Prise de vue, montage et mise en ligne : Stéphane Dugowson
Ce que Jean Bénabou appelle "langage" est universel et se manifeste, d'ailleurs plus ou moins bien, à travers les langues naturelles.
Une des fonctions majeures du langage est qu'il permet "l'argumentation", le "raisonnement", la "logique".
Traditionnellement la logique étudie les relations entre les connecteurs, en Français: "et", "ou", et "si ... alors" et les quantificateurs "quelque" et "tous", qui sont des "articulations" fondamentales du langage. Dans cet exposé je tacherai d'en dégager quelques autres notamment celles qui, en Français, s'expriment par "très", "presque", "beaucoup", et quelques autres si j'ai le temps.
Il porte sur des adjectifs, des adverbes et autres
Itération du "très" : insuffisance du modèle ensembliste.
Appel aux topos avec des entiers naturels non bien ordonnés ? C'est encore trop !
Appel aux topos sans objet des entiers naturels
L'article de référence "Orbits and monoids in a topos" aurait pu s'appeler : quelques facettes du "et caetera"
"Et caetera" sans l'objet des entiers naturels
La notion d'orbite (d'un élément d'un objet muni d'un endomorphisme)
Rappel sur la définition de Lawvere de l'objet des entiers naturels dans un topos.
La récurrence, axiome le plus important de Peano
Proposition : toute orbite est un monoide commutatif.
Il y a différents "etc."
Opérations d'ajout d'un élément.
Propriété des opérations d'ajout d'un élément.
On peut maintenant donner un sens au fait que le "très" a des orbites finies
Théorème : toute orbite cyclique est finie.
Théorème : une orbite est finie si et seulement si elle contient un cycle.
Intervalles finis et topos booléen.
Rappel : le topos des préfaisceaux sur C est booléen si C est un groupoide.
Définition
L(X) domine toutes les orbites de t.
Théorème : L(X) est un sous monoïde commutatif de X^X.
Bien entendu, L(X) ne vérifie pas en général les axiomes de Lawvere pour l'objet des entiers naturels.
De même que la physique inspire des mathématiques, le langage peut également inspirer le langage