Topos associé à un espace connectif, par S. Dugowson (7 décembre 2016)
Cet exposé n'a finalement pas été filmé.
Stéphane Dugowson est maître de conférence
au laboratoire Quartz / Institut Polytechnique Grand Paris - Supméca.
Résumé
Après quelques rappels sur la notion, encore relativement peu connue, d'espace connectif, nous définissons les cribles couvrants sur les connexes d'un tel espace auquel se trouve ainsi associé un topos de Grothendieck. Nous donnons ensuite quelques exemples très simples de tels espaces, en précisant à chaque fois le topos associé. Pour chacun de ces exemples, nous remarquons également l'existence d'un espace topologique "Morita équivalent". En particulier, nous définissons l'espace topologique borroméen comme l'espace topologique (sobre) dont le topos est équivalent à celui de l'espace connectif borroméen.
S. D.
Rappels sur les espaces connectifs
Définitions
Espaces connectifs, espaces connectifs intègres
Morphismes connectifs
Exemple : l'espace borroméen et la fractale de Newton
Les structures connectives vues comme petites catégories
Structure connective induite sur une partie
Structure connective engendrée par un ensemble de parties
Connexes irréductibles
Cribles dans une structure connective
Image réciproque d'un crible
Site associé à un espace connectif
Cribles couvrants
Cas des connexes irréductibles
Topologie de Grothendieck sur la structure d'un espace connectif
Topos des faisceaux sur un espace connectif
Limite projective d'un préfaisceau sur un ensemble de connexes, et notamment sur (le domaine d') un crible
Equivalence de Morita
Exemples
L'espace vide, l'espace réduit à un point non connexe
L'espace réduit à un point connexe
Un point connexe et un point non connexe connectés
Deux points connexes connectés
Espace connectif borroméen
Espace topologique borroméen
Retour sur la fractale de Newton