Résumé.

Dans sa version simple, l’énoncé du théorème de Shafarevich est : 

soit G un groupe fini résoluble; il existe une extension galoisienne finie  K de Q telle que Gal(K/Q) soit isomorphe à G. 

(Et ce résultat est vrai pour tout corps global.) La preuve du théorème est extrêmement difficile, mobilisant des techniques élaborées : groupes profinis ; extensions galoisiennes infinies ; extensions de groupes ; cohomologie des groupes profinis ; théorie générale des nombres algébriques. Il apporte une réponse partielle à la conjecture suivante : tout groupe fini est isomorphe à Gal(K/Q) où K est une extension galoisienne finie de Q.

Je me propose de présenter quelques notions utilisées dans la preuve du théorème de Shafarevich. De plus, j’essayerai d’esquisser la trame générale de la preuve, en insistant sur la restriction imposée par l’hypothèse de résolubilité du groupe. Les spécialistes sont d’accord pour conclure que la méthode n’est pas généralisable à un groupe fini quelconque.

Thierry Marc