Topos Classifiant, par Jean-Pierre Laffineur (4 janvier 2012)
Compte-rendu, par S.D.
(merci de me signaler les erreurs
que j'aurais pu commettre
dans ce compte-rendu).
Sur le même sujet,
vidéos du cours d'Olivia Caramello du 15 janvier 2013
Les objets d'un topos peuvent être munis de toutes sortes de structures. Par exemple les ensembles, qui sont les objets de Ens, peuvent être munis d'une structure de catégorie, de monoïde, de groupe, etc.
Or, de même que les parties d'un ensemble s'identifient aux applications de cet ensemble dans le classifiant {0,1}, de même, pour une structure T donnée (par exemple : "groupe"), les objets d'un topos E qui sont ainsi structurés peuvent (si j'ai bien compris ce que dit nLab sur le sujet) être mis en correspondance bijective naturelle avec les morphismes de E dans un topos spécifiquement associé à T, qu'on appelle le topos classifiant de T.
Il faut préciser que les morphismes dont il s'agit, entre topos de Grothendieck --- c'est-à-dire des topos élémentaires de Lawvere particuliers, à savoir des topos de faisceaux, non pas nécessairement sur un espace topologique, mais plus généralement sur un site, c'est-à-dire une petite catégorie (qu'on peut voir comme généralisant la catégorie des ouverts d'un espace topologique) muni d'une "topologie de Grothendieck" 'c'est-à-dire du moyen de former l'analogue de recouvrements d'ouverts --- ne sont pas de simples foncteurs entre ces topos, ce qui reviendrait à ne pas tenir compte du fait que ces topos ne sont pas de simples catégories, mais des "morphismes géométriques", qui dans le cas de topos de faisceaux sur des espaces topologiques correspondent précisément aux applications continues entre ces espaces.
Les exposés de Jean-Pierre Laffineur ont porté sur le cas où la structure T est spécifiée par une esquisse.
En particulier, dans son exposé du mercredi 4 janvier 2012, Jean-Pierre a expliqué pourquoi toute esquisse "géométrique" (des esquisses mixtes particulières, où les cônes projectifs sont de base finie) admet un topos classifiant, et que réciproquement tout topos (de Grothendieck), en tant que topos des faisceaux sur un site, s'avère être le topos classifiant d'une esquisse construite justement sur le (graphe multiplicatif (de la catégorie du)) site en question.