Prise de vue et mise en page : S. Dugowson
Des réticences tant mathématiques que philosophiques
Ces réticences ont orienté J. Bénabou vers les catégories
Une lecture du volume de topologie de Bourbaki
Cours d'Ehresmann sur les locales
Puis rencontre des topos de Grothendieck, qui généralisent les catégories de faisceaux sur les locales
Les espaces sans points ont conforté J. Bénabou dans l'idée que toutes les mathématiques ne devaient pas nécessairement être fondées sur la théorie des ensembles
Durant 60 ans, la question de remplacer les ensembles aura été une question centrale pour J. Bénabou
Quel morceau de la théorie des ensembles sert réellement dans tel ou tel chapitre des catégories ?
Une notion attribuée à Eilenberg et Kelly
Samuel Eilenberg & G. Max Kelly : Closed Categories, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (1966), pp 421-562
Mais conçue et publiée antérieurement par Bénabou, auquel Eilenberg et Kelly font référence
Bénabou, J Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 (1965): pp. 3824-3827
L'idée : généraliser les catégories localement petites au cas où le "hom" est un objet d'une catégorie monoïdale
Ainsi, on devrait souhaiter se passer des "Univers" introduits par Grothendieck
Contrairement à l'intuition ensembliste qu'un sous-objet d'un objet petit est lui-même petit...
Une sous-catégorie d'une catégorie localement finie au sens de Kuratowski n'est pas n'est pas nécessairement localement finie
Les foncteurs apparaissant alors comme des "petits" distributeurs
Terminologie (1966) : "profoncteurs", puis "distributeurs"
Une notion due à Grothendieck et qui devrait être dans tous les ouvrages sérieux de catégories (et qui n'est dans aucun) !
On peut voir un morphisme représentable comme une famille de "petits" préfaisceaux indexée par un "grand" préfaisceau
Remarque : "quand les définitions sont bonnes, on peut démontrer des choses"
Espaces des sous-espaces compacts d'un espace topologique
Une propriété soit-disant merveilleuse de la catégorie des ensembles... qui est une tautologie !
Les ensembles ont cette propriété mirifique uniquement parce qu'on les compare à eux-mêmes
Sur ce sujet, voir aussi cette conférence donnée à l'ENS dans le cadre du séminaire Mamuphi :
Le très, le presque et autres articulations logiques du langage, par Jean Bénabou (4 avril 2015)
fibrer, toposer, enrichir, etc... infini-catégories, etc...
Regarder la physique, etc... mais aussi le langage humain
Catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci., Paris, 256, (1963)
Algèbre élémentaire dans les catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci., Paris, 258, (1964)
Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 (1965): pp. 3824-3827
Introduction to bicategories. In : Reports of the Midwest Category Seminar. Springer Berlin Heidelberg, 1967. p. 1-77.
Les distributeurs. Rapport n°33 du Séminaire de Mathématiques Pures, Université Catholique de Louvain, 1973.
Théories relatives à un corpus, C.R. Acad. Sci., Paris, 281, (1975)
Fibrations petites et localement petites, CR Acad. Sci., Paris, 281 (1975): A897-900.
Fibred Categories and the foundations of naive category theory, J. Symbolic Logic 50 (1985), p. 10-37
(cet article "Fibred categories...." a été dédié par Jean Bénabou à Grothendieck, avec l'accord de celui-ci)
Distributors at work. Lecture notes written by Thomas Streicher, 2000.
Locally small Cartesian functors. Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 46, No. 3, 177-179 (2005)
Closed Categories, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (1966), pp 421-562