I. Rappels sur l'histoire de l'introduction de la théorie des catégories en France autour des années 1956 à 1958 (0'0" - 5'40") [vidéo 1] 

II. Des structures locales aux esquisses (17'- 43') [Diapos 2 - 14][vidéos 1, 2, 3 et 4] 

III. Di-esquisses, (co)complétions et complexification (43' - 75' ) [Diapos 15- 31 ] [vidéo 5] 

IV. Applications à la construction de hierarchies. Problèmes d'émergence (75' -) [Diapos 32- ] [vidéo 6] 

• Diapos de l'exposé 

Note du webmaster (SD) : rappelons que dans les notations utilisées par Mme Ehresmann, une petite catégorie C s'identifie à l'ensemble de ses flèches, l'ensemble des objets noté C0 s'identifiant à l'ensemble des identités, tandis que le produit fibré des flèches a et b est noté a V b. A ce stade de l'exposé, l'idéed'une catégorie étant un graphe dans Sets, on peut considérer de même l'idée d'une catégorie S dans la catégorie H, à savoir un graphe dans H, de sorte que le foncteur d'oubli p de H dans Sets est en particulier un morphisme de (gros) graphes susceptible d'admettre une section locale qui sera un morphisme j de graphes envoyant l'idée de C dans Sets vers l'idée de S dans H.... 

Les esquisses (30'- 43')

Les esquisses et leurs modèles (30'-34') [Diapos 6, 7 et 8] [VIDEO n°2]

Cas particulier des "prototypes" ("realized sketch" dans nLab)

Esquisse de catégorie (34'-36') [Diapo 9] [vidéo 3]

Protoypes (35'- 43') [Diapos 10-14] [vidéo 4]

Les prototypes sont les (catégories) esquisses dans lesquelles les (co)cônes sont (co)limites.

Ils forment une sous-catégorie pleine reflective de la catégorie des esquisses

(39') [diapo 12-14] Un exemple de construction de prototype à partir d'une esquisse simple

III. Di-esquisses, (co)complétions et complexification (43' - 75'  ) [Diapos 15- 31 ] [vidéo 5]

Dans les topos, on a évidemment les bonnes limites et colimites, mais lorsqu'on s'intéresse à l'analyse, à la modélisation des systèmes dynamiques, à la géométrie différentielle, les catégories ont rarement les bonnes limites. On ne veut pas seulement rajouter des flèches pour rendre (co)limites les (co)cônes, mais aussi des objets. 

Catégorie des di-esquisses [Diapos 15 à 18]

Prototype d'une di-esquisse [Diapo 19]

Cocomplétions et clusters [Diapos 20 à 28]

Delta-complexification de C [Diapos  29 à 30]

Schéma d'ensemble [Diapo 31]

IV. Applications à la construction de hierarchies. Problèmes d'émergence (75' - fin ) [Diapos 32- 47] [vidéo 6]

Catégories hierarchiques : modélisation de systèmes biologiques à niveaux de complexité.

Ordres de complexité.

Réductionisme [diapos 35 - 36]

Principe de multiplicité [diapos 37-39]

Emergence de liens complexes [diapos 40-41]

Hiérarchie basée [diapos 42-43]  ("émergentisme réductionniste").

Remarque : quand Dimitri ne coupe pas son micro sur Zoom, ça donne des remarques du genre "c'est la fin de l'exposé d'une dame que j'écoute". :-))

Application aux systèmes évolutifs hierarchiques [diapos 44-47]

Diapos de l'exposé