à un point non connexe

L'espace réduit à un point connexe

Un point connexe et un point non connexe connectés

Deux points connexes connectés

Espace connectif borroméen

Espace topologique borroméen

Retour sur la fractale de Newton

Références

S. Dugowson, Définition du topos d'un espace connectif, octobre 2016 <hal-01381304>

Table des matières détaillée