S. Dugowson, 7 septembre 2016 Synchronisations souples et inversions temporelles en dynamisme sous-fonctoriel
Prise de vue : Philippe Raison
Mise en page web : S. Dugowson
Résumé
Par "dynamisme sous-fonctoriel", j'entends le domaine d'étude ouvert par la théorie mathématique générale de l'interaction que j'élabore depuis quelques années et qui dispose depuis fin août 2016 d'un texte de référence intitulé "Dynamiques en interaction". Dans cette théorie, des entités appelées "dynamiques sous-fonctorielles ouvertes" --- qui généralisent considérablement et à plusieurs égards la notion classique en mathématiques de système dynamique discret ou continu --- entrent en interaction, et ces interactions produisent de nouvelles dynamiques ouvertes susceptibles d'entrer à leur tour dans d'autres interactions, etc... Il y a ainsi un aspect modulable : les dynamiques sous-fonctorielles ouvertes participent d'une sorte de jeu de lego infini, dont la stabilité est assurée par le "théorème de stabilité sous-fonctorielle".
L'une des nouveauté introduite l'été 2016 dans la théorie est l'assouplissement des synchronisations entre les dynamiques en interaction, synchronisations qui dans les textes précédents étaient nettement plus rigides. Grâce à cet assouplissement, nous pouvons même envisager des synchronisations inversant le sens du temps. Ce sont ces aspects que nous évoqueront, en particulier le fait qu'un tel assouplissement ne remet bien entendu pas en cause le théorème de "stabilité sous-fonctorielle". Bien entendu, pour sa plus grande part, poursuivant la présentation entreprise au séminaire CLE le 25 mai dernier, l'exposé consistera d'abord à présenter les principales notions du dynamisme sous-fonctoriel : multi-dynamiques sous-fonctorielles, horloges, dynamiques sous-fonctorielles ouvertes, quotients paramétriques, réalisations, interactions, interactions opérantes, interactions normales, familles interactives, dynamiques engendrées par une famille interactive...
S. Dugowson
Introduction
Une nouvelle théorie : le "dynamisme sous-fonctoriel"
Un texte de référence
Les dynamiques sous-fonctorielles généralisent à plusieurs titres les systèmes dynamiques classiques
Premier niveau de généralisation : moteurs catégoriques
Remplacement des monoïdes habituels par des petites catégories quelconques
Un article d'Andrée Ehresmann de 1965 :
A. Bastiani Ehresmann. "Sur le problème général d'optimisation", in Identification, optimalisation et stabilité des systèmes automatiques 1965, p. 125 (Dunod, 1967)
La composition des transformations d'états, cœur de la notion classique de systèmes dynamiques
Remarque terminologique : "dynamiques fonctorielles" au lieu de dynamiques catégoriques
Définition des dynamiques fonctorielles fermées déterministes
Une question d'Abou sur une condition considérée comme trop contraignante
Réponse à la question d'Abou
Deuxième niveau de généralisation : indéterminisme
Remarque : ces deux niveaux de généralisation se trouvent déjà dans mes textes
⦁ Introduction aux dynamiques catégoriques connectives, HAL, (décembre 2011)
Remarque : topos... ou allégorie ?
In category theory, an allegory is a category with properties meant to reflect properties that hold in a category Rel of relations. The notion was first introduced (as far as we know) and certainly first made famous in the book Categories, Allegories (Freyd-Scedrov).
(Parenthèse 1 : origine connective de la théorie des dynamiques sous-fonctorielles)
Remarque : l'équation de Ghrist
⦁ Robert W. Ghrist. Flows on S^3 supporting all links as orbits. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc, 1(2) :91–97, 1995.
Temporalités circulaires, arborescentes, etc...
Troisième niveau de généralisation : dynamiques fonctorielles en interaction
(Parenthèse 2 : rappel sur les horloges, les instants et les réalisations)
Troisième niveau de généralisation (suite) (dynamiques fonctorielles en interaction)
Comment formaliser l'influence d'une dynamique sur une autre ?
Ensembles paramétriques
Multi-dynamiques fonctorielles
Dynamiques fonctorielles ouvertes
Vue d'ensemble : dynamiques produites par une famille de dynamiques en interaction
Ce que sont les interactions
Remarque : pourquoi ce sont les réalisations, et non simplement les états, qui influencent les autres dynamiques.
Interactions normales : "toutes les demandes doivent être possibles, mais la réponse ne doit pas toujours être positive"
Remarque (à l'occasion d'une question sur la modélisation d'un ressort) : rôle des fonctions lipschitziennes.
Synchronisation entre les dynamiques
Notion de famille interactive
Quatrième niveau de généralisation : sous-fonctorialité
Dynamiques produites par une famille interactive
Théorème de stabilité sous-fonctorielle
Un jeu de lego systémique
Des synchronisations souples
Remarques sur la dialectique entre possibilités de principe et possibilités effectives
Voir mon exposé : Possibilités de principe et possibilités effectives dans les dynamiques catégoriques (6 mai 2015, Paris Diderot)
Possibilité de synchronisations inversant le temps
Références
A. Bastiani Ehresmann.
"Sur le problème général d'optimisation", in Identification, optimalisation et stabilité des systèmes automatiques 1965, p. 125 (Dunod, 1967)
S. Dugowson
Introduction aux dynamiques catégoriques connectives, HAL, (décembre 2011)
Robert W. Ghrist
Flows on S^3 supporting all links as orbits. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc, 1(2) : 91–97, 1995.
Table détaillée
Bonus : bêtisier