[Alg. Op.] Équivalence de Morita entre MV-algèbres et ℓ-groupes abéliens avec unité forte, par O. Caramello (5 décembre 2013)

Prise de vue et mise en page : Stéphane Dugowson

(NdW = note du webmaster)

Exposé donné dans le cadre du 

séminaire d'Algèbres d'Opérateurs de Paris VII

Introduction

Travail en collaboration avec Anna Carla Russo

Référence : "The Morita-equivalence between MV-algebras and abelian ℓ -groups with strong unit", Olivia Caramello, Anna Carla Russo, 2013, Arxiv

Plan de l'exposé

Préliminaire : rappel sur les topos

Equivalence de Mundici et généralisation aux topos

Application 1 : Extensions géométriques

Application 2:  Version "faisceautique" de l'équivalence de Mundici

Application 3:  Caractérisation logique des ℓ-groupes avec unité forte qui sont finiment présentés

Application 4 : Forme de compacité géométrique et de complétude pour Lu

(Remarque du webmaster : dans l'exposé, le point 3 sera abordé avant le point 2).

Remarque préliminaire : pourquoi les topos ?

Le pont créé par les topos (équivalence de Morita) peut fonctionner alors même qu'il n'y a pas bi-interprétabilité.

(ainsi, dans le cas présent, nous avons une théorie infinitaire Morita-équivalente à une théorie finitaire).

Préliminaire : rappels sur les topos.

Faisceaux sur un site

Modèles.

Théorie géométriques. Morleyisation.

(voir le cours du 15 janvier 2013)

Topos classifiant. Modèle universel.

Morita équivalence 

Remarque d'Alain Connes sur la non préservation du modèle universel

Construction du topos classifiant. Site syntactique

Topologie canonique : un crible est couvrant quand le séquent correspondant est démontrable dans la théorie considérée.

Référence : logique géométrique ?

Équivalence de Mundici (1986)

Catégorie MV des MV-algèbres

Chang (1958) donne avec les MV-algèbres une sémantique algébrique complète pour la logique multivaluée de Łukasiewicz (1920)

(ref : C. C. Chang. Algebraic analysis of many-valued logics. Transactions of the American Mathematical Society, 88, 467–490, 1958).

Définition des MV-algèbres

Remarque : lien avec les C*- algèbres

Catégorie Lu des ℓ-groupes abéliens (ou "groupes réticulaires abéliens")

Equivalence de Mundici. 

Suites bonnes (good sequence = bonne suite ? ). 

Quotient.

Applications (i.e. utilisation du pont créé par le fait que les deux théories ont même topos classifiant)

Considération d'invariants pour l'équivalence des topos

Points des topos (on retrouve l'équivalence de Mundici).

Extensions géométriques

Sous-topos : théorème de dualité (entre les sous-topos du topos classifiant d'une théorie géométrique et les extensions géométriques de la théorie dans son langage). Voir le cours d'Olivia du 24 janvier 2013.

(Alain Connes souligne à ce moment de l'exposé d'Olivia que la notion de sous-topos se comprend bien en termes de théorie géométrique, et Olivia souligne à son tour qu'il n'y a rien d'intrinsèque au niveau finitaire : la logique géométrique est le bon cadre.).

Dans le cas présent, on a donc : les extensions géométriques de la catégorie MV correspondent aux sous-topos de son topos classifiant qui est lui même équivalent au topos classifiant de la catégorie  Lu... Ainsi, les extensions géométriques des deux théories se correspondent.

Caractérisation logique des ℓ-groupes avec unité forte finiment présentés

Toute théorie algébrique est classifiée par un topos de préfaisceaux (à savoir le topos des modèles ensemblistes de présentation finie).

(voir à ce sujet le cours du 17 janvier 2013  et l'exposé au SIC du 16 novembre 2013)

Remarque : toute théorie n'est pas (équivalente à) une théorie algébrique.

Formules irréductibles.

Même si les deux théories ne sont pas bi-interprétables, on obtient une équivalence de catégories en se limitant aux MV-algèbres finiment présentées d'un coté, et aux formules Lu-irréductibles de l'autre,.

Version faisceautique de l'équivalence de Mundici 

Cas du topos des faisceaux sur un espace topologique

Compacité géométrique, complétude

Questions

Représentation des MV-algèbres par faisceaux de MV-algèbres totalement ordonnées

voir : Dubuc et Poveda : Representation theory of MV-algebras (2008)

Comment comprendre simplement le topos classifiant des MV-algèbres ?

Équivalence des MV-algèbres avec une catégorie d'espaces spectraux. 

voir les articles d'Olivia :

Priestley-type dualities for partially ordered structures, arXiv:math.CT/1203.2800 (2012), 44 pages

A topos-theoretic approach to Stone-type dualities, arXiv:math.CT/1006.3930 (2011), 158 pages

Références

"The Morita-equivalence between MV-algebras and abelian ℓ -groups with strong unit", Olivia Caramello, Anna Carla Russo, sur Arxiv