Variétés stochastiques, par Anatole Khélif (22 janvier 2014)
Prise de vue et mise en page : Stéphane Dugowson
Page en travaux, merci de revenir dans deux jours
Résumé. Dans leur article "Stochastic Manifolds" Anatole Khélif et Alain Tarica introduisent des "D∞-stochastic manifolds" qui généralisent les variétés dites de Wiemann (contraction de Wiener et Riemann) jusqu'alors disponibles en tant qu'espaces de dimension infinie différentiables munis d'une "mesure". Le calcul de Malliavin représente pour ces variétés stochastiques un rôle analogue à celui joué par le calcul différentiel classique pour les variétés différentiables. L'espace des chemins (mouvements browniens) d'une variété riemannienne compacte est un exemple de variété stochastique.
NB : deux introductions élémentaires au calcul de Malliavin figurent dans les références au bas de cette page.
Divergence d'un champ de vecteur dans un espace vectoriel de dimension finie
Action (dérivation) d'un champ de vecteur sur une fonction
Représentation de cette action par la divergence du champ de vecteur
Une formule de Green en version non euclidienne
Histoire de nous rafraîchir la mémoire, rappelons en effet que la formule de Green suivante (écrite ici pour n=3 euclidien) est une généralisation de l'intégration par partie découlant de Stokes
et dans le cas où la fonction f est à support compact K, f étant nulle sur le bord de K, on a
autrement dit, en faisant appel à la notion (qui ne fait pas appel à la structure euclidienne) d'action d'un champ de vecteur sur une fonction
soit encore, en dimension n (et, rappelons-le, sans faire appel à une structure euclidienne mais uniquement à la mesure de Lebesgue) :
Remarque 1 : la notion de divergence ne dépend pas de la structure euclidienne mais uniquement de la structure d'espace mesurable (autrement dit des éléments de volumes).
Remarque 2 : par contre, le choix d'une structure euclidienne permet de fixer la constante multiplicative de la mesure de Haar donnant la mesure de Lebesgue.
Remarque 3 : cette définition de la divergence est du style "théorie des distributions".
Divergence d'un champ de vecteurs en dimension infinie. Espaces de Wiener
Utiliser des mesures quasi-invariantes
Une construction de Malliavin
Pour définir la divergence, il semble qu'on ait besoin d'une mesure invariante...
... sauf que les mesures invariantes par translation n'existent pas en dimension infinie
on va devoir se contenter de mesures "presque" invariantes par translation = mesures quasi-invariantes.
Mesures gaussiennes sur l'espace de Frechet R^N
On se place dans un espace de Banach, ou plutôt et plus généralement dans un espace de Fréchet
Exemple : R^N muni de la topologie produit (pour lequel il y a évidemment une famille dénombrable de semi-normes)
On définit sur cet espace de Fréchet la mesure gaussienne, qui va s'avérer être quasi-invariante.
(la mesure gaussienne est obtenue en faisant le produit tensoriel de gaussiennes pour chaque dimension)
Remarque : choisir cette mesure revient en quelque sorte à rendre compact l'espace.
Effet d'une translation sur cette mesure gaussienne en dimension finie
Un "espace tangent" qui est un Hilbert
En dimension infinie, il faut se limiter aux translations dont les composantes sont de carrés sommables (elles forment un Hilbert).
Théorème de Cameron Martin
Remarque : mesure d'Ashtekar-Lewandowski en gravité quantique
Tout se passe comme si R^N était une sorte de variété admettant comme espaces tangents des Hilbert strictement inclus dans R^N
La structure obtenue repose sur la donnée de la mesure (gaussienne) et de "l'espace tangent" hilbertien
On vient de décrire la structure d'un :
Espace de Wiener = mesure + "espaces tangents"
L'espace des trajectoires browniennes
Rappel : le mouvement brownien peut être défini comme une famille de variables aléatoires indexée par t...
Remarque : les trajectoires browniennes sont presque sûrement continues
Calcul de Malliavin
Preuve de l'isomorphisme annoncé entre R^N et l'espace des trajectoires browniennes (via Fourier).
Intégrale stochastique.
Grâce à Fourier, on obtient une famille de variables aléatoires gaussiennes indépendantes, d'où l'isomorphisme annoncé.
Intégrales de Russo-Valois et espaces de Besov
Les trajectoires browniennes de R^n est le même que dans R^p
Objectif du présent travail : construire des variétés stochastiques
Autrement dit, il s'agit de recoller les espaces précédents pour associer une géométrie différentielle au calcul de Malliavin
Obstruction : le problème de renormalisation de Malliavin
Espaces de Wiemmann
Gumar & Peters : garder la structure banachique et considérer des difféomorphismes respectant la structure différentiable.
Ann Piech : utiliser des Hilbert tangents munis de produits scalaires différents
Mouvement brownien sur une variété riemannienne compacte
Cartes d'Ito
Problème de renormalisation.
Comment contourner cet obstacle ?
Algèbre D∞ associée à un espace de Wiener
"Laplacien" dans un espace de Wiener (pour certaines fonctions) : opérateur d'Ornstein-Uhlenbeck
D∞ est la plus grande algèbre incluse dans L^1 et qui soit stable par l'action de ce Laplacien
(D∞ joue le rôle des fonctions C∞)
La solution : l'espace cotangent
Définition de l'espace cotangent
En dimension infinie, il peut exister des dérivations non associées à des vecteurs tangents
L'espace cotangent est défini comme dual de l'espace des dérivations, et il est naturellement muni d'une forme quadratique.
Généralisation des distributions
Variations de courbure (mais pas de courbure !)
"Le monstre" : un exemple de variété stochastique qui ne soit pas une variété de chemin.
Question : lien avec la quantique ?
Références
Anatole Khelif et Alain Tarica, "Stochastic manifolds", 2013. Disponible sur ArXiV
Victor Ng, "Le calcul de Malliavin pour les nuls", exposé au séminaire étudiant de l'Université Paul Sabatier (Toulouse III), 28 octobre 2009. PDF disponible en ligne ici.
Vlad Bally, An elementary introduction to Malliavin Calculus, INRIA, 2003.