Exemple de caractérisation de C*-algèbres par ses sous-algèbres commutatives : une application du théorème de Gleason, par A. Khelif (13 février 2013)
Mots clés : C*-algèbres, théorème de Gleason, A. Khelif.
Introduction
Introduction
C.J. Isham et A. Doering : quantifier la gravitation grâce au topos des préfaisceaux d'ensembles sur le treillis des sous-algèbres commutatives d'une C*-algèbre non commutative.
C.J. Isham et A. Doering : quantifier la gravitation grâce au topos des préfaisceaux d'ensembles sur le treillis des sous-algèbres commutatives d'une C*-algèbre non commutative.
Rappel : définition des C*-algèbres. Théorème : plongement isométrique des C* algèbres dans les algèbres d'opérateurs hilbertiens "bornés".
Rappel : définition des C*-algèbres. Théorème : plongement isométrique des C* algèbres dans les algèbres d'opérateurs hilbertiens "bornés".
Un exemple (un peu spécial) : M2(C)
Algèbre B(H), avec H séparable. Topologies opérationnelles (fortes et faibles). Algèbres de Von Neumann. La question abordée dans cet exposé est celle de la caractérisation d'une C* par ses
Algèbre B(H), avec H séparable. Topologies opérationnelles (fortes et faibles). Algèbres de Von Neumann. La question abordée dans cet exposé est celle de la caractérisation d'une C* par ses
sous-algèbres commutatives.
sous-algèbres commutatives.
Théorème de Gleason.
Théorème de Gleason.
Énoncé en dimension 3. Probabilités non commutatives. Projecteurs et algèbres orthomodulaires. Un théorème de Constantin Piron (à propos de physique quantique).
Énoncé en dimension 3. Probabilités non commutatives. Projecteurs et algèbres orthomodulaires. Un théorème de Constantin Piron (à propos de physique quantique).
(voir les références au bas de cette page)
Questions (Faire appel aux mesures ? Remplacer les algèbres de Boole par des algèbres ortho-modulaires...)
Questions (Faire appel aux mesures ? Remplacer les algèbres de Boole par des algèbres ortho-modulaires...)
Le théorème de Gleason ne marche pas en dimension 2. Théorème de Kochen-Specker en mécanique quantique. En dimension supérieure (ou égale) à 3, pas de problème.
Le théorème de Gleason ne marche pas en dimension 2. Théorème de Kochen-Specker en mécanique quantique. En dimension supérieure (ou égale) à 3, pas de problème.
Verbatim
En gros, le théorème de Kochen-Specker dit qu'il n'existe pas de variables cachées locales.
B(H) est une algèbre de Von Neumann. Espace des mesures.
B(H) est une algèbre de Von Neumann. Espace des mesures.
Retrouver l'algèbre A (construire sa multiplication)
Retrouver l'algèbre A (construire sa multiplication)
Algèbres de Jordan.
Algèbres de Jordan.
Théorèmes de Doering-Harding (2010) et Bunce-Wright (vers 1995 ?) pour les algèbres de Von Neuman sans facteur M2(C). Problème ouvert : Mackey-Gleason.
Théorèmes de Doering-Harding (2010) et Bunce-Wright (vers 1995 ?) pour les algèbres de Von Neuman sans facteur M2(C). Problème ouvert : Mackey-Gleason.
Contre-exemples pour le théorème de Doering-Harding dans le cas de M2(C). Faire de la géométrie non-commutative en ne s'intéressant qu'aux sous-algèbres commutatives ?
Contre-exemples pour le théorème de Doering-Harding dans le cas de M2(C). Faire de la géométrie non-commutative en ne s'intéressant qu'aux sous-algèbres commutatives ?
"Tu vois, je n'ai pas oublié..." (Sur la jordanisation). Retour sur l'obstruction en dimension 2. Connectivité.
"Tu vois, je n'ai pas oublié..." (Sur la jordanisation). Retour sur l'obstruction en dimension 2. Connectivité.
Discussion
Discussion
Retour sur le théorème de Gleason et sa démonstration.
Retour sur le théorème de Gleason et sa démonstration.
Retour sur les algèbres orthomodulaires. "Axiome 7" de la mécanique quantique.
Retour sur les algèbres orthomodulaires. "Axiome 7" de la mécanique quantique.
Références
Références
Jan Hamhalter, Isomorphisms of ordered structures of abelian C*-subalgebras of C*-algebras, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011 (voir aussi les diapos ici)
P.Burmeister, M.Maczynski. Orthomodular (partial) algebras and their representations. Demonstratio Mathematica 27, 1994, pp. 701-722.
Piron, C., 1964, “Axiomatique Quantique”, Helvetica Physica Acta, 37: 439–468.
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