Exemple de caractérisation de C*-algèbres par ses sous-algèbres commutatives : une application du théorème de Gleason, par A. Khelif (13 février 2013)

Mots clés : C*-algèbres, théorème de Gleason, A. Khelif.

Introduction

C.J. Isham et A. Doering : quantifier la gravitation grâce au topos des préfaisceaux d'ensembles sur le treillis des sous-algèbres commutatives d'une C*-algèbre non commutative.

Rappel : définition des C*-algèbres. Théorème : plongement isométrique des C* algèbres dans les algèbres d'opérateurs hilbertiens "bornés".

Un exemple (un peu spécial) : M2(C)

Algèbre B(H), avec H séparable. Topologies opérationnelles (fortes et faibles). Algèbres de Von Neumann. La question abordée dans cet exposé est celle de la caractérisation d'une C* par ses

sous-algèbres commutatives.

Théorème de Gleason. 

Énoncé en dimension 3. Probabilités non commutatives. Projecteurs et algèbres orthomodulaires. Un théorème de Constantin Piron (à propos de physique quantique).

(voir les références au bas de cette page)

Questions (Faire appel aux mesures ? Remplacer les algèbres de Boole par des algèbres ortho-modulaires...)

Le théorème de Gleason ne marche pas en dimension 2. Théorème de Kochen-Specker en mécanique quantique. En dimension supérieure (ou égale) à 3, pas de problème.

Verbatim

En gros, le théorème de Kochen-Specker dit qu'il n'existe pas de variables cachées locales.

B(H) est une algèbre de Von Neumann. Espace des mesures.

Retrouver l'algèbre A (construire sa multiplication)

Algèbres de Jordan. 

Théorèmes de Doering-Harding (2010) et Bunce-Wright (vers 1995 ?) pour les algèbres de Von Neuman sans facteur M2(C). Problème ouvert : Mackey-Gleason.

Contre-exemples pour le théorème de Doering-Harding dans le cas de M2(C). Faire de la géométrie non-commutative en ne s'intéressant qu'aux sous-algèbres commutatives ?

"Tu vois, je n'ai pas oublié..." (Sur la jordanisation). Retour sur l'obstruction en dimension 2. Connectivité.

Discussion

Retour sur le théorème de Gleason et sa démonstration.

Retour sur les algèbres orthomodulaires. "Axiome 7" de la mécanique quantique.

Références

Jan Hamhalter, Isomorphisms of ordered structures of abelian C*-subalgebras of C*-algebras, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011 (voir aussi les diapos ici)

Andrew Gleason, Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space, Indiana Univ. Math. J. 6 No. 4 (1957), 885–893

P.Burmeister, M.Maczynski. Orthomodular (partial) algebras and their representations. Demonstratio Mathematica 27, 1994, pp. 701-722.

Burmeister, R. Holzer, M Mączyński Quasi-rings and congruence in the theory of orthomodular algebras, Algebra Universalis, December 2000, Volume 44, Issue 3-4, pp 333-369

Piron, C., 1964, “Axiomatique Quantique”, Helvetica Physica Acta, 37: 439–468.

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http://topos-physics.org/

Articles d'Anatole Khelif