Soutenance HDR d'Olivia Caramello, 14 décembre 2016 (Paris Diderot)
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Table des matières
page en travaux
Objet de l'exposé : les travaux effectués depuis la thèse
Explorer le potentiel unifiant de la notion de topos de Grothendieck à travers divers secteurs des mathématiques
Un cercle d'idées, de techniques et d'applications autour du rôle des topos en tant que ponts unifiants
Une belle citation de Grothendieck sur le rôle unifiant des topos
La notion centrale de topos classifiant dans les recherches exposées ici
Résolution de certains problèmes ouverts
Remarque : les ponts comme instruments d'étude du dynamisme interne d'une théorie
Une liste d'applications de cette méthode
En théorie des modèle : une généralisation d'un théorème de Fraïssé
En théorie de la démonstration : réduction à deux du nombre de règles d'inférence
En algèbre: généralisation très vaste du formalisme galoisien aux groupes topologiques quelconques
Liens entre théorie de Fraïssé et théorie de Galois
En topologie : engendrement de dualités de type Stone
En analyse fonctionnelle : Dualité de Gelfand et bases de Wallman, spectre maximal d'un topos
Espaces réticulés, MV-algèbres (avec A. Carla-Russo)
Structures cycliques, topos cycliques (A. Connes), épicycliques, arithmétiques (A. Connes et C. Consani)
Les motifs sont la syntaxe, les foncteurs cohomologiques sont la sémantique
Problème de l'indépendance de l
Plan de l'exposé
Rappels préliminaires sur les topos
Technique de construction des ponts
Analyse de quelques ponts remarquables
Perspectives
Nature multiforme des topos : trois points de vue (géométrie, logique, classification)
(1) Point de vue géométrique de Grothendieck : espaces généralisés
De l'espace topologique au topos des faisceaux qu'il engendre
Topos des faisceaux sur un site
(2) Point de vue logique : les topos de Grothendieck comme univers mathématique
(3) Classification de modèles : théories (modulo les Morita-équivalences)
La notion de topos classifiant d'une théorie géométrique du premier ordre (vers 1970)
Le cœur sémantique de la théorie
Développement fonctoriel de la théorie des modèles (les modèles sont des foncteurs préservant suffisamment de structures)
C'est le point de vue privilégié dans ces travaux, celui des topos comme ponts
La notion de Morita-équivalence est beaucoup plus subtile que la bi-interprétabilité
Les topos comme ponts
Dynamisme interne d'une théorie
Chaque invariant --- il y en a une infinité --- donne de nouvelles informations
Exemple d'invariant : le treillis complet des sous-topos d'un topos
"Morphogenèse" des théories quotients
Les arches (au niveau des sites)
Exemples d'applications (analyse de quelques ponts remarquables)
Théories de type préfaisceau
Un thème subtil et profond
Exemples : les topos arithmétique, épicyclique, cyclique (A. Connes), aux géométries remarquables, sont de type préfaisceau
Cas particulier des théories algébriques finitaires (ce sont loin d'être les seules)
Théorème de définissabilité
Une condition sur le système démonstratif plutôt que sur la syntaxe de la théorie considérée
Utilisation du modèle universel de la théorie considérée